用空間向量研究距離、夾角問題(專題1)同步練習-高二上學期數(shù)學人教A版選擇性第一冊

《第四節(jié)空間向量的應用》同步練習（課時2用空間向量研究距離、夾角問題）專題1——用空間向量研究距離問題一、基礎鞏固知識點1點到直線的距離1.[2022北京昌平二中高二上期中]已知空間中三點A(-1,0,0),B(0,1,-1),C(-2,-1,2),則點C到直線AB的距離為()A.63 B.62 C.332.在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,AD=2AB=4,且PD與底面ABCD所成的角為45°,則點B到直線PD的距離為()A.22 B.23 C.2 D.253.[2022湖北部分重點學校高二上期中聯(lián)考]鱉臑是指四個面都是直角三角形的三棱錐.如圖,在鱉臑P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB=BC=PA=2,D,E分別是棱AB,PC的中點,點F是線段DE的中點,則點F到直線AC的距離是.

知識點2點到平面的距離4.[2022福建三明一中高二上月考]已知平面α的一個法向量n=(-2,-2,1),點A(-1,3,0)在平面α內(nèi),則點P(-2,1,4)到平面α的距離為()A.10B.3C.83D.5.[2022山東淄博高二上月考]如圖所示,在直二面角D-AB-E中,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,其中∠AEB=90°,則點D到平面ACE的距離為()A.33 B.233 C.36.[2022河北石家莊十二中高二上期中]已知三棱柱ABC-A1B1C1的側棱垂直于底面,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,E,F分別是棱C1C,BC的中點.(1)求證:B1F⊥平面AEF;(2)求點F到平面EAB1的距離.知識點3直線到平面的距離、平面到平面的距離7.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,則平面AB1D1與平面BDC1的距離為()A.2a B.3a C.23a D.38.如圖,在底面是直角梯形的四棱錐P-ABCD中,側棱PA⊥底面ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,則AD到平面PBC的距離為.

二、能力提升1.[2022廣東佛山順德高二上期中]一個正方體的平面展開圖如圖所示,AB=1,則在原來的正方體中,線段CF的中點到直線AM的距離為()A.66 B.6 C.6 D.2.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A⊥平面ABCD,AA1=3,底面是邊長為4的菱形,且∠DAB=60°,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,E是O1A的中點,則點E到平面O1BC的距離為()A.2 B.1 C.32 3.[2022山西陽泉高三期末]如圖,棱長為3的正方體的頂點A在平面α上,三條棱AB,AC,AD都在平面α的同側,若頂點B,C到平面α的距離均為2,則頂點D到平面α的距離是.

