幾何模型 與“中點(diǎn)”有關(guān)的模型②（平分模型） 中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)必會(huì)幾何模型剖析（全國(guó)通用）

中考總復(fù)習(xí)-幾何模型專題一

平分模型1.2

與“中點(diǎn)”有關(guān)的模型②理論依據(jù)情境導(dǎo)入考點(diǎn)聚焦典例精講查漏補(bǔ)缺課堂小結(jié)提升能力2.一邊的垂線過(guò)這邊中點(diǎn)垂直平分線性質(zhì)；1.中線或與中點(diǎn)有關(guān)線段中線倍長(zhǎng)構(gòu)造全等；3.圓+弦或弧的中點(diǎn)垂徑定理或圓周角定理．聯(lián)想聯(lián)想聯(lián)想聯(lián)想模型分析基本模型中點(diǎn)問(wèn)題常用性質(zhì)及常見(jiàn)輔助線作法6.多個(gè)中點(diǎn)或平行+中點(diǎn)4.直角三角形+斜邊中點(diǎn)5.等腰三角形+底邊中點(diǎn)構(gòu)造中位線；直角三角形斜邊中線性質(zhì)；等腰三角形三線合一；聯(lián)想聯(lián)想精講精練知識(shí)要點(diǎn)直角三角形斜邊中線模型05等腰三角形三線合一模型06三角形中位線模型07知識(shí)點(diǎn)五模型分析直角三角形的斜邊中線模型圖形示例模型分析直角三角形的斜邊中線模型在直角三角形中,當(dāng)遇見(jiàn)斜邊中點(diǎn)時(shí),經(jīng)常會(huì)作斜邊上的中線,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,即CD=0.5AB來(lái)證明線段間的數(shù)量關(guān)系,而且可以得到兩個(gè)等腰三角形：△ACD和△BCD,該模型經(jīng)常會(huì)與中位線定理一起綜合應(yīng)用．BCAD

【思考】在直角三角形中遇到斜邊上的中點(diǎn),你想到了哪些學(xué)過(guò)的知識(shí)：___________________________________.直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半

6FCEDBA解：如圖,∵BF∥DE,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).∴ED是△AFD的中位線.∴BF=2ED=8.∴ED=CE+CD=4.∵∠ACB=90o,D為AB的中點(diǎn).∴CD= 0.5AB.

∵CE=1/3CD.∴AB=6.知識(shí)點(diǎn)五典例精講直角三角形的斜邊中線模型如圖,在Rt△ABC中,∠ACB＝90o,CD為AB邊上的高,若點(diǎn)A關(guān)于CD所在直線的對(duì)稱點(diǎn)E恰好為AB的中點(diǎn),則∠BCE的度數(shù)是(

)

