偏微分方程與其他學科的聯(lián)系

偏微分方程與其他學科的聯(lián)系1引言 偏微分方程起源于18世紀，在19世紀得到了迅速發(fā)展。最初偏微分方程只是研究直接來源于物理與幾何的問題，發(fā)展至今，已經成為了一個獨立的數學分支，討論的問題不僅包括物理、力學、生物、幾何和化學等古典問題，更深入了圖形圖像處理，天氣氣象預測等現(xiàn)代方面，并在處理問題的過程中應用了現(xiàn)代數學的許多工具。本文簡要介紹了在一些領域中偏微分方程起到的重要作用及其應用方法。2正文（PDE在各領域中的應用）2.1 物理學中的應用偏微分方程的起源與物理密不可分，從其基本方程的形式及名稱不難看出。而偏微分方程在物理學中的應用更是不勝枚舉，從電場中某點的電勢到熱傳導問題中某點在特定時刻的溫度，其精確求解的過程中，解偏微分方程組是極其重要的一部分，更是問題的關鍵所在。在此，不一一列舉偏微分方程在物理學中的應用，僅以一例，望能見微知著。以彈性體不受外力的的微小振動（n=3）為例 設彈性體占有三維空間中區(qū)域，并且不受外力。則對的任意光滑子域，有 ，又由高斯公式 ，得 ，由的任意性，得 因為是微小振動，從而有 即得三維齊次波動方程 在給定了時刻的初始位移和初始速度后，可聯(lián)立方程組，得 利用公式，可以解得，在球面坐標系下表示為其中，從而得到彈性振動體上質點在時刻時的位移2.2 氣象預測中的應用大氣的行為可以用一組以數學方程式表示的物理定理來表達，由這些物理定理可以計算大氣的量或場（如溫度、風向、風速及濕度等）將如何改變，接觸這組代表物理定理的數學式，就可以由目前的天氣狀態(tài)推演出對未來天氣現(xiàn)象的描述。以雷達探測云和降水為例 為定量測量降水和云中含水量，推測云和降雨的物理特性，選擇氣象雷達參數，可以利用氣象雷達方程。對于發(fā)射功率為，波長為，脈沖的空間長度為，天線增益為（表示天線定向發(fā)射的能力），以及水平和垂直波束角寬度分別為和的雷達，其基本氣象雷達方程為，式中為雷達接收到的來自無規(guī)則分布的云和降水水粒子的平均回波功率，為雷達至探測目標的距離；為雷達反射率，是單位體積中云和降水水粒子后向散射截面的和。當云和降水粒子為球形且直徑比雷達波長小得多的情況下,其后向散射截面,可以用瑞利公式代入，這時，氣象雷達方程可寫成：，其中，是單位體積中球形粒子直徑6次方的總和,稱為雷達反射因子,為球形粒子的直徑；，為云和降水粒子的復折射率。當粒子直徑大到和雷達波長相近或大于雷達波長時，不能應用瑞利公式，這時氣象雷達方程一般可寫成：，式中為雷達等效反射因子。2.3 圖形圖像處理中的應用 以保護圖像細節(jié)為例為了在同樣的存儲空間中存儲更多的圖片，我們需要對圖片信息進行壓縮；但是為了保持圖像的清晰程度，我們又要保持一定的細節(jié)水平?；谄胶膺@對矛盾的目的，我們對圖像所作處理的目標即為提取圖像中的總趨勢特征，并準確的定位“邊緣細節(jié)”等表征突變信息的曲線特征。偏微分方程方法可以很好的做到保護細節(jié)。偏微分方程方法所利用的先驗信息是圖像為分片光滑的二元函數．只是該函數在某些重要數據處不連續(xù)。根據圖像分片光滑的特性可構造關于梯度的約束，而根據圖像處理目的的不同又可構造圖像與原始圖像之間的相似性約束．將此兩個約束組合即得到變分方程．進而由Euler方程得到圖像處理的拋物方程。 為避免線性模型導致的對圖像邊緣的模糊，用非線性方程的諸如