一元二次方程的應(yīng)用類型

-.z.一元二次方程的應(yīng)用類型及例題解析（1）一元二次方程解應(yīng)用題步驟即：1．審題；2．設(shè)未知數(shù)，包括直接設(shè)未知數(shù)和間接設(shè)未知數(shù)兩種；3．找等量關(guān)系列方程；4．解方程；5．判斷解是否符合題意；6．寫(xiě)出正確的解．（2）常見(jiàn)類型1、傳播問(wèn)題有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了*個(gè)人可傳染人數(shù)共傳染人數(shù)第0輪1（傳染源）1第1輪**+1第2輪*(*+1)1+*+*(*+1)列方程1+*+*(*+1)=121解方程，得*1=10，*2=-12*2=-12不符合題意，所以原方程的解是*=10答：每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了10個(gè)人。類似問(wèn)題還有樹(shù)枝開(kāi)叉等。2、循環(huán)問(wèn)題又可分為單循環(huán)問(wèn)題，雙循環(huán)問(wèn)題和復(fù)雜循環(huán)問(wèn)題a．參加一次足球聯(lián)賽的每?jī)申?duì)之間都進(jìn)行一場(chǎng)比賽，共比賽45場(chǎng)比賽，共有多少個(gè)隊(duì)參加比賽？b.參加一次足球聯(lián)賽的每?jī)申?duì)之間都進(jìn)行兩次比賽，共比賽90場(chǎng)比賽，共有多少個(gè)隊(duì)參加比賽？c.一個(gè)正八邊形，它有多少條對(duì)角線？3、平均率問(wèn)題最后產(chǎn)值、基數(shù)、平均增長(zhǎng)率或降低率、增長(zhǎng)或降低次數(shù)的基本關(guān)系：M=a(1±*)n

n為增長(zhǎng)或降低次數(shù)

M為最后產(chǎn)量，a為基數(shù)，*為平均增長(zhǎng)率或降低率平均率和時(shí)間相關(guān)，必須弄清楚從何年何月何日到何年何月何日的增長(zhǎng)或降低率。（a）平均增長(zhǎng)率問(wèn)題*電腦公司2000年的各項(xiàng)經(jīng)營(yíng)收入中，經(jīng)營(yíng)電腦配件的收入為600萬(wàn)元，占全年經(jīng)營(yíng)總收入的40%，該公司預(yù)計(jì)2002年經(jīng)營(yíng)總收入要達(dá)到2160萬(wàn)元，且計(jì)劃從2000年到2002年，每年經(jīng)營(yíng)總收入的年增長(zhǎng)率相同，問(wèn)2001年預(yù)計(jì)經(jīng)營(yíng)總收入為多少萬(wàn)元？解：設(shè)每年經(jīng)營(yíng)總收入的年增長(zhǎng)率為a.列方程，600÷40%×(1+a)2=2160解方程，a1=0.2a2=-2.2，(不符合題意，舍去)∴每年經(jīng)營(yíng)總收入的年增長(zhǎng)率為0.2則2001年預(yù)計(jì)經(jīng)營(yíng)總收入為：600÷40%×(1+0.2)=600÷40%×1.2=1800答：2001年預(yù)計(jì)經(jīng)營(yíng)總收入為1800萬(wàn)元.（b）平均下降率問(wèn)題從盛滿20升純酒精的容器里倒出若干升，然后用水注滿，再倒出同樣升數(shù)的混合液后，這時(shí)容器里剩下純酒精5升．問(wèn)每次倒出溶液的升數(shù)？剖析：第一次倒出的是純酒精，而第二次倒出的就不是純酒精了．若設(shè)每次倒出*升，則第一次倒出純酒精*升，第二次倒出純酒精（·*）升．根據(jù)20升純酒精減去兩次倒出的純酒精，就等于容器內(nèi)剩下的純酒精的升數(shù)．20－*－·*＝5．4、商品銷售問(wèn)題常用關(guān)系式：售價(jià)—進(jìn)價(jià)=利潤(rùn) 一件商品的利潤(rùn)×銷售量=總利潤(rùn)單價(jià)×銷售量=銷售額）（a）給出關(guān)系式1.*商店購(gòu)進(jìn)一種商品，進(jìn)價(jià)30元．試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量P(件)與每件的銷售價(jià)*(元)滿足關(guān)系：P=100-2*銷售量P，若商店每天銷售這種商品要獲得200元的利潤(rùn)，則每件商品的售價(jià)應(yīng)定為多少元？每天要售出這種商品多少件？(b)一個(gè)"+”，一個(gè)"—”2.*水果批發(fā)商場(chǎng)經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克。