高中數(shù)學(xué)第1部分第3章空間向量與立體幾何31空間向量其運(yùn)算315空間向量數(shù)量積1數(shù)學(xué)教案

3．1.5空間向量的數(shù)目積[對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P59]空間向量的夾角在幫助日當(dāng)?shù)卣馂?zāi)區(qū)重修家園的過(guò)程中，中國(guó)某施工隊(duì)需要挪動(dòng)一個(gè)大型的平均的正三角形面的鋼筋混凝土構(gòu)件，已知它的質(zhì)量為5000kg，在它的極點(diǎn)處罰別受大小同樣的力1，2，3而且每?jī)蓚€(gè)力之間的夾角都是60°，(此中g(shù)＝10N/kg)．FFF問(wèn)題1：向量1和－2夾角為多少？FF提示：120°.問(wèn)題2：每個(gè)力最小為多少時(shí)，才能提起這塊混凝土構(gòu)件？提示：設(shè)每個(gè)力大小為

|F0|

，協(xié)力為

|F|，則|F|2＝(F1＋F2＋F3)·(F1＋F2＋F3)(F1＋F2＋F3)26|F0|2.∴|F|＝6|F0|.∴|F0|＝50006250062500066×10＝3×10＝3(N)．1．空間兩個(gè)向量的夾角：定義圖示表示范圍已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，〈a，b〉[0，π]作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角假如〈a，b〉＝0，那么向量a與b同向；假如〈a，〉＝π，那么向量a與b反向；bπ假如〈a，b〉＝2，那么向量a與b相互垂直，記作a⊥b.向量的數(shù)目積兩個(gè)向量的數(shù)目積定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)目積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．①零向量與任何向量的數(shù)目積為0.a·b②兩非零向量a，b的夾角〈a，b〉能夠由下邊的公式求得cos〈a，b〉＝|a||b|.③a⊥b?a·b＝0(a，b是兩個(gè)非零向量)．④|a|2＝a·a＝a2.(2)運(yùn)算律：①a·b＝b·a；②(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c.數(shù)目積的坐標(biāo)運(yùn)算在平面向量中，a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，我們知道a·b＝a1a2＋b1b2，那么在空間向量中，a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．則a·b為多少？提示：a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.設(shè)空間兩個(gè)非零向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；(2)|a|＝222xyz111(3)cos〈a，b〉＝x1x2＋y1y2＋z1z22.22＋z22＋y2121122特別地，a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.1．?dāng)?shù)目積是數(shù)目(數(shù)值)，能夠?yàn)檎?，能夠?yàn)樨?fù)，也能夠?yàn)榱悖?．?dāng)?shù)目積的運(yùn)算不知足消去律和聯(lián)合律，即a·b＝b·c推不出a＝c；(a·b)c≠a(b·c)．3．空間向量的數(shù)目積與向量的模和夾角有關(guān)，能夠用來(lái)求解線段的長(zhǎng)度和夾角問(wèn)題．[對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P60]求空間向量的數(shù)目積[例1]已知長(zhǎng)方體－1111中，＝1＝2，＝4，E為側(cè)面11的中心，ABCDABCDABAAADAABBF為A1D1的中點(diǎn)．求以下向量的數(shù)目積：BC·ED1；BF·AB1.[思路點(diǎn)撥]法一：基向量法：BC與ED1，BF與AB1的夾角不易求，可考慮用向量AB、AD、AA1表示向量BC、ED1、BF、AB1，再求結(jié)論即可．