新版推薦學(xué)習(xí)全效學(xué)習(xí)2023版中考數(shù)學(xué)-第十一單元-解直角三角形單元滾動專題題八-(含解析)

生活的色彩就是學(xué)習(xí)生活的色彩就是學(xué)習(xí)K12的學(xué)習(xí)需要努力專業(yè)專心堅持K12的學(xué)習(xí)需要努力專業(yè)專心堅持生活的色彩就是學(xué)習(xí)K12的學(xué)習(xí)需要努力專業(yè)專心堅持第十一單元解直角三角形【測試范圍：第十一單元時間：120分鐘分值：150分】一、選擇題(每題4分，共40分)圖11．如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，那么tanA的值為 (B)圖1A．2 B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(2\r(5),5)【解析】tanA＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(1,2).2．計算eq\r(2)sin45°的結(jié)果等于 (B)A.eq\r(2) B．1 C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(1,2)【解析】eq\r(2)sin45°＝eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1.3．∠A是銳角，sinA＝eq\f(3,5)，那么5cosA＝ (A)A．4 B．3 C.eq\f(15,4) D．54．計算：cos245°＋tan60°·cos30°等于 (C)A．1 B.eq\r(2) C．2 D.eq\r(3)【解析】原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＋eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)＝2.5．如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，AC＝eq\r(5)，BC＝2，那么sin∠ACD＝ (A)圖2A.eq\f(\r(5),3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(2\r(5),5) D.eq\f(\r(5),2)【解析】在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，∴AB＝3.∵∠ACD＋∠BCD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B.∴sin∠ACD＝sinB＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(\r(5),3).圖36．如圖3，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，AC＝2eq\r(2)，BC＝1，那么sin∠ABD的值是 (A)圖3A.eq\f(2\r(2),3) B.eq\f(\r(2),4)C.eq\f(\r(2),3) D．2eq\r(2)【解析】∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，AB＝eq\r(12＋〔2\r(2)〕2)＝3.∴sin∠ABD＝sin∠ABC＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(2\r(2),3).圖47．如圖4，釣魚竿AC長6m，露在水面上的魚線BC長3eq\r(2)m，某釣者想看看魚鉤上的情況，把魚竿AC轉(zhuǎn)動到AC′的位置，此時露在水面上的魚線B′C′為3eq\r(3)m，那么魚竿轉(zhuǎn)過的角度是 (C)圖4A．60° B．45° C．15° D．90°【解析】∵sin∠CAB＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(3\r(2),6)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠CAB＝45°.∵sin∠C′AB′＝eq\f(B′C′,AC′)＝eq\f(3\r(3),6)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠C′AB′＝60°，∴∠CAC′＝60°－45°＝15°，∴魚竿轉(zhuǎn)過的角度是15°.8．如圖5，為平安起見，萌萌擬加長滑梯，將其傾斜角由45°降至30°，滑梯AB的長為3m，點D，B，C在同一水平地面上，那么加長后的滑梯AD的長是 (C)圖5A．2eq\r(2)m B．2eq\r(3)m C．3eq\r(2)m D．3eq\r(3)m【解析】設(shè)AC＝x，∴BC＝x.∵滑梯AB的長為3m，∴2x2＝9，解得x＝eq\f(3\r(2),2).∵∠D＝30°，∴2AC＝AD，∴AD＝3eq\r(2).應(yīng)選C.9．如圖6，某時刻海上點P處有一客輪，測得燈塔A位于客輪P的北偏東30°方向，且相距20海里．客輪以60海里/時的速度沿北偏西60°方向航行eq\f(2,3)h到達B處，那么tan∠ABP＝ (A)圖6A.eq\f(1,2)B．2C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(2\r(5),5)圖6【解析】∵燈塔A位于客輪P的北偏東30°方向，且相距20海里，∴PA＝20.