A.60o B.45o

C.30o

D.75oCCDEAB∵在Rt△ABC中,∠ACB=90o,CD為AB邊上的高,

點(diǎn)A關(guān)于CD所在直線的對(duì)稱點(diǎn)E恰好為AB的中點(diǎn).∴∠CED=∠A,CE=BE=AE.∴∠ECA=∠A,∠B=∠BCE.∴△ACE是等邊三角形.∴∠CED=60o.∴∠B=∠CED=30o．∴∠A=60o.知識(shí)點(diǎn)五針對(duì)訓(xùn)練直角三角形的斜邊中線模型精講精練知識(shí)要點(diǎn)直角三角形斜邊中線模型05等腰三角形三線合一模型06三角形中位線模型07知識(shí)點(diǎn)六模型分析中點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)模型圖形示例模型分析等腰三角形“三線合一”模型當(dāng)出現(xiàn)等腰三角形時(shí),常隱含有底邊中點(diǎn),可利用其“三線合一”的性質(zhì).如圖,在△ABC中,(1)AC=BC；(2)CD平分∠ACB；(3)AD=BD；(4)CD⊥AB.“知二得二”：比如由(2)(3)可得出(1)(4),也就是說(shuō),以上四條語(yǔ)句,任意選擇兩個(gè)作為條件,就可以推出剩下的兩條.ADCB【思考】在等腰三角形中遇到底邊上的中點(diǎn),你想到了哪些學(xué)過(guò)的知識(shí)：__________________________________________________.【例4】如圖,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,點(diǎn)M為BC的中點(diǎn),MN⊥AC于點(diǎn)N.則MN的長(zhǎng)為_(kāi)____．ABNMC等腰三角形底邊中線、高線、頂角平分線“三線合一”如圖,連接AM.∵AB=AC=5,點(diǎn)M為BC的中點(diǎn).∴AM⊥CM.∵ 0.5AM×MC=0.5AC×MN.知識(shí)點(diǎn)六典例精講等腰三角形三線合一模型如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn),EC平分∠DEB,點(diǎn)F為CE的中點(diǎn),連接AF,BF.過(guò)點(diǎn)E作EH∥BC分別交AF,CD于G,H兩點(diǎn).求證：(1)DE=DC；(2)AF⊥BF.AMHDCBEFG證明：(1)∵四邊形ABCD是矩形∴AB∥CD.∴∠DCE=∠CEB.∵EC平分∠DEB.∴∠DCE=∠CEB.∴∠DCE=∠DEC.∴DE=DC.(2)連接DF.∵DE=DC,點(diǎn)F為CE的中點(diǎn),∴DF⊥EC.∴∠DFC=90o.在矩形ABCD,AB=DC,∠ABC=90o,∴BF=CF=EF=0.5EC∴∠ABF=∠CEB.∵∠DCE=∠CEB,∴∠ABF=∠DCF.在△ABF和△DCF中BF=CF∠ABF=∠DCFAB=DC∴△ABF≌△DCF(SAS)∴∠AFB=∠DFC=90o∴AF⊥BF.知識(shí)點(diǎn)六針對(duì)訓(xùn)練等腰三角形三線合一模型精講精練知識(shí)要點(diǎn)直角三角形斜邊中線模型05等腰三角形三線合一模型06三角形中位線模型07知識(shí)點(diǎn)七模型分析中點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)模型圖形示例模型分析中位線模型當(dāng)已知條件中同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)及兩個(gè)以上中點(diǎn)時(shí),常考慮構(gòu)造中位線；或出現(xiàn)一個(gè)中點(diǎn),要證明平行線段或線段倍分關(guān)系時(shí)也常考慮構(gòu)造中位線.利用三角形中位線的性質(zhì)定理：DE∥BC,且DE=0.5BC,△ADE∽△ABC,則可得線段之間的相等或比例關(guān)系.AEDCB“角平分線,中點(diǎn),垂直”只要出現(xiàn)了兩個(gè)條件,考慮補(bǔ)全為等腰三角形三線合一模型.【思考】在一般三角形中看到中點(diǎn),你想到了哪些學(xué)過(guò)的知識(shí)：

_____________________________________________________________.過(guò)中點(diǎn)作平行線可構(gòu)造中位線,中位線平行于底邊且等于底邊的一半.【例5】如圖,M是△ABC的邊BC的中點(diǎn),AN平分∠BAC,BN⊥AN于點(diǎn)N,且AB=8，MN=3.則AC的長(zhǎng)為( )A.3B.7C.8

D.14DANMCBD∴AC=AD+DC=8+6=14.解析：∵AN平分∠BAC.∴∠BAN=∠DAN,AN=AN,∠ANB=∠AND=90o.∴△ABN≌△AEN.∴AD=AB=8,BN=ND.∵M(jìn)是△ABC的邊BC的中點(diǎn).∴CD=2MN=2×3=6.知識(shí)點(diǎn)七典例精講三角形中位線模型在△ABC中,CD平分∠ACB,AD⊥CD,E是AB中點(diǎn),AC=15,BC=27,求DE的長(zhǎng).等腰中,造三線,兩個(gè)條件快補(bǔ)全.三線合一+中位線F【分析】本題中,點(diǎn)E已經(jīng)是AB的中點(diǎn),由CD平分∠ACB,AD⊥CD,想到可以構(gòu)造等腰三角形,利用三線合一,使點(diǎn)D成為另一個(gè)中點(diǎn),從而讓ED變成“看得見(jiàn)”的中位線.∴DE=0.5BF=0.5(BC-CF)=0.5(BC-AC)=6.解：延長(zhǎng)AD交BC于F.∵CD平分∠ACB,AD⊥CD∴∠ACD=∠FCD,∠ADC=∠FDC=90o,∴∠CAD=∠CFD∴AC=CF,AD=FD∵E是AB的中點(diǎn)，D是FA的中點(diǎn).∴DE是△ABF的中位線，知識(shí)點(diǎn)七針對(duì)訓(xùn)練三角形中位線模型ADECB強(qiáng)化訓(xùn)練查漏補(bǔ)缺基礎(chǔ)訓(xùn)練中點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)模型1.如圖,點(diǎn)M是△ABC的邊BC的中點(diǎn),AN平分∠BAC,BN⊥AN于點(diǎn)N,延長(zhǎng)BN交AC于點(diǎn)D,已知AB=10,AC=16,則MN=____.2.如圖,在△ABC中,D是AB上一點(diǎn),AD=AC,AE平分∠CAD,交CD于點(diǎn)E,F是BC的中點(diǎn),若BD=16,則EF的長(zhǎng)為_(kāi)___．3.如圖,在△ABC中,AB=8,AC=6,AD,AE分別是其角平分線和中線,點(diǎn)C作CG⊥AD于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)G,連接EF,則線段EF的長(zhǎng)為_(kāi)___.3ANDCMB8CFEBDA1ADECBGF查漏補(bǔ)缺基礎(chǔ)訓(xùn)練中點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)模型4.如圖,D是△ABC內(nèi)一點(diǎn),BD⊥CD,AD=12,BD=8,CD=6,點(diǎn)E,F,G,H分別是AB,AC,CD,BD的中點(diǎn),則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是()