法二：坐標(biāo)法：建系→求有關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)→向量坐標(biāo)→數(shù)目積．[精解詳析]法一：(基向量法)如下圖，設(shè)AB＝a，AD＝b，AA1＝c，則|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)BC·ED＝BC·(EA＋AD)＝b·11(c－a)＋b＝1112|b|2＝42＝16.(2)BF·AB1＝(BA1＋A1F)·(AB＋AA1)＝c－a＋1b·(a＋c)＝|c|2－|a|22＝22－22＝0.法二：(坐標(biāo)法)以A為原點(diǎn)成立空間直角坐標(biāo)系，如下圖，則B(2,0,0)，C(2,4,0)，E(1,0,1)，D(0,4,2)，F(xiàn)(0,2,2)，A(0,0,0)，B(2,0,2)，11∴BC＝(0,4,0)，ED1＝(－1,4,1)，BF＝(－2,2,2)，AB1＝(2,0,2)，(1)BC·ED1＝0×(－1)＋4×4＋0×1＝16；BF·AB1＝－2×2＋2×0＋2×2＝0.[一點(diǎn)通]解決此類問(wèn)題的常用方法有兩種：基向量法：第一選用基向量，而后用基向量表示有關(guān)的向量，最后利用數(shù)目積的定義計(jì)算．注意：基向量的選用要合理，一般選模和夾角都確立的向量．坐標(biāo)法：關(guān)于建系比較方便的題目，采納此法較簡(jiǎn)單，只要建系后找出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得向量的坐標(biāo)，而后利用數(shù)目積的坐標(biāo)公式計(jì)算即可．如下圖，在棱長(zhǎng)為1的正四周體ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱AB，AD，DC的中點(diǎn)，試計(jì)算以下各式的值：AB·AC；(2)AD·DB；GF·AC；(4)AD·BC.解：在棱長(zhǎng)為1的正四周體ABCD中，∵|AB|＝|AC|＝1，〈AB，AC〉＝60°，∴AB·AC＝|AB||11AC|cos60°＝1×1×＝；22∵|AD|＝|BD|＝1，〈AD，DB〉＝180°－60°＝120°，∴AD·DB＝|AD||DB|cos1201×1×11°＝－＝－2；21(3)∵|GF|＝2，|AC|＝1，又GF∥AC，∴〈GF，AC〉＝180°，∴GF·AC＝|GF||AC|cos180°＝11×1×(－1)＝－；22∵BC＝DC－DB，又〈DC，AD〉＝〈DB，AD〉＝120°，AD·BC＝AD·(DC－DB)＝AD·DC－AD·DB111×1×－2－1×1×－2＝0.2．已知a＝(－2,0，－5)，b＝(3,2，－1)，求以下各式的值：a·a；(2)|b|；(3)(3a＋2b)·(a－b)．解：(1)a·a＝a2＝(－2)2＋02＋(－5)2＝29；(2)||＝2＝32＋22＋(－1)2＝14；bb(3)法一：因?yàn)?＋2＝3(－2,0，－5)＋2(3,2，－1)＝(0,4，－17)，－＝(－2,0，abab5)－(3,2，－1)＝(－5，－2，－4)，因此(3a＋2b)·(a－b)＝(0,4，－17)·(－5，－2，－4)＝0×(－5)＋4×(－2)＋(－17)×(－4)＝60；法二：因?yàn)閍·b＝(－2,0，－5)·(3,2，－1)＝(－2)×3＋0×2＋(－5)×(－1)＝－1，因此(3a＋2b)·(a－b)＝3a2－a·b－2b2＝3×29－(－1)－2×14＝60.利用數(shù)目積解決夾角和距離問(wèn)題[例2]如下圖，在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.求AC′的長(zhǎng)；求AC與AC的夾角的余弦值．[思路點(diǎn)撥]求線段長(zhǎng)，要利用向量的方法求解，重點(diǎn)是找到表示AC的基向量，只要模與夾角均可知，則問(wèn)題可求解，求夾角問(wèn)題則是向量數(shù)目積的逆用．[精解詳析](1)∵AC＝AB＋AD＋AA，|AC|2＝(AB＋AD＋AA)2＝|AB|2＋|AD|2＋|AA|2＋2(AB·AD＋AB·AA＋AD·AA)42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85.|AC|＝85.法一：設(shè)AC與AC的夾角為θ，∵ABCD是矩形，∴|AC|＝32＋42＝5.