空間幾何體的直觀圖-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修第二冊(cè)

4.1空間的幾何體第4章4.1.2空間幾何體的直觀圖1.了解斜二測(cè)畫法的概念，掌握斜二測(cè)畫法的步驟.2.能用斜二測(cè)畫法畫出簡(jiǎn)單空間圖形（柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體）的直觀圖.3.能根據(jù)平面圖形及空間圖形的直觀圖還原出平面圖形及空間圖形.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象學(xué)習(xí)目標(biāo)新知學(xué)習(xí)一、用斜二測(cè)畫法畫水平放置平面圖形的直觀圖斜二測(cè)畫法利用平行投影，人們獲得了畫直觀圖的斜二測(cè)畫法.利用這種畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，其步驟是：（1）在已知平面圖形上取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O.作出與之對(duì)應(yīng)的x′軸和y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，且使∠x′O′y′＝45°，它們確定的平面表示水平面.（2）平面圖形中與x軸平行（或重合）的線段，在直觀圖中畫成與x′軸平行（或重合）的線段，且長(zhǎng)度不變.平面圖形中與y軸平行（或重合）的線段，在直觀圖中畫成與y′軸平行（或重合）的線段，且長(zhǎng)度為原來長(zhǎng)度的一半.二、用斜二測(cè)畫法畫空間幾何體的直觀圖畫幾何體的直觀圖時(shí)，與畫平面圖形的直觀圖相比，只是多畫一個(gè)與x軸、y軸都垂直的z軸，并且使平行于z軸的線段的平行性和長(zhǎng)度都不變.其規(guī)則如下：（1）在已知圖形中取水平平面，取互相垂直的軸Ox，Oy，再取Oz軸，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.（2）畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對(duì)應(yīng)的軸O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝45°（或135°），∠x′O′z′＝90°，x′O′y′所確定的平面表示水平平面.（3）已知圖形中平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸、y′軸或z′軸的線段.（4）已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度取原來的一半.1.斜二測(cè)畫法的“三變”與“三不變”.（1）三變：①坐標(biāo)軸的夾角改變；②與y軸平行的線段的長(zhǎng)度改變；③圖形的形狀改變.（2）三不變：①線段的平行關(guān)系不變；②與x軸、z軸平行的線段的長(zhǎng)度不變；③點(diǎn)的相對(duì)位置不變.2.要先畫出底面的直觀圖，再畫出其余各面的直觀圖.3.坐標(biāo)系的建立要充分利用幾何體的對(duì)稱性，坐標(biāo)原點(diǎn)一般要選在圖形的對(duì)稱中心處，使得幾何體的頂點(diǎn)盡可能地落在坐標(biāo)軸上.4.畫空間幾何體的直觀圖時(shí)，需特別注意實(shí)虛線的應(yīng)用，被遮住的線必須用虛線，體現(xiàn)層次性和立體感.名師點(diǎn)析典例剖析一平面圖形的直觀圖的畫法例1按圖所示的建系方法，用斜二測(cè)畫法畫水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖.解題提示：建立斜坐標(biāo)系，按照斜二測(cè)畫法規(guī)則可得出點(diǎn)B，C，E對(duì)應(yīng)的點(diǎn).再在原圖上作AG⊥x軸于點(diǎn)G，作DH⊥x軸于點(diǎn)H，在x′軸上確定H′，G′的位置，根據(jù)A′G′，D′H′與y′軸平行，長(zhǎng)度分別為AG，DH的長(zhǎng)度的一半可確定A′，D′的位置，連接各點(diǎn)，擦去輔助線，即可得直觀圖.

（1）

（2）

（3）

畫水平放置的平面圖形直觀圖的技巧（1）在已知圖中建立直角坐標(biāo)系時(shí)盡量利用原有圖形的對(duì)稱性和垂直關(guān)系.（2）畫水平放置的平面多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形的頂點(diǎn)位置.頂點(diǎn)位置可以分為兩類：一類是在軸上或在與軸平行的線段上，這類頂點(diǎn)比較容易確定；另一類是不在軸上且不在與軸平行的線段上，這類頂點(diǎn)一般通過過此點(diǎn)作與軸平行的線段，將此點(diǎn)轉(zhuǎn)到與軸平行的線段上來確定.反思感悟用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個(gè)正方形，則原來的圖形是（）跟蹤訓(xùn)練A

A

BCD二空間幾何體的直觀圖的畫法例2

用斜二測(cè)畫法畫出正六棱錐P-ABCDEF的直觀圖，其中底面ABCDEF為正六邊形，點(diǎn)P在底面的正投影是正六邊形的中心O.（P點(diǎn)位置不作要求）

（1）（2）（3）畫空間幾何體的直觀圖的四個(gè)步驟（1）畫軸：通常以底面上的兩條互相垂直的直線為x軸、y軸，高所在直線為z軸建系.（2）畫底面：根據(jù)平面圖形的直觀圖畫法畫底面的直觀圖.（3）確定頂點(diǎn)：利用與z軸平行或在z軸上的線段確定有關(guān)頂點(diǎn).（4）連線成圖：畫圖完成后，擦掉輔助線，看得見的部分用實(shí)線，被遮擋的部分用虛線（或不畫），就得到了幾何體的直觀圖.反思感悟跟蹤訓(xùn)練畫正六棱柱（底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面）的直觀圖.（底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)尺寸不作要求）解：如圖（1），（1）畫軸.畫x′軸、y′軸、z′軸，使∠x′O′y′＝45°（或135°），∠x′O′z′＝90°.（2）畫底面.根據(jù)x′軸、y′軸畫正六邊形的直觀圖ABCDEF.（3）畫側(cè)棱.過A，B，C，D，E，F(xiàn)各點(diǎn)分別作z′軸的平行線，在這些平行線上分別截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，F(xiàn)F′，使AA′＝BB′＝CC′＝DD′＝EE′＝FF′.（4）成圖.順次連接A′，B′，C′，D′，E′，F(xiàn)′.加以整理（去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線），就得到正六棱柱的直觀圖，如圖（2）.（1）

（2）三

直觀圖的還原與計(jì)算例3

一個(gè)四邊形的直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底長(zhǎng)均為1的等腰梯形，求原四邊形的面積.解：（方法1）如圖（1）所示是四邊形的直觀圖，取B′C′所在直線為x′軸.

（1）（2）

反思感悟跟蹤訓(xùn)練

B四幾何體三視圖與直觀圖的綜合應(yīng)用例4

根據(jù)如圖所示的空間幾何體的三視圖，用斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖.解題提示：由三視圖知該幾何體是由一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)以長(zhǎng)方體的上底面為底面的四棱錐拼接而成的.先畫出長(zhǎng)方體的直觀圖，再以上底面的對(duì)角線交點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，畫出四棱錐的直觀圖，最后連接各點(diǎn)即可得到幾何體的直觀圖.解：?畫法：（1）先畫出長(zhǎng)方體的直觀圖ABCD-A1B1C1D1，如圖（1）；（2）再以上底面A1B1C1D1的對(duì)角線交點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，在z′軸上取點(diǎn)V′，使得V′O′的長(zhǎng)度為棱錐的高，連接V′A1，V′B1，V′C1，V′D1得四棱錐的直觀圖，如圖（2）；（3）擦去輔助線和坐標(biāo)軸，遮住部分用虛線表示，得到幾何體的直觀圖，如圖（3）.（1）

（2）

（3）跟蹤訓(xùn)練已