A.14B.18C.20D.225.如圖,△ABC的面積是12,點(diǎn)D,E,F,G分別是BC,AD,BE,CE的中點(diǎn),則△AFG的面積是()A.4.5B.5C.5.5D.6DAADGHFECBAGFDCBEABEDC6.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90o,CD為AB邊上的高,CE為AB邊上的中線,AD=4,CE=10,求CD的長(zhǎng).解：在Rt△ABC中∠ACB=90o,CE為AB邊上的中線,CE=10,∴AE=CE=10.∵AD=4,∴DE=6.∵CD為AB邊上的高,∴在Rt△CDE中，查漏補(bǔ)缺基礎(chǔ)訓(xùn)練中點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)模型7.如圖,在平行四邊形ABCD中,AC⊥BC,點(diǎn)E,F分別在AB,BC上,且滿足AC=AE=CF,連接CE,AF,EF.(1)若∠ABC=35°,求∠EAF的度數(shù)；(2)若CE⊥EF,求證：CE=2EF.AEBFCDM∴CE=2EF.(1)解：∵AC⊥BC,AC=CF.∴△ACF為等腰直角三角形，則∠AFC=45o.∵∠AFC=∠B+∠EAF,∠B=35o.∴∠EAF=10o；(2)證明：如解圖①,取CF的中點(diǎn)M,連接EM、AM.∵CE⊥EF∴EM=CM=FM=0.5CF.∵AC=AE,∴AM為EC的中垂線.∴∠CAM+∠ACE=90o.∵∠ECF+∠ACE=90o.∴∠CAM=∠FCE.∵∠CEF=∠ACM=90o.∴△ACM∽△CEF.∵CF=AC=2CM.∴AC:CM=CE:EF=2:1∴AC:CM=CE:EF查漏補(bǔ)缺基礎(chǔ)訓(xùn)練中點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)模型1.如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形EFGH在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD所在平面上移動(dòng),始終保持EF∥AB.線段CF的中點(diǎn)為M,DH的中點(diǎn)為N,則線段MN的長(zhǎng)為_(kāi)____.ABEFGHMNDC取特值(圖形或位置特殊化)的妙用!口訣:選填題,巧測(cè)量,排除代入特值上O解：如圖,將正方形EFGH的位置特殊化,使點(diǎn)H與點(diǎn)A重合,過(guò)點(diǎn)M作MO⊥ED于點(diǎn)O,則MO是梯形FEDC的中位線.∵EO=OD=2,∵點(diǎn)N、M分別是AD、FC的中點(diǎn)∴MO=0.5(EF+CO)=2∴AN=ND=1.5∴ON=OD-ND=2-1.5=0.5在Rt△MON中，MN2=OM2+ON2，即MN=提升能力強(qiáng)化訓(xùn)練中點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)模型2.如圖,在△ABC中,若∠B=2∠C,AD⊥BC,E為BC邊中點(diǎn),求證：AB=2DE.FEF為中位線,綜合已知條件易得：DE=DFAEDCB提升能力強(qiáng)化訓(xùn)練中點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)模型3.已知Rt△ABC中,AC=BC,C=90o,D為AB邊的中點(diǎn),∠EDF=90o,∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交AC、CB(或它們的延長(zhǎng)線)于E、F.(1)當(dāng)∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC于E時(shí)(如圖①)，