∴由余弦定理可得22285＋25－2585AC′＋AC－CC′＝cosθ＝＝.2AC′·AC2·85·510法二：設(shè)AB＝a，AD＝b，AA＝c，依題意得AC·AC＝(a＋b＋c)·(a＋b)a2＋2a·b＋b2＋a·c＋b·c16＋0＋9＋4×5×cos60°＋3×5×cos60°8516＋9＋10＋＝，2285∴cosθ＝AC·AC＝285AC|·|AC|＝.|85×510[一點(diǎn)通]1．求兩點(diǎn)間的距離或某線段的長(zhǎng)度，就是把此線段用向量表示，而后用|a|2＝a·a，即|a|＝a·a經(jīng)過(guò)向量運(yùn)算求|a|.2．關(guān)于空間向量a、b，有cos〈a，b〉＝a·b.|a||b|利用這一結(jié)論，能夠較方便地求解異面直線所成角的問(wèn)題，因?yàn)橄蛄康膴A角的取值范圍π，故〈a，b〉∈π為[0，π]，而異面直線所成的角的取值范圍為0，0，時(shí)，它們相22π，π時(shí)，它們互補(bǔ)．等；而當(dāng)〈a，b〉∈23．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA12，求異面直線BA1與AC所成角的余弦值．解：∵BA1＝BA＋AA1＝BA＋BB1，AC＝BC－BA，且BA·BC＝BB1·BA＝BB1·BC＝0，∴BA1·AC＝－BA2＝－1.又|AC|＝2，|BA|＝1＋2＝3，1BA1·AC－16∴cos〈BA1，AC〉＝＝＝－，|BA1||AC|666則異面直線BA1與AC所成角的余弦值為6.如圖，已知線段AB⊥平面α，BC?α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且DCF＝30°，D與A在α的同側(cè)，若AB＝BC＝CD＝2，求AD的模．解：∵AD＝AB＋BC＋，|AD|2＝AD·AD＝(AB＋BC＋)·(AB＋BC＋)＝|AB|2＋|BC|2＋||22AB·BC＋2BC·＋2AB·.①AB＝BC＝CD＝2，∴|AB|＝|BC|＝||＝2.②又∵AB⊥α，BC?α，∴AB⊥BC.∴AB·BC＝0.③CD⊥BC，∴·BC＝0.④把②③④代入①可得|AD|2＝4＋4＋4＋2AB·12＋2|AB|||cos〈AB，〉12＋8cos〈AB，〉．⑤∵∠DCF＝30°，∴∠CDF＝60°.又∵AB⊥α，DF⊥α，AB∥DF.∴〈AB，DC〉＝〈DF，DC〉＝60°.∴〈AB，〉＝120°.代入⑤式獲得＝12＋8cos120°＝8，∴|AD|＝22.利用數(shù)目積解決平行和垂直問(wèn)題[例3]已知空間三點(diǎn)A(－2,0,2)、B(－1,1,2)、C(－3，0,4)．設(shè)a＝AB，b＝AC.設(shè)|c|＝3，c∥BC，求c；(2)若ka＋b與ka－2b相互垂直，求k.[思路點(diǎn)撥](1)依據(jù)c與BC共線，設(shè)c＝λBC→依據(jù)模列出關(guān)系式→求λ；寫(xiě)出ka＋b，利用垂直ka－2b的坐標(biāo)→列關(guān)系式→求k.[精解詳析](1)∵BC＝(－2，－1,2)且c∥BC，∴設(shè)c＝λBC＝(－2λ，－λ，2λ)．|c|＝(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝3|λ|＝3.解得λ＝±1.c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．(2)∵a＝AB＝(1,1,0)，b＝AC＝(－1,0,2)，ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．∵(ka＋b)⊥(ka－2b)，(ka＋b)·(ka－2b)＝0.即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.5解得k＝2或k＝－2.[一點(diǎn)通]向量平行與垂直問(wèn)題主要有兩種題型：平行與垂直的判斷；利用平行與垂直求參數(shù)或其余問(wèn)題，即平行與垂直的應(yīng)用．5．將本例中條件“若向量ka＋b與ka－2b相互垂直”改為“若向量ka＋b與a＋kb相互平行”，其余條件不變，求k的值．解：a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，ka＋b＝(k－1，k,2)，a＋kb＝(1,1,0)＋(－k,0,2k)＝(1－k,1,2k)，ka＋b與a＋kb平行，ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－1，k,2)＝λ(1－k,1,2k)．