∵客輪以60海里/時的速度沿北偏西60°方向航行eq\f(2,3)h到達B處，∴∠APB＝90°，BP＝60×eq\f(2,3)＝40，∴tan∠ABP＝eq\f(AP,BP)＝eq\f(20,40)＝eq\f(1,2).應(yīng)選A.圖710．如圖7，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝eq\f(3,5)，BE＝2，那么tan∠DBE的值 (B)圖7A.eq\f(1,2) B．2C.eq\f(\r(5),2) D.eq\f(1,3)【解析】設(shè)菱形ABCD邊長為t.∵BE＝2，∴AE＝t－2.∵cosA＝eq\f(3,5)，∴eq\f(AE,AD)＝eq\f(3,5)，∴eq\f(t－2,t)＝eq\f(3,5).∴t＝5，∴AE＝5－2＝3.∴DE＝eq\r(AD2－AE2)＝eq\r(52－32)＝4.∴tan∠DBE＝eq\f(DE,BE)＝eq\f(4,2)＝2.二、填空題(每題5分，共30分)11．如圖8，△ABC的頂點都在方格紙的格點上，那么sinA＝__eq\f(\r(5),5)__．圖8第11題答圖【解析】過點C作CD⊥AB交AB的延長線于點D，設(shè)小正方形的邊長為1，在Rt△ACD中，CD＝2，AC＝2eq\r(5)，第11題答圖∴sinA＝eq\f(CD,AC)＝eq\f(2,2\r(5))＝eq\f(\r(5),5).12．計算：2sin30°＋2cos60°＋3tan45°＝__5__．13．△ABC中，∠A，∠B都是銳角，假設(shè)sinA＝eq\f(\r(3),2)，cosB＝eq\f(1,2)，那么∠C＝__60°__．【解析】∵△ABC中，∠A，∠B都是銳角，sinA＝eq\f(\r(3),2)，cosB＝eq\f(1,2)，∴∠A＝∠B＝60°.∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－60°＝60°.14．[2023·襄陽]如圖9，在建筑平臺CD的頂部C處，測得大樹AB的頂部A的仰角為45°，測得大樹AB的底部B的俯角為30°，平臺CD的高度為5m，那么大樹的高度為__5＋5eq\r(3)__m(結(jié)果保存根號)．圖9【解析】如答圖，作CE⊥AB于點E，第14題答圖在Rt△BCE中，第14題答圖BE＝CD＝5m，CE＝eq\f(BE,tan30°)＝5eq\r(3)m，在Rt△ACE中，AE＝CE·tan45°＝5eq\r(3)m，AB＝BE＋AE＝(5＋5eq\r(3))m.圖1015．如圖10，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點，過D點作AB的垂線交AC于點E，BC＝6，sinA＝eq\f(3,5)，那么DE＝__eq\f(15,4)__．圖10【解析】∵BC＝6，sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(3,5)，∴AB＝10，∴AC＝eq\r(102－62)＝8.∵D是AB的中點，∴AD＝eq\f(1,2)AB＝5.易證△ADE∽△ACB，∴eq\f(DE,BC)＝eq\f(AD,AC)，即eq\f(DE,6)＝eq\f(5,8)，解得DE＝eq\f(15,4)，故答案為eq\f(15,4).圖1116．[2023·杭州校級一模]如圖11，在四邊形ABCD中，∠A＝30°，∠C＝90°，∠ADB＝105°，sin∠BDC＝eq\f(\r(3),2)，AD＝4.那么DC的長為__eq\r(2)__.圖11第16題答圖【解析】作DH⊥AB于H，如答圖，第16題答圖∵∠A＝30°，∴∠ADH＝60°，DH＝eq\f(1,2)AD＝2，∵∠ADB＝105°，∴∠BDH＝45°，∴△BDH為等腰直角三角形，∴BD＝eq\r(2)DH＝2eq\r(2)，在Rt△BCD中，∵sin∠BDC＝eq\f(BC,BD)＝eq\f(\r(3),2)，∴BC＝2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(6)，∴CD＝eq\r(BD2－BC2)＝eq\r(2).三、解答題(共80分)17．(8分)[2023·安順]計算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(－2)－(3.14－π)0＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\r(2)))－2sin45°.解：原式＝4－1＋eq\r(2)－1－2×eq\f(\r(2),2)＝4－1＋eq\r(2)－1－eq\r(2)＝2.18．(8分)如圖12，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線，且∠BAC＝60°，AD＝10，求AB的值．圖12解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC.∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.又∵AD＝10，∠C＝90°，∴AC＝5eq\r(3)，∴AB＝10eq\r(3).19．(8分)[2023·寧波]為解決停車難的問題，在如圖13一段長56m的路段開辟停車位，每個車位是長5m，寬2.2m的矩形，矩形的邊與路的邊緣成45°角，那么這個路段最多可以劃出多少個這樣的停車位．