新教材高中數(shù)學第4章冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)3.3對數(shù)函數(shù)的圖象與性質課件湘教版必修第一冊

4.3.3

對數(shù)函數(shù)的圖象與性質1|對數(shù)函數(shù)的概念對數(shù)運算①

y=logax

(x>0,a>0且a≠1)確定了一個函數(shù),叫作(以a為底的)對

數(shù)函數(shù).2|對數(shù)函數(shù)的圖象與性質函數(shù)對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)圖象

定義域②(0,+∞)

值域(-∞,+∞)圖象經(jīng)過點(1,0)增減性a>1時遞增;0<a<1時遞減一般地,指數(shù)函數(shù)③

y=ax

與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)互為反函數(shù).它

們的定義域與值域正好互換.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的單調性相同,但單調區(qū)間不一定相同.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關于直線y=x對稱.3|反函數(shù)1.函數(shù)y=log2(2x)是對數(shù)函數(shù).

(

?)2.若函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)在R上是增函數(shù),則函數(shù)y=logax在(0,+∞)上也是增函數(shù).

(√)提示:因為函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)在R上是增函數(shù),所以a>1,所以y=logax在(0,+∞)上

也是增函數(shù).3.函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與y=logax(a>0,且a≠1)的圖象關于直線y=x對稱.

(√)4.函數(shù)y=log3(x+1)的定義域是(0,+∞).

(

?)提示:由對數(shù)式log3(x+1)的真數(shù)x+1>0可得x>-1,所以函數(shù)的定義域為(-1,+∞).5.函數(shù)y=logax+1(a>0,且a≠1)的圖象過定點(1,1).

(√)判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“?”.提示:因為對數(shù)函數(shù)y=logax的圖象過定點(1,0),所以函數(shù)y=logax+1的圖象過定點(1,1).1|對數(shù)函數(shù)的圖象及其應用1.對數(shù)型函數(shù)圖象過定點問題求函數(shù)y=m+loga

f(x)(a>0,且a≠1)的圖象所過定點時,只需令f(x)=1,求出x,即得定

點為(x,m).2.根據(jù)對數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)大小的方法作直線y=1與所給圖象相交,交點的橫坐標即為各個底數(shù),根據(jù)在第一象限內(nèi),自左

向右,圖象對應的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大,可比較底數(shù)的大小.3.函數(shù)圖象的變換規(guī)律(1)一般地,函數(shù)y=f(x+a)+b(a,b為實數(shù))的圖象是由函數(shù)y=f(x)的圖象沿x軸向左或

向右平移|a|個單位長度后,再沿y軸向上或向下平移|b|個單位長度得到的.(2)含有絕對值的函數(shù)的圖象一般是經(jīng)過對稱變換得到的.設a,b是關于x的方程|lgx|=c的兩個不同實數(shù)根,且a<b<10,則abc的取值范圍

是(0,1)

.思路點撥根據(jù)題意作出函數(shù)y=|lgx|的圖象和直線y=c,觀察圖象即可求解.解析

由題意知,在x∈(0,10)上,函數(shù)y=|lgx|的圖象和直線y=c有兩個交點,作出函

數(shù)y=|lgx|的圖象與直線y=c,如圖所示,

結合圖象可知,|lga|=|lgb|=c,又a<b<10,∴-lga=lgb=c,∴ab=1,0<c<lg10=1,∴abc的取值范圍是(0,1).2|與對數(shù)函數(shù)有關的定義域、值域問題1.對數(shù)型函數(shù)的定義域(1)求對數(shù)型函數(shù)的定義域,要注意真數(shù)大于0,即在y=loga

f(x)(a>0,且a≠1)中應首

先保證f(x)>0;(2)若底數(shù)中也含有變量,則底數(shù)應大于0且不等于1.2.求對數(shù)型函數(shù)值域的常用方法(1)直接法:根據(jù)函數(shù)解析式的特征,從函數(shù)自變量的范圍出發(fā),通過對函數(shù)定義

域、性質的觀察,結合解析式,直接得出函數(shù)的值域.(2)配方法:當所給的函數(shù)可化為二次函數(shù)形式(形如y=m[f(logax)]2+nf(logax)+c(m≠