k－1＝λ(1－k)，k＝－1，k＝1，∴k＝λ·1，∴λ＝－1，或λ＝1.2＝λ·2k，∴k的值為±1.6．已知空間四邊形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求證：AD⊥BC.證明：∵AB⊥CD，AC⊥BD，AB·＝0，AC·BD＝0，AD·BC＝(AB＋BD)·(AC－AB)AB·AC＋BD·AC－AB2－AB·BDAB·AC－AB2－AB·BDAB·(AC－AB－BD)＝AB·DC＝0.∴AD⊥BC，從而AD⊥BC.7．已知空間四邊形OABC中，M，N，P，Q分別為BC，AC，OA，OB的中點(diǎn)，若AB＝OC，求證：PM⊥QN.證明：如圖，設(shè)＝a，＝b，OC＝c，又P、M分別為OA、BC的中點(diǎn)．PM＝OM－112(b＋c)－2a12[(b－a)＋c]．11同理，QN＝ON－OQ＝2(a＋c)－2b1＝－2[(b－a)－c]．∴PM·QN＝1[(－)＋1]·－[(b－a)－c]2bac21－|2|c2．＝－(|－|)4ba又AB＝OC，即|b－a|＝|c|.PM·QN＝0，PM⊥QN，∴PM⊥QN.1．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a1＝λb1，則a∥b(b≠0)?a2＝λb2，a3＝λb3.a1a2a3但不等價(jià)于＝＝.b1b2b32．在辦理兩向量夾角為銳角或鈍角時(shí)，必定要注意兩向量共線的狀況．[對(duì)應(yīng)課時(shí)追蹤訓(xùn)練(二十二)]1．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，則向量AB與AC的夾角為_(kāi)_______．分析：AB＝(0,3,3)，AC＝(－1,1,0)，∴cos〈AB，AC〉＝3＝1，∴32×22AB，AC〉＝60°.答案：60°2．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，則|2a－3b|＝________.分析：a·b＝2×3×cos60°＝3.∴|2a－3b|＝4|a|2－12a·b＋9|b|2＝4×4－12×3＋81＝61.答案：613．若AB＝(－4,6，－1)，AC＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a⊥AB，a⊥AC，則a＝________________________________________________________________________.a·AB＝0，分析：設(shè)a＝(x，y，z)，由題意有a·AC＝0，代入坐標(biāo)可解得：|a|＝1，33x＝13，x＝－13，y＝4，或y＝－4，13131212z＝13z＝－13.34123412答案：13，13，13或－13，－13，－134．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，則p·q＝________.分析：∵p＝(1,1,0)－(0,1,1)＝(1,0，－1)，q＝(1,1,0)＋2(0,1,1)－(1,0,1)＝(0,3,1)，∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.答案：－15．如圖，120°的二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.若AB＝4，AC＝6，BD＝8，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)_______．分析：∵AC⊥AB，BD⊥AB，AC·AB＝0，BD·AB＝0.又∵二面角為120°，∴〈CA，BD〉＝60°，2＝||2＝(CA＋AB＋BD)2CA2＋AB2＋BD2＋2(CA·AB＋CA·BD＋AB·BD)＝164，||＝241.答案：2416．已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．若(ka＋b)∥(a－3b)，求k的值；若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k的值．解：ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)(7，－4，－16)．∵(ka＋b)∥(a－3b)，k－25k＋3－k＋517＝－4＝－16，解得k