(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)＝1.4)圖13第19題答圖解：如答圖，BC＝2.2×sin45°＝2.2×eq\f(\r(2),2)≈1.54m，第19題答圖CE＝5×sin45°＝5×eq\f(\r(2),2)≈3.5m，BE＝BC＋CE≈5.04m，EF＝2.2÷sin45°＝2.2÷eq\f(\r(2),2)≈3.1m，(56－5.04)÷3.1＋1≈16＋1＝17(個)．故這個路段最多可以劃出17個這樣的停車位．20．(8分)[2023·銅仁]如圖14，一艘輪船航行到B處，測得小島A在船的北偏東60°的方向，輪船從B處繼續(xù)向正東方向航行200海里到達C處時，測得小島A在船的北偏東30°的方向．在小島170海里內(nèi)有暗礁，假設(shè)輪船不改變航向繼續(xù)向前行駛，試問輪船有無觸礁的危險？(參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)＝1.732)圖14解：由題意，得BC＝200，∠B＝30°，∠ACD＝60°，∠BAD＝60°，∠D＝90°，∴∠BAC＝30°＝∠B，∠CAD＝30°，∴AC＝BC＝200，∴CD＝eq\f(1,2)AC＝100，∴AD＝eq\r(3)CD≈173.2.∵AD的距離為173.2>170，∴輪船無觸礁的危險．圖1521．(10分)[2023·徐州模擬]如圖15，甲、乙兩條輪船同時從港口A出發(fā)，甲輪船以每小時30海里的速度沿著北偏東60°的方向航行，乙輪船以每小時15海里的速度沿著正東方向航行，1h后，甲船接到命令要與乙船會合，于是甲船改變了航行的速度，沿著東南方向航行，結(jié)果在小島C處與乙船相遇．假設(shè)乙船的速度和航向保持不變．求：圖15(1)港口A與小島C之間的距離；(2)甲輪船后來的速度．第21題答圖解：(1)作BD⊥AC于點D，如答圖所示．第21題答圖由題意，得AB＝30×1＝30海里，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，在Rt△ABD中，∵AB＝30海里，∠BAC＝30°，∴BD＝15海里，AD＝AB·cos30°＝15eq\r(3)海里，在Rt△BCD中，∵BD＝15海里，∠BCD＝45°，∴CD＝15海里，BC＝15eq\r(2)海里，∴AC＝AD＋CD＝15eq\r(3)＋15(海里)，即A，C間的距離為(15eq\r(3)＋15)海里；(2)∵AC＝15eq\r(3)＋15(海里)，輪船乙從A到C的時間為eq\f(15\r(3)＋15,15)＝eq\r(3)＋1，由B到C的時間為eq\r(3)＋1－1＝eq\r(3)，∵BC＝15eq\r(2)海里，∴輪船甲從B到C的速度為eq\f(15\r(2),\r(3))＝5eq\r(6)(海里/小時)．22.(12分)[2023·廣安]為鄧小平誕辰110周年獻禮，廣安市政府對城市建設(shè)進行了整改．如圖16，斜坡AB長60eq\r(2)m，坡角(即∠BAC)為45°，BC⊥AC，現(xiàn)方案在斜坡中點D處挖去局部斜坡，修建一個平行于水平線CA的休閑平臺DE和一條新的斜坡BE(下面兩個小題結(jié)果都保存根號)．(1)假設(shè)修建的斜坡BE的坡比為eq\r(3)∶1，求休閑平臺DE的長是多少米？(2)一座建筑物GH距離A點33m遠(即AG＝33m)，小亮在D點測得建筑物頂部H的仰角(即∠HDM)為30°.點B，C，A，G，H在同一個平面內(nèi)，點C，A，G在同一條直線上，且HG⊥CG，問建筑GH高為多少米？圖16解：(1)∵BC⊥AC，∠BAC＝45°，∴△ABC為等腰直角三角形．∵DE∥AC，∴△BDF為等腰直角三角形．∵AB＝60eq\r(2)，∴AC＝BC＝60.∵D為AB的中點，∴BD＝30eq\r(2).∴BF＝DF＝30.∵BE的坡比為eq\r(3)∶1，∴∠BEF＝60°.∴EF＝eq\f(BF,\r(3))＝eq\f(30,\r(3))＝10eq\r(3).∴DE＝30－EF＝30－10eq\r(3).∴休閑平臺DE的長為(30－10eq\r(3))m；(2)由題可知四邊形GPDM為矩形．∵D為AB的中點，∴AD＝eq\f(1,2)AB＝30eq\r(2).∴AP＝DP＝GM＝30.∴MD＝GP＝33＋30＝63.∵tan∠HDM＝eq\f(HM,MD)，即eq\f(HM,63)＝eq\f(\r(3),3)，∴HM＝eq\f(63\r(3),3)＝21eq\r(3).∴GH＝GM＋HM＝30＋21eq\r(3)(m)．∴建筑物GH高為(30＋21eq\r(3))m.23．(12分)閱讀下面的材料，先完成閱讀填空，再按要求答題：sin30°＝eq\f(1,2)，cos30°＝eq\f(\r(3),2)，那么sin230°＋cos230°＝__1__；sin45°＝eq\f(\r(2),2)，cos45°＝eq\f(\r(2),2)，那么sin245°＋cos245°＝__1__；sin60°＝eq\f(\r(3),2)，cos60°＝eq\f(1,2)，那么sin260°＋cos260°＝__1__；…觀察上述等式，猜測：對任意銳角A，都有sin2A＋cos2A＝__1__．(1)如圖17，在銳角三角形ABC中，利用三角函數(shù)的定義及勾股定理對∠A證明你的猜測；(2)：∠A為銳角(cosA>0)且sinA＝eq\f(3,5)，求cosA.圖17第23題答圖解：(1)如答圖，過點B作BH⊥AC于點H，BH2＋AH2