現(xiàn)該商品要保證每天盈利6000元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，則每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？5、面積問(wèn)題如圖1，在寬20米，長(zhǎng)32米的矩形耕地上，修筑同樣寬的三條路(兩條縱向，一條橫向，并且橫向與縱向互相垂直)，把這塊耕地分成大小相等的六塊試驗(yàn)田，要使試驗(yàn)田的面積是570平方米，問(wèn)道路應(yīng)該多寬"解：設(shè)路寬為*米，則兩條縱路所占的面積為2·*·20＝40*（米2），一條橫路所占的面積為32*(米2)．縱路與橫路所占的面積都包括兩個(gè)小正方形ABCD、EFGH的面積，所以三條路所占耕地面積應(yīng)當(dāng)是(40*＋32*－2*2)米2，根據(jù)題意可列出方程32×20－（40*＋32*－2*2）＝570．解：設(shè)道路寬為*米，根據(jù)題意，得32×20－（40*＋32*－2*2）＝570．整理，得*2－36*＋35＝0．解這個(gè)方程，得*1＝1，*2＝35．*2＝35不合題意，所以只能取*1＝1．答：道路寬為1米．說(shuō)明：本題的分析中，若把所求三條路平移到矩形耕地邊上(如圖2)，就更易發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系列出方程．如前所設(shè)，知矩形MNPQ的長(zhǎng)MN＝(32－2*)米，寬NP＝(20－*)米，則矩形MNPQ的面積為：(32－2*)(20－*)．而由題意可知矩形MNPQ的面積為570平方米．進(jìn)而列出方程(32－2*)(20－*)＝570，思路清晰，簡(jiǎn)單明了．6、銀行問(wèn)題王明同學(xué)將100元第一次按一年定期儲(chǔ)蓄存入"少兒銀行”，到期后將本金和利息取出，并將其中的50元捐給"希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時(shí)存款的年利率已下調(diào)到第一次存款時(shí)年利率的一半，這樣到期后可得本金利息共63元，求第一次存款時(shí)的年利率．解：設(shè)第一次存款時(shí)的年利率為*，根據(jù)題意，得［100（1＋*）－50］（1＋*）＝63．整理，得50*2＋125*－13＝0．解得*1＝，*2＝－．∵*2＝－不合題意，∴*＝＝10％．答：第一次存款時(shí)的年利率為10％．說(shuō)明：要理解"本金”"利息”"利率”"本息和”等有關(guān)的概念，再找清問(wèn)題之間的相等關(guān)系．7、數(shù)學(xué)問(wèn)題一個(gè)兩位數(shù)，十位上數(shù)字與個(gè)位上數(shù)字之和為5；把十位上的數(shù)字與個(gè)位上數(shù)字互換后再乘以原數(shù)得736，求原來(lái)兩位數(shù)．解：設(shè)原來(lái)兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)字為*，則十位上的數(shù)字為(5－*)，原來(lái)的兩位數(shù)就是：10(5－*)＋*．新的兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)字為(5－*)，十位上的數(shù)字為*，新的兩位數(shù)就是：10*＋(5－*)．可列出方程：［10（5－*）＋*］［10*＋(5－*)］＝736．解：設(shè)原來(lái)兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)字為*，則十位上的數(shù)字為(5－*)．根據(jù)題意，得［10（5－*）＋*］［10*＋(5－*)］＝736．整理，得*2－5*＋6＝0，解得*1＝2，*2＝3．當(dāng)*＝2時(shí)，5－*＝5－2＝3；當(dāng)*＝3時(shí)，5－*＝5－3＝2．答：原來(lái)的兩位數(shù)是32或23．說(shuō)明：解決這類問(wèn)題，關(guān)鍵是寫(xiě)出表示這個(gè)數(shù)的代數(shù)式．8、動(dòng)態(tài)幾何如圖，在△ABC中，∠B=90o,點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng).如果P、Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾秒，△PBQ的面積等于8cm2？