構(gòu)造等腰三角形解題的輔助線做法

精心整理構(gòu)造等三形解題輔線做法呂海艷等腰三角形是一種特殊的三角形全等三角形的相關(guān)知識結(jié)合在一起考查多幾何問題中需要構(gòu)造等腰三角形才能使問題獲解如何構(gòu)造等腰三角形呢？一般有以下四種方法：（1）據(jù)平行構(gòu)造等腰三形；（2）據(jù)倍角系構(gòu)造等腰角形；（3）據(jù)角平線+垂線構(gòu)造等腰三角形；（4）據(jù)角或°角，常補形造等邊角形。1依據(jù)平行線造等腰角形例：如圖?！鰽BC，，E一點，F(xiàn)長線上一點，且BE=CF，EF于D，求證DE=DF.[點拔]：若聯(lián)想到是EF的中點，中點的兩旁容易構(gòu)造全等三角形，方法是過或F作平行線，構(gòu)造X型的基本圖形，只需證兩個三角形全等即可。證明：過E作EG∥AC交BC于G∴∠1=∠ACB，∠2=∠F∵AB=AC∴∠B=∠ACB∴∠1=∠B∴BE=GE∵BE=CF∴GE=CF在△EDG和△FDC中∠3=∠4∠2=∠FGE=CF∴△EDG≌△FDC∴DE=DF精心整理

精心整理[評注]：此題過E作AC的平行線后，構(gòu)造了等腰△，從而達到轉(zhuǎn)化線段的目的。2依據(jù)倍角關(guān)構(gòu)造等三角形例2：如圖?！鰽BC中，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC平分線求證：AB+BD=AB[點拔]：在已知條件中出現(xiàn)了一個角是另一個角的，可延長構(gòu)造等腰三角形，問題即可解決。證明：延長CB至E，使BE=BA，連接AE∵BE=BA∴∠BAE=∠E∵∠ABC=2∠C,∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E∴∠C=∠EAC=AE∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠EAD=∠BAE+∠1=∠E+∠1=∠C+∠2=∠BDA∴EA=ED∵ED=EB+BD，EB=AB，AC=AE∴AC=AB+BD[評注]個三角形中出現(xiàn)了一個角是另一個角的倍時就可以通過轉(zhuǎn)化倍角尋找等腰三角形。3依據(jù)角平分垂線構(gòu)造等三角形例3，如圖。ABC中AB=AC，BAC=90平分∠ABCCD⊥BD交BF的延長線于D，求證：BF=2CD[點拔]：遇到分∠⊥CD，可延長、BA交E，使角平分線成為底邊上的中線和高。證明：分別延長BA、CD交于點E∵CD⊥BD精心整理

精心整理∴∠BDC=∠BDE=90°∴∠1+∠E=90°∵∠BAC=90°∴∠3+∠E=90°∴∠1=∠3在△BAF和△CAE中∠1=∠3AB=AC∠BAC=∠CAE=90°∴△BAF≌△CAE∴BF=CE在△BDE和△BCD中∠1=∠2BD=BD∠BDE=∠BDC∴△BDE≌△BDC∴CD=ED∴CE=2CD∵BF=CE∴BF=2CD[評注]：當一個三角形中出現(xiàn)垂直于角平分線的線段時，通常延長此線段與角的另一邊相交，我們就可以尋找到等腰三角形。4依據(jù)60角或°角，補形構(gòu)等邊三角形例4,、如圖。∠BAD=120°BD=DCAB+AD=AC求證：AC平分∠{點撥}：由AB+AD=AC知，應(yīng)延長BA,將AB+AD集中成為一條線段，使則EAD=60°ADE等邊三角形，余下的只要證∠CAD=60°既得證明：延長BAE,使AE=AD連接DE∵∠BAD=120°精心整理

精心整理∴∠DAE=180-120=60°又AE=AD∴△DAE是等邊三角形∴DE=AD∠E=60°∵BE=AB+AEAC=AB+ADAE=AD∴BE=AC在△BDE和△CDA中BD=CDBE=CADE=ADeq\o\ac(△,≌)△CDA∴∠CAD=∠E=60°∵∠BAD=120°∴∠BAC=∠CAD