求證：S△DEF+S△CEF=0.5S△ABC；(2)當(dāng)∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時(shí),在圖②和圖③這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)給予證明；若不成立,S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出你的猜想,不需證明.A圖1CBFDEA圖2CBFDEA圖3CBFDE提升能力強(qiáng)化訓(xùn)練中點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)模型

AMCB圖1AMCB圖2ED(1)解：∵∠ABM=45o,AM⊥BM,∴AM=BM=AB·cos45o=∴CM=BC-BM=5-3=2.G(2)證明：延長(zhǎng)EF到點(diǎn)G,使得FG=EF,連接BG.∵DM=MC,∠BMD=∠AMC=90o,BM=AM,∴△BMD≌△AMC(SAS)∴AC=BD∴∠BDF=∠CEF.

∵CE=AC.∴BD=CE.∵BF=CF,∠BFG=∠CFE,FG=FE.∴△BFG≌△CFE(SAS).∴BG=CE,∠G=∠CEF.∴BD=CE=BG.∴∠BDG=∠G=∠CEF.提升能力強(qiáng)化訓(xùn)練中點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)模型5.如圖,在△ABC中,AD是高,CE是中線,點(diǎn)G是CE的中點(diǎn),DG⊥CE于點(diǎn)G.

(1)求證：DC=BE；(2)若∠AEC=66o,求∠BCE的度數(shù).AGEDCB(1)證明：連接DE.∵AD⊥BC,∴∠ADB=90o.∵AE=BE.∴DE=BE=AE.∵DG⊥EC,點(diǎn)G是CE的中點(diǎn).∴DE=CD.∴DC=BE.(2)解:設(shè)∠BCE=x.∵BE=DE=DC,∴∠DEC=∠DCE=x.∴∠EBD=∠BDE=∠DEC+∠DCE=2x.∵∠AEC=∠EBD+∠ECD,∴66o=3x.∴x=22o.∴∠BCE=22o.提升能力強(qiáng)化訓(xùn)練中點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)模型6.如圖1,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),可以得到DE∥BC，且DE=0.5BC.(不需要證明)【探究】如圖2,在四邊形ABCD中,點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),判斷四邊形EFGH的形狀,并加以證明.AEDCB圖1解：【探究】四邊形EFGH為平行四邊形.證明：圖2中,連接AC.∵點(diǎn)E,F分別是AB,BC的中點(diǎn),∴EF∥AC,EF=0.5AC.同理,HG∥AC,HG=0.5AC.∴EF∥HG,EF=HG.∴四邊形EFGH為平行四邊形；提升能力強(qiáng)化訓(xùn)練中點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)模型【應(yīng)用】(1)在【探究】的條件下,四邊形ABCD中,滿足什么條件時(shí),四邊形EFGH是菱形?你添加的條件是________；(只添加一個(gè)條件)(2)如圖3,在四邊形ABCD中,點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O.若AO=OC,四邊形ABCD面積為5,則陰影部分圖形的面積和為_(kāi)______.AFHEDCBG圖2AOEBFGHDC圖3AC=BD5/4提升能力強(qiáng)化訓(xùn)練中點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)模型補(bǔ)全三線合一+中位線(角平分線+垂直=三線合一)7.如圖△ABC中,∠B,∠C的平分線BE,CF相交于O,AG⊥BE于G,AH⊥CF于H.(1)求證：GH∥BC；(2)若AB=9,AC=14,BC=18,求GH.(3)若將條件“∠B,∠C的平分線”改為“∠B的平分線及∠C的外角平分線”(如圖2所示),或改為“∠B,∠C的外角平分線”(如圖3所示),其余條件不變,求證：結(jié)論GH∥BC仍成立.【分析】與上例類似,有角平分線,有垂直,延長(zhǎng)構(gòu)造等腰三角形,利用三線合一.AEGFHCBNEGAFHCB提升能力強(qiáng)化訓(xùn)練中點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)模型∴GH是△AMN的中位線,HG∥NN,HG∥BC.AOFGEFCBMN(1)證明：分別延長(zhǎng)AG,AH交BC于M,N,∵BG平分∠ABM,BG⊥AM,∴∠ABG=∠MBG,∠BGA=∠BGM=90o.∴∠BAM=∠BMA,∴BA=BM,G是AM的中點(diǎn).同理CA=CN,H是AN的中點(diǎn),EGAFHCBMAEGFHCBNMN(3)(2)由(1)知,△ABG≌△MBG,△ACH≌△NCH,∴AB=BM=9,