高等數(shù)學函數(shù)的極限

高等數(shù)學函數(shù)的極限第一頁，共三十頁，2022年，8月28日、函數(shù)極限的定義數(shù)列(特殊的函數(shù))的極限函數(shù)的極限在自變量的某個變化過程中，如果函數(shù)值無限接近于某個確定的數(shù)，則這個確定的數(shù)就稱為在這一變化過程中的函數(shù)的極限.第二頁，共三十頁，2022年，8月28日(一)自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限1、記法：若且沿x

軸正向趨于，則稱x趨于正無窮大，記為同理：若且沿x

軸負向趨于，則稱x趨于負無窮大，記為若，則稱x趨于無窮大，記為例：根據(jù)函數(shù)的圖形考慮上述自變量的變化過程中函數(shù)值y的變化趨勢第三頁，共三十頁，2022年，8月28日2、定義1：若當時,的值與常數(shù)無限地接近，則稱當時，以A為極限，記作定義2(解析定義)：若存在常數(shù)A,對，當時，都有，則稱當時，以A為極限，記作同理可以定義和時函數(shù)極限的定義及記法.第四頁，共三十頁，2022年，8月28日第五頁，共三十頁，2022年，8月28日3、幾何解釋:第六頁，共三十頁，2022年，8月28日類似于前面的分析可以得出注：x趨于無窮大表示它既趨于正無窮大，又趨于負無窮大定理1：存在的充分必要條件是和均存在且相等．證明：用定義證明.第七頁，共三十頁，2022年，8月28日例1證第八頁，共三十頁，2022年，8月28日例2：觀察反正切函數(shù)的圖像寫出自變量三種變化情況下函數(shù)的極限.第九頁，共三十頁，2022年，8月28日(二)、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限一般地，當時，規(guī)定考察當時，函數(shù)的變化情況．定義1(通俗的講略)定義2(解析定義)第十頁，共三十頁，2022年，8月28日第十一頁，共三十頁，2022年，8月28日2、幾何解釋:注意3.表示從的左右兩側(cè)同時趨于該點第十二頁，共三十頁，2022年，8月28日例3證練習：第十三頁，共三十頁，2022年，8月28日例4證函數(shù)在點x=1處沒有定義.第十四頁，共三十頁，2022年，8月28日例5證？在上述極限過程中，要保證x

0。不能保證x

0問題：第十五頁，共三十頁，2022年，8月28日例6證問題：如何保證x

0?第十六頁，共三十頁，2022年，8月28日（1）用定義證明的關(guān)鍵步驟將|f(x)–A|適當化簡，變形或放大，使之出現(xiàn)下面的形式：再從中解出然后?。?）有時為了同時保證幾個不等式成立，常常要在幾個常數(shù)中取最小者。第十七頁，共三十頁，2022年，8月28日(三)、左、右極限考慮分段函數(shù)：在分段點處的極限情況第十八頁，共三十頁，2022年，8月28日右極限左極限第十九頁，共三十頁，2022年，8月28日例7：對函數(shù)在分段點處的極限情況解：從圖像上可以看出第二十頁，共三十頁，2022年，8月28日練習：討論下列函數(shù)在分段點處的極限.

(1)

(2)

第二十一頁，共三十頁，2022年，8月28日左右極限存在但不相等,例8證注：分段函數(shù)分段點處的極限必須通過該定理討論.第二十二頁，共三十頁，2022年，8月28日練習：討論下列函數(shù)在分段點處的極限.

(1)

(2)

第二十三頁，共三十頁，2022年，8月28日例9：可以證明：第二十四頁，共三十頁，2022年，8月28日二、函數(shù)極限的性質(zhì)1.唯一性2.局部有界性若，則存在常數(shù)和使得當時，有第二十五頁，共三十頁，2022年，8月28日3.局部保號性第二十六頁，共三十頁，2022年，8月28日4.子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)定義定理結(jié)論：函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.第二十七頁，共三十頁，2022年，8月28日例10證二者不相等,第二十八頁，共三十頁，2022年，8