空間兩直線的位置關(guān)系PPT

關(guān)于空間兩直線的位置關(guān)系PPT第1頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五教學(xué)目的1.會(huì)判斷兩條直線的位置關(guān)系，學(xué)會(huì)用圖形語言、符號(hào)語言表示三種位置關(guān)系.2.理解公理四,并能運(yùn)用公理四證明線線平行.3掌握空間兩直線的位置關(guān)系，掌握異面直線的概念，會(huì)用反證法和異面直線的判定定理證明兩直線異面；4.

掌握異面直線所成角的概念及異面直線垂直的概念，能求出一些較特殊的異面直線所成的角第2頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五復(fù)習(xí)引入：1、同一平面內(nèi)不重合兩條直線有幾種位置關(guān)系？2、在同一平面內(nèi)，同平行于一條直線的兩條直線有什么位置關(guān)系？(1)、相交：有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)。(2)、平行：在同一平面內(nèi)沒有公共點(diǎn)?；ハ嗥叫刑岢鰡栴}：空間中的兩條直線呢？第3頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五1.空間中兩條直線的位置關(guān)系觀察：觀察教室內(nèi)的日光燈管所在直線與黑板的左右兩側(cè)所在的直線,想一想:它們相交嗎?平行嗎?共面嗎?觀察上方體的棱所在直線,回答類似的問題.思考：我們把具有上述特征的兩條直線取個(gè)怎樣的名字才好呢？第4頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五異面直線的定義:我們把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線（skew

lines）。想一想:怎樣通過圖形來表示異面直線?為了表示異面直線a，b不共面的特點(diǎn)，作圖時(shí)，通常用一個(gè)或兩個(gè)平面襯托。如下圖:第5頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五想一想,做一做：1.已知M、N分別是長方體的棱C1D1與CC1上的點(diǎn)，那么MN與AB所在的直線是異面直線嗎？第6頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五2.下圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原成正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在直線是異面直線的有幾對(duì)？想一想,做一做：HGFEDCBA三對(duì)AB與CDAB與GHEF與GH3.第7頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種平行相交異面位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是否共面沒有只有一個(gè)沒有共面不共面共面空間中兩條直線的位置關(guān)系第8頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五2.

空間兩平行直線提出問題：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行。在空間中，是否有類似的規(guī)律？平行嗎?中,觀察：如圖2.1.2-5,長方體與那么DD'∥

AA'BB'∥AA'第9頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。a∥bc∥ba∥c符號(hào)表示：設(shè)空間中的三條直線分別為a,b,c,若想一想:空間中,如果兩條直線都與第三條直線垂直,是否也有類似的規(guī)律?第10頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五例題示范例1：在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)。求證：四邊形EFGH是平行四邊形。分析：欲證EFGH是一個(gè)平行四邊形只需證EH∥FG且EH＝FGE，F(xiàn)，G，H分別是各邊中點(diǎn)連結(jié)BD,只需證：EH∥BD且EH＝BDFG∥BD且FG＝BDABDEFGHC第11頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五例題示范例1：在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)。求證：四邊形EFGH是平行四邊形。ABDEFGHC∵EH是△ABD的中位線

∴EH∥BD且EH=BD同理，F(xiàn)G∥BD且FG=BD∴EH∥FG且EH=FG∴EFGH是一個(gè)平行四邊形證明：連結(jié)BD第12頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五變式一：

在例2中，如果再加上條件AC=BD，那么四邊形EFGH是什么圖形?

EHFGABCD分析：在例題2的基礎(chǔ)上我們只需要證明平行四邊形的兩條鄰邊相等。菱形第13頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五變式二：

空間四面體A--BCD中,E,H分別是AB,AD的中點(diǎn),F,G分別是CB,CD上的點(diǎn),且，求證:四邊形ABCD為梯形.ABCDEHFG分析：需要證明四邊形ABCD有一組對(duì)邊平行，但不相等。第14頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五3.

等角定理提出問題:在平面上,我們?nèi)菀鬃C明“如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)”。在空間中,結(jié)論是否仍然成立呢?觀察思考：如圖,∠ADC與∠A'D'C'、∠ADC與∠A'B'C'的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，這兩組角的大小關(guān)系如何？第15頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五3.

等角定理定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。第16頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五3.

等角定理定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。定理的推論:如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩條直線所成的銳角(或直角)相等.第17頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五4.

異面直線所成的角如圖，已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a'∥a，b'∥b，我們把a(bǔ)'與b'所成的銳角（或直角）叫做異面直線a，b所成的角（或夾角）。為了簡便，點(diǎn)O通常取在兩條異面直線中的一條上，例如，取在直線b上，然后經(jīng)過點(diǎn)O作直線a'∥a，a'

和b所成的銳角（或直角）就是異面直線a與b所成的角。想一想:a'與b'

所成角的大小與點(diǎn)O的位置有關(guān)嗎?第18頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五4.

