余弦函數的圖像與性質再認識課件-高一下學期數學北師大版（2019）必修第二冊

北師大版（2019）高中數學必修第二冊第一章

三角函數第5節(jié)

余弦函數的圖像與性質再認識新課程標準解讀核心素養(yǎng)1.會用“五點法”畫余弦函數的圖象數學抽象、直觀想象2.掌握余弦函數的圖象與性質及應用數學運算、直觀想象

右圖是我們已經很熟悉的單位圓，我們用它來定義了任意角的正弦函數、余弦函數.

但既然是函數，我們就得掌握它的圖象和性質，顯然，要研究圖象和性質，單位圓已經不夠用了，我們得按照函數的定義，將角度看成自變量，三角函數值看成因變量.

今天，我們就進一步來學習余弦函數的圖象和性質.

余弦函數的圖像1，單位圓與余弦函數的圖象：分別在單位圓和平面直角坐標系中，描出下列表格中的點.

余弦函數的圖像

余弦函數的圖像

y10-11x0

五點(畫圖)法

余弦函數的性質思考：

請觀察余弦函數的圖象(如圖)，試著說說余弦函數有哪些函數性質.

余弦函數的性質

余弦函數的性質

余弦函數的性質

余弦函數的性質

余弦函數的性質

典例剖析

余弦函數的性質

典例剖析

1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)函數y＝cosx的圖象與y軸只有一個交點．

(

)(3)函數y＝2cosx是偶函數．

(

)(4)函數y＝cosx的最小正周期是π. (

)√√√×2．函數y＝cos2x，下列說法正確的是 (

)A．奇函數，最小正周期為πB．奇函數，最小正周期為2πC．偶函數，最小正周期為πD．偶函數，最小正周期為2πC3．在同一平面直角坐標系內，函數y＝cosx，x∈[0，2π]與y＝cosx，x∈[2π，

4π]的圖象

(

)A．重合 B．形狀相同，位置不同C．關于y軸對稱

D．形狀不同，位置不同解析：根據余弦曲線的作法可知函數y＝cosx，x∈[0，2π]與y＝cosx，x∈[2π，4π]的圖象位置不同，形狀相同．B

題型一余弦函數的圖象及應用

角度一“五點法”作余弦函數的圖象【例1】

(鏈接教科書例4)畫函數y＝2cosx＋3，x∈[0，2π]的圖象．解(1)列表：(3)連線：用光滑的曲線將描出的五個點順次連接起來，如圖所示．|通性通法|用五點法畫函數y＝Acosx＋b(A≠0)，x∈[0，2π]的圖象的步驟(1)列表：

(3)連線：用光滑的曲線將描出的五個點順次連接起來．

|通性通法|與余弦函數圖象有關的根的個數問題的處理策略判斷f(x)－Acosx＝0(A≠0)的根的個數時，運用數形結合的方法，轉化為函數圖象交點的個數．由于余弦函數的圖象都是介于y＝－1與y＝1之間，只需考慮－A≤f(x)≤A的x的范圍，在該范圍內f(x)的圖象與Acosx的圖象的交點的個數即方程根的個數．

|通性通法|用余弦函數圖象解不等式的步驟(1)作出余弦函數在區(qū)間[0，2π]上的圖象；(2)寫出適合不等式在區(qū)間[0，2π]上的解集；(3)根據余弦函數周期確定取值范圍．

1．方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)內的所有根的和為 (

)A．2

B．1C．0 D．－1解析：如圖所示，在同一平面直角坐標系內畫出函數f(x)＝|x|與g(x)＝cosx的圖象，易知兩個函數的圖象在(－∞，＋∞)內只有兩個交點，即原方程有兩個根，且兩根互為相反數，故和為0.C2．滿足cosx>0，x∈[0，2π]的x的取值范圍為____________________．3．作出函數y＝－cosx＋1，x∈[0，2π]的圖象．解：(1)列表：(3)連線：用光滑的曲線將描出的五個點順次連接起來，如圖所示．題型二余弦函數的單調性及應用【例4】

(1)求函數y＝1－cosx的單調區(qū)間；解

因為y＝cosx在[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)上單調遞增，在[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上單調遞減，所以y＝1－cosx的單調遞減區(qū)間是[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)，單調遞增區(qū)間是[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)．|通性通法|1．對于余弦函數的性質，要善于結合余弦函數圖象并類比正弦函數的相關性質進行記憶，其解題方法與正弦函數的對應性質解題方法一致．2．單調性是對一個函數的某個區(qū)間而言的，不同函數，不在同一單調區(qū)間內時，應先用誘導公式進行適當轉化，轉化到同一單調區(qū)間內，再利用函數的單調性比較大?。?/p>

(1)函數y＝1－2cosx的單調增區(qū)間是__________________；解析：由于y＝cosx的單調減區(qū)間為[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，所以函數y＝1－2cosx的增區(qū)間為[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)<

解析因為cosx∈[－1，1]，(2)函數y＝cos2x－4cosx＋5的值域為________．解析令t＝cosx，則－1≤t≤1.所以y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，所以t＝－1時，y取得最大值10，t＝1時，y取得最小值2.所以函數y＝cos2x－4cosx＋5的值域為[2，10]．[2，10]|通性通法|求余弦函數值域的常用方法(1)求解形如y＝acosx＋b的函數的最值或值域問題時，利用余弦函數的有界性(－1≤cosx≤1)求解．求余弦函數取最值時相應自變量x的集合時，要注意考慮余弦函數的周期性；(2)求解形如y＝acos2x＋bcosx＋c，x∈D的函數的值域或最值時，通過換元，令t＝cosx，將原函數轉化為關于t的二次函數，利用配方法求值域或最值即可．求解過程中要注意t＝cosx的有界性．

D課堂小結

知識點二余弦函數的性質函數y＝cosx定義域_______值域_______奇偶性_______周期性以2kπ為周期(k∈Z，k≠0)，_______為最小正周期單調性在區(qū)間_____________(k∈Z)上單調遞增；在區(qū)間_____________(k∈Z)上單調遞減[－1，1]偶函數2π[2kπ－π，2kπ][2kπ，2kπ＋π]最大值與最小值