4.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面正方形的邊長為22,側棱長為4,E,F分別為棱AB,BC的中點.求三棱錐B1-EFD1的體積.5.[2022山東臨沂平邑一中高二上月考]如圖,在四棱錐P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為直角梯形,∠ABC=∠BAD=π2,PA=AD=2,AB=BC=1.定義:兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離的最小值.利用此定義求異面直線PB與CD之間的距離6.[2022四川樂山高二期末]如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都是2,AA1⊥平面ABC,D,E分別是AC,CC1的中點.(1)求證:平面BAE⊥平面A1BD.(2)在線段B1B(含端點)上是否存在點M,使點M到平面A1BD的距離為255?參考答案一、基礎鞏固1.A依題意得AC=(-1,-1,2),AB=(1,1,-1),則點C到直線AB的距離為d=|AC2.B因為PA⊥平面ABCD,所以∠PDA為PD與平面ABCD所成的角,所以∠PDA=45°,所以PA=AD=4.以A為原點,AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,如圖所示.則A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,4),D(0,4,0),則DP=(0,-4,4),BP=(-2,0,4),所以點B到直線PD的距離為d=|BP|23.64解析因為AB=BC,且△ABC是直角三角形,所以AB⊥BC.以B為原點,分別以BC,BA的方向為x,y軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系B-xyz.因為AB=BC=PA=2,所以A(0,2,0),C(2,0,0),D(0,1,0),E(1,1,1),F(12,1,12),則AC=(2,-2,0),AF=(12,-1,12).故點F到直線AC4.D由AP=(-1,-2,4),得點P到平面α的距離d=|AP5.B取AB的中點O,以O為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(0,-1,0),E(1,0,0),D(0,-1,2),C(0,1,2),從而AD=(0,0,2),AE=(1,1,0),AC=(0,2,2).設平面ACE的法向量為n=(x,y,z),則n·AE=0n·AC=0,即x+y=02y+2z=0,令y=1,則x=-1,z=-1,所以n=(-1,1,-1)為平面ACE6.解析(1)三棱柱ABC-A1B1C1的側棱垂直于底面,∠BAC=90°,故以A為原點,AB為x軸,AC為y軸,AA1為z軸,建立空間直角坐標系,如圖.因為AB=AC=AA1=1,E,F分別是棱C1C,BC的中點,所以B1(1,0,1),F(12,12,0),A(0,0,0),E(0,1,12),則B1F=(-1AE=(0,1,12),AF=(12,所以B1F·AE=0,B1所以B1F⊥AE,B1F⊥AF,又AE∩AF=A,AE,AF?平面AEF,所以B1F⊥平面AEF.(2)由(1)知AB1=(1,0,1),AE=(0,1,設平面EAB1的法向量m=(a,b,c),則m·AB1=a+c=0m·AE=b又AF=(12,12,0),所以點F到平面EAB1的距離d=7.D由正方體的性質(zhì),易得平面AB1D1∥平面BDC1,則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點B到平面AB1D1的距離.以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(a,0,0),B(a,a,0),A1(a,0,a),C(0,a,0),CA1=(a,-a,a),BA=(0,-a,0),連接A1C,則A1C⊥B1D1,A1C⊥AB1,所以A1C⊥平面AB1D1,得平面AB1D1的一個法向量為n=(1,-1,1),則兩平面間的距離d=8.2解析分析知AB,AD,AP兩兩垂直,所以可建立以A為坐標原點,AB,AD,AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標系(如圖所示),則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),PB=(2,0,-2),BC=(0,2,0).設平面PBC的法向量為n=(a,b,c),則n·PB=0n·BC=0,即2a?2c=02b=0,取a=1,則b=0,c=1,則n=(1,0,1)是平面二、能力提升1.A將展開圖還原成正方體,以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系,由圖知A(0,0,0),M(1,1,1),F(1,1,0),C(0,1,1).設CF的中點為G,連接GM,則G(12,1,12),MG=(-12,0,-12),又AM=(1,1,1),故G到AM的距離2.C連接OO1,易得OO1⊥平面ABCD,所以OO1⊥OA,OO1⊥OB.又OA⊥OB,所以建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz.因為底面ABCD是邊長為4的菱形,∠DAB=60°,所以OA=23,OB=2,則A(23,0,0),B(0,2,0),C(-23,0,0),O1(0,0,3),E(3,0,32),所以O1B=(0,2,-3),O1C=(-23,0,-3),EO1=(-3,0,32).設平面O1BC的法向量為n=(x,y,z),則n·O1B=0n·O1C=0,所以2y?3z=0?23x?3z=0,取z=2,3.5解析如圖,以O為坐標原點,建立空間直角坐標系,則O(0,0,0),C(3,0,0),B(0,3,0),A(3,3,0),D(3,3,3),所以BA=(3,0,0),CA=(0,3,0),AD=(0,0,3).設平面α的一個法向量為n=(x,y,z),則點B到平面α的距離為d1=|BA·n||n|=|3x|x2+y2+z2=2①,點C到平面α的距離為d1=|4.解析以D為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則B1(22,22,4),D1(0,0,4),E(22,2,0),F(2,22,0),則EF=(-2,2,0),D1E=(22,2,-4),D1F=(2,22,-4),D1B點D1到直線EF的距離為d1=|D所以S△EFD1=12設平面EFD1的法向量為n=(x,y,z),則n·D1E=0n·D1F=0,即22x+2y?4z=02x所以點B1到平面EFD1的距離d2=|D所以VB1?EFD1=135.解析以{AB,AD,AP}為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系,則B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),則BP=(-1,0,2),CD=(-1,1,0),CB=(0,-1,0).設Q為直線PB上一點,且BQ=λBP=(-λ,0,2λ),連接CQ,則CQ=CB+BQ=(-λ,則點Q到直線CD的距離d=|CQ|2?(CQ·CD所以異面直線PB與CD之間的距離為236.解析(1)取A1C1的中點O,連接B1O,OD,易得OA1,OD,OB1兩兩垂直.如圖,以O為原點,OA1,OD,OB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,則A(1,2,0),B(0,2,3),D(0,2,0),A1(1,0,0),E(-1,1,0),A1D=(-1,2,0),A1B=(-1,2,3),BA=(1,0,-3),BE=(-1,-1,設n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分別為平面A1BD和平面BAE的法向量.由A1D·n取y1=1,則x1=2,z1=0,所以n1=(2,1