0,a>0,且a≠1))時,可以用配方法求函數(shù)的值域.(3)單調性法:根據(jù)所給函數(shù)在其定義域(或定義域的某個子集)上的單調性,求出函

數(shù)的值域.(4)換元法:求形如y=loga

f(x)(a>0,且a≠1)的函數(shù)值域的步驟:①換元,令u=f(x),利用

函數(shù)的圖象和性質求出u的范圍;②利用y=logau的單調性、圖象求出y的取值范

圍.(1)求函數(shù)f(x)=lo

(x2+2x+3)的值域;(2)求函數(shù)y=(lo

x)2-

lo

x+5在區(qū)間[2,4]上的最大值和最小值.思路點撥確定函數(shù)的復合形式,由定義域求中間變量范圍,由中間變量范圍求函數(shù)值域.解析

(1)f(x)=lo

(x2+2x+3)=lo

[(x+1)2+2],因為(x+1)2+2≥2,所以lo

[(x+1)2+2]≤lo

2=-1,所以函數(shù)f(x)的值域是(-∞,-1].(2)因為2≤x≤4,所以lo

2≥lo

x≥lo

4,即-1≥lo

x≥-2.設t=lo

x,則-2≤t≤-1,所以y=t2-

t+5,其圖象的對稱軸為直線t=

,因此y=t2-

t+5在[-2,-1]上單調遞減,所以當t=-2,即x=4時,ymax=10;當t=-1,即x=2時,ymin=

.易錯警示解題時要注意函數(shù)定義域對解題的影響,避免因不求定義域導致解題錯誤.3|與對數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)的單調性求復合函數(shù)的單調性要抓住兩個要點:(1)單調區(qū)間是定義域的子集.(2)若a>1,則y=loga

f(x)的單調性與y=f(x)的單調性相同;若0<a<1,則y=loga

f(x)的單

調性與y=f(x)的單調性相反.函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-8)的單調遞增區(qū)間是

(

D)A.(-∞,-2)

B.(-∞,1)C.(1,+∞)

D.(4,+∞)思路點撥根據(jù)“同增異減”求解單調區(qū)間,注意對數(shù)的真數(shù)大于零.解析

由x2-2x-8>0得x<-2或x>4,即x∈(-∞,-2)∪(4,+∞),令t=x2-2x-8,則y=lnt(t>0),且y=lnt是增函數(shù),又∵t=x2-2x-8在(4,+∞)上單調遞增,在(-∞,-2)上單調遞減,∴函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-8)的單調遞增區(qū)間是(4,+∞),故選D.易錯警示解決與對數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)問題時,首先要確定函數(shù)的定義域,再根據(jù)“同

增異減”原則判斷函數(shù)的單調性.4|如何比較對數(shù)值的大小比較對數(shù)值大小常用的四種方法(1)同底數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的單調性.(2)同真數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉化.(3)底數(shù)和真數(shù)都不同,找中間量.(4)若底數(shù)為同一參數(shù),則根據(jù)底數(shù)對對數(shù)函數(shù)單調性的影響,對底數(shù)進行分類討

論.設a=log2

,b=log3

,c=lo

,則a,b,c的大小關系是

(

B)A.c>b>a

B.c>a>bC.a>c>b

D.a>b>c思路點撥不同底的對數(shù)比較大小時,可以找中間值0,1等比較.解析

a=log23-1,b=log34-1,c=lo

=lo

4-1=log34,易得log23=lo

33=log827,log34=lo

42=log916,∵log827>log927>log916,∴l(xiāng)og23>log34,∴l(xiāng)og23-1>log34-1,即a>b.∵log23<log24=2,∴l(xiāng)og23-1<1.又log34>log33=1,∴l(xiāng)og34>log23-1,即c>a,∴c>a>b,故選B.5|如何解對數(shù)不等式對數(shù)不等式的類型及解題方法(1)形如loga

f(x)>logab的不等式,借助函數(shù)y=logax的單調性求解,如果a的取值不確

定,需分a>1與0<a<1兩種情況進行討論;(2)形如loga

f(x)>b的不等式,應將b化成以a為底數(shù)的對數(shù)式的形式(即b=logaab),借

助函數(shù)y=logax的單調性求解;(3)形如logf(x)a>logg(x)a的不等式,利用換底公式化為同底的對數(shù)進行求解,或利用圖

象求解.解下列關于x的不等式:(1)loga(2x-5)>loga(x-1);(2)logx

>1.思路點撥根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調性和定義域建立不等式(組)求解.解析

(1)當a>1時,原不等式