解：設(shè)經(jīng)過(guò)*秒，得BP=6-*，BQ=2*∵S△PBQ=BP×BQ÷2∴（6-*）×2*÷2=8解得：*1=2，*2=4答：經(jīng)過(guò)2秒或4秒，△PBQ的面積等于8cm2.綜合練習(xí)生物興趣小組的學(xué)生，將自己收集的標(biāo)本向本組其他成員各贈(zèng)送一件，全組共互贈(zèng)了182件，這個(gè)小組共有多少名同學(xué)？2.*種電腦病毒傳播非?？?，如果一臺(tái)電腦被感染，經(jīng)過(guò)兩輪感染后就會(huì)有81臺(tái)電腦被感染．請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)分析，每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會(huì)不會(huì)超過(guò)700臺(tái)？3.*種商品，原價(jià)50元，受金融危機(jī)影響，1月份降價(jià)10％，從2月份開(kāi)始漲價(jià)，3月份的售價(jià)為64.8元，求2、3月份價(jià)格的平均增長(zhǎng)率。4.*藥品經(jīng)兩次降價(jià)，零售價(jià)降為原來(lái)的一半，已知兩次降價(jià)的百分率相同，求每次降價(jià)的百分率？5.為了綠化校園，*中學(xué)在2007年植樹(shù)400棵，計(jì)劃到2009年底使這三年的植樹(shù)總數(shù)達(dá)到1324棵，求該校植樹(shù)平均每年增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)。6.王紅梅同學(xué)將1000元壓歲錢(qián)第一次按一年定期含蓄存入"少兒銀行”，到期后將本金和利息取出，并將其中的500元捐給"希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時(shí)存款的年利率已下調(diào)到第一次存款時(shí)年利率的90%，這樣到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款時(shí)的年利率.（假設(shè)不計(jì)利息稅）7.*水果批發(fā)商場(chǎng)經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克?，F(xiàn)該商品要保證每天盈利6000元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，則每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？8.服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)*品牌童裝平均每天可售出２０件，每件盈利４０元。為了迎接"六一”兒童節(jié)，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，擴(kuò)大銷售量，增加盈利，減少庫(kù)存。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件童裝每降價(jià)４元，則平均每天就可多售出８件。要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200元，則每件童裝應(yīng)降價(jià)多少元？9.利達(dá)經(jīng)銷店為*工廠代銷一種建筑材料（這里的代銷是指廠家先免費(fèi)提供貨源，待貨物售出后再進(jìn)行結(jié)算，未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理）。當(dāng)每噸售價(jià)為260元時(shí)，月銷售量為45噸。該經(jīng)銷店為提高經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)，準(zhǔn)備采取降價(jià)的方式進(jìn)行促銷。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每噸售價(jià)每下降10元時(shí)，月銷售量就會(huì)增加7.5噸。綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費(fèi)用100元。（1）當(dāng)每噸售價(jià)是240元時(shí)，計(jì)算此時(shí)的月銷售量；（2）在遵循"薄利多銷”的原則下，問(wèn)每噸材料售價(jià)為多