平面向量專題三角形“四心”的向量式問題（原卷版）

/05/5/平面向量專題：三角形“四心”的向量式問題一、三角形的“重心”1、重心的定義：中線的交點(diǎn)，重心將中線長(zhǎng)度分成2:1三角形中線向量式：AM2、重心的性質(zhì)：（1）重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2:1。（2）重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。（3）在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù)，即xA3、常見重心向量式：設(shè)O是?ABC的重心，P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)=1\*GB3①OA+OB+=2\*GB3②PO=13=3\*GB3③若AP=λAB+AC或OP=OA+λAB=4\*GB3④若AP=λABABsinB+ACACsinC或OP二、三角形的“垂心”1、垂心的定義：高的交點(diǎn)。銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上；鈍角三角形的垂心在三角形外。2、常見垂心向量式：O是?ABC的垂心，則有以下結(jié)論：1、OA2、OA3、動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+λABABcosB+AC4、奔馳定理推論：S?BOC:S?COA三、三角形的“內(nèi)心”1、內(nèi)心的定義：角平分線的交點(diǎn)(或內(nèi)切圓的圓心)。2、常見內(nèi)心向量式：P是?ABC的內(nèi)心，（1）ABPC+BC其中a，b，c分別是?ABC的三邊BC、AC、AB的長(zhǎng)，（2）AP=λABAB+AC四、三角形的“外心”1、外心的定義：三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)(或三角形外接圓的圓心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等2、常用外心向量式：O是?ABC的外心，1、OA2、OA3、動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OB+則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的外心.4、若OA+OB?AB=OB題型一三角形的“重心”向量式【例1】（2022春·山東聊城·高一山東聊城一中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)G是三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則G點(diǎn)是三角形ABC的（）A．垂心B．內(nèi)心C．外心D．重心【變式1-1】（2022秋·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是該平面上不共線的3個(gè)點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P滿足：＝，則直線AP一定通過△ABC的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【變式1-2】（2022春·高一課時(shí)練習(xí)）已知是所在平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且，則點(diǎn)的軌跡一定通過的（）．A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【變式1-3】（2020·高一課時(shí)練習(xí)）在中，若，則點(diǎn)G是的（）A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心【變式1-4】（2022·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的（）A．內(nèi)心B．垂心C．外心D．重心題型二三角形的“垂心”向量式【例2】（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知是平面上一定點(diǎn)，、、是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的（）A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心【變式2-1】（2022春·河南南陽·高一統(tǒng)考期中）若為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且則點(diǎn)是的（）A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心【變式2-2】（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在中，若，則下列說法正確的是（）A．是的外心B．是的內(nèi)心C．是的重心.D．是的垂心【變式2-3】已知O是?ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足BA?OA+BC2=A．在AB邊的高所在的直線上B．在∠CC．在AB邊的中線所在的直線上D．是?ABC的外心題型三三角形的“內(nèi)心”向量式【例3】（2022春·河南開封·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足（，則射線經(jīng)過的（）A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心【變式3-1】（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若O在△ABC所在的平面內(nèi)，a，b，c是△ABC的三邊，滿足以下條件，則O是△ABC的（）A．垂心B．重心C．內(nèi)心D．外心【變式3-2】（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若在所在的平面內(nèi)，且滿足以下條件，則是的（）A．垂心B．重心C．內(nèi)心D．外心【變式3-3】（2022春·高一課時(shí)練習(xí)）在中，，，，則直線通過的（）A．垂心B．外心C．重心D．內(nèi)心題型四三角形的“外心”向量式【例4】（2022春·河南許昌·高一統(tǒng)考期末）已知P在所在平面內(nèi)，滿足，則P是的（）A．外心B．內(nèi)心C．垂心D．重心【變式4-1】（2022春·安徽淮南·高一淮南第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是所在平面上一點(diǎn)，若，則是的（）A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心【變式4-2】（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）是所在平面上一點(diǎn)，若，則是的（）A．重心B．外心C．內(nèi)心