橢圓簡單幾何性質(zhì)

橢圓及其性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】①了解橢圓的實(shí)際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用．②掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)．【考綱要求】橢圓方程為B級(jí)要求【自主學(xué)習(xí)】1．橢圓的定義(1)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的，之間的距離叫做焦距．注：①當(dāng)2a＝|F1F2②當(dāng)2a＜|F1F2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是：，其中(>>0，且)(2)焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是，其中a，b滿足：．3．橢圓的幾何性質(zhì)(對(duì),a>b>0進(jìn)行討論)(1)范圍：≤x≤，≤y≤(2)對(duì)稱性：對(duì)稱軸方程為；對(duì)稱中心為．(3)頂點(diǎn)坐標(biāo)：，焦點(diǎn)坐標(biāo)：，長半軸長：，短半軸長：；(4)離心率：(與的比)，，越接近1，橢圓越；越接近0，橢圓越接近于．

(5)橢圓的參數(shù)方程為．

4．焦點(diǎn)三角形應(yīng)注意以下關(guān)系：(1)定義：r1＋r2＝2a(2)余弦定理：＋－2r1r2cos＝(2c)(3)面積：＝r1r2sin＝·2c|y0|(其中P()為橢圓上一點(diǎn)，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝)

【基礎(chǔ)自測(cè)】1.已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的離心率等于.

2.若橢圓=1的離心率為，則實(shí)數(shù)m=.

3設(shè)橢圓+=1(m＞0,n＞0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)相同，離心率為，則此橢圓的方程為.

4（2008·江蘇，12）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓(a＞b＞0)的焦距為2，以O(shè)為圓心，a為半徑作圓，過點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直，則離心率e=.

[典型例析]例1（1）已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且長軸是短軸的3倍，并且過點(diǎn)P（3，0），求橢圓的方程；（2）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)P1（，1）、P2（-，-），求橢圓的方程.

例2.已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，∠F1PF2=60°.（1）求橢圓離心率的范圍；（2）求證：△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān).

例3已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，經(jīng)過兩點(diǎn)A(1，eq\f(2\r(5),5))，B(－2，eq\f(\r(5),5))．圓F的圓心是橢圓E的右焦點(diǎn)F，且圓F的半徑恰等于橢圓的短半軸長．(Ⅰ)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)若點(diǎn)P是圓F上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求eq\o(\s\up8(),FP)eq\o(\s\up8(),OP)的取值范圍．

[當(dāng)堂檢測(cè)]1.已知橢圓的長軸長是8，離心率是，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

2.若橢圓的對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離為，則這個(gè)橢圓的方程為.

3.已知以F1（-2,0），F(xiàn)2(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓與直線x+y+4=0有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的長軸長為.

4經(jīng)過橢圓+y2=1的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為45°的直線l,交橢圓于A、B兩點(diǎn)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則·等于.

解(Ⅰ)設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)．………………2分因?yàn)锳(1，eq\f(2\r(5),5))，B(－2，eq\f(\r(5),5))在橢圓E上，所以eq\b\lc\{(\a\al(m＋eq\f(4,5)n＝1，,4m＋eq\f(1,5)n＝1，))…4分解得m＝eq\f(1,5)，n＝1，滿足條件．所以所求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,5)＋y2＝1．…………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知橢圓E的右焦點(diǎn)為F(2，0)，短半軸長為1，所以圓心坐標(biāo)為(2，0)，半徑r＝1，所以圓F的方程為(x－2)2＋y2＝1．……8分設(shè)P(x，y)，則eq\o(\s\up8(),FP)＝(x－2，y)，eq\o(\s\up8(),OP)＝(x，y)，所以eq\o(\s\up8(),FP)·eq\o(\s\up8(),OP)＝x(x－2)＋y2＝x2＋y2－2x＝2x－3．…………10分因?yàn)?x－2)2＋y2＝1，所以(x－2)2≤1，即－1≤x－2≤1，得1≤x≤3．所以－1≤2x－3≤3，即eq\o(\s\up8(),FP)·eq\o(\s\up8(),OP)的取值范圍為[－1，3]．………14分解法二由(Ⅰ)知橢圓E的右焦點(diǎn)為F(2，0)，短半軸長為1，所以圓心坐標(biāo)為(2，0)，半徑r＝1，所以圓F的方程為(x－2)2＋y2＝1．…………………8分設(shè)P(2＋cosθ，sinθ)，θ∈R，則eq\o(\s\up8(),FP)＝(cosθ，sinθ)，eq\o(\s\up8(),OP)＝(2＋cosθ，sinθ)，所以eq\o(\s\up8(),FP)·eq\o(\s\up8(),OP)＝cosθ(2＋cosθ)＋(sinθ)2＝2cosθ＋1．……12分因?yàn)椋?≤cosθ≤1，所以－1≤2cosθ＋1≤3，即eq\o(\s\up8(),FP)·eq\o(\s\up8(),OP)的取值范圍為[－1，3]．……………