異面直線所成的角如果兩條異面直線所成的角為直角，就說兩條直線互相垂直，記作a⊥b。第19頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五5.

異面直線的判定定理異面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線與是異面直線第20頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五例題示范例2、如圖，已知正方體ABCD－A'B'C'D'

中。（1）哪些棱所在直線與直線BA'是異面直線？（2）直線BA'

和CC'

的夾角是多少？（3）哪些棱所在的直線與直線AA'

垂直？解：（1）由異面直線的判定方法可知，與直線成異面直線的有直線，第21頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五例題示范例2、如圖，已知正方體ABCD－A'B'C'D'

中。（1）哪些棱所在直線與直線BA'是異面直線？（2）直線BA'

和CC'

的夾角是多少？（3）哪些棱所在的直線與直線AA'

垂直？解：（2）由可知，

等于異面直線與

的夾角,所以異面直線與的夾角為450。

(3)直線與直線都垂直.第22頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五【例3】空間四邊形ABCD中，AB＝CD且AB與CD所成的角為30°，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，求EF與AB所成角的大?。悸贩治觯阂驟F與AB所成的角，可經(jīng)過某一點(diǎn)作兩條直線的平行線，考慮到E、F為中點(diǎn)，故可過E或F作AB的平行線．取AC的中點(diǎn)，平移AB、CD，使已知角和所求的角在一個(gè)三角形中求解．第23頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五解：取AC的中點(diǎn)G，連接EG、FG，則EG∥AB，GF∥CD，且由AB＝CD知EG＝FG，∴∠GEF(或它的補(bǔ)角)為EF與AB所成的角，∠EGF(或它的補(bǔ)角)為AB與CD所成的角．∵AB與CD所成的角為30°，∴∠EGF＝30°或150°.第24頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五由EG＝FG知△EFG為等腰三角形，當(dāng)∠EGF＝30°時(shí)，∠GEF＝75°；當(dāng)∠EGF＝150°時(shí)，∠GEF＝15°.故EF與AB所成的角為15°或75°.第25頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五(1)求異面直線所成的角，關(guān)鍵是將其中一條直線平移到某個(gè)位置使其與另一條直線相交，或?qū)蓷l直線同時(shí)平移到某個(gè)位置，使其相交．平移直線的方法有：①直接平移，②中位線平移，③補(bǔ)形平移．(2)求異面直線所成角的步驟：①作：通過作平行線，得到相交直線；②證：證明相交直線所成的角為異面直線所成的角；③求：通過解三角形，求出該角.

求異面直線的方法第26頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五第27頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五答案：C

第28頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五【例4】長方形ABCD－A1B1C1D1中，AB＝8，BC＝6，在線段BD，A1C1上各有一點(diǎn)P，Q，在PQ上有一點(diǎn)M，且PM＝MQ，則M點(diǎn)的軌跡圖形的面積為________．創(chuàng)新題型第29頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五答案：24

第30頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五變式遷移4

在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線 (

)A．不存在B．有且只有兩條C．有且只有三條D．有無數(shù)條第31頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五解析：本小題主要考查立體幾何中空間直線相交問題，考查學(xué)生的空間想象能力．在EF上任意取一點(diǎn)M，直線A1D1與M確定一個(gè)平面，這個(gè)平面與CD有且僅有1個(gè)交點(diǎn)N，當(dāng)M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點(diǎn)N，而直線MN與這3條異面直線都有交點(diǎn)的．如下圖：答案：D第32頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五1．刻畫平面性質(zhì)的三個(gè)公理是研究空間圖形進(jìn)行邏輯推理的基礎(chǔ)，三個(gè)公理是立體幾何作圖的依據(jù)，通過作圖(特別是截面圖)的訓(xùn)練，可加深對(duì)公理的掌握與理解．其中確定平面的公理2是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的依據(jù)．規(guī)律總結(jié)第33頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五2．注意文字語言、數(shù)學(xué)圖形語言和符號(hào)語言的相互轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，能夠從集合的角度闡述點(diǎn)、線、面之間的聯(lián)系，證明共點(diǎn)、共線或共面問題常用歸一法，如多線共點(diǎn)問題，先證明兩條直線交于一點(diǎn)，再證其余直線都經(jīng)過這點(diǎn)．3．異面直線是立體幾何的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，對(duì)其定義要理解準(zhǔn)確，有關(guān)異面直線的論證，經(jīng)常要用反證法；異面直線所成的角，常通過平移，使兩異面直線移到同一個(gè)平面的位置上來求．第34頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五4．平面幾何中有些概念和性質(zhì)，推廣到空間不一定正確．如：“過直線外一點(diǎn)只能作一條直線與已知直線垂直”“同垂直于一條直線的兩條直線平行”等在空間就不正確．而有些命題推廣到空間還是正確的，如平行線的傳遞性及關(guān)于兩角相等的定理等．所以將空間圖形問題類比平面圖形問題是本章復(fù)習(xí)的重要方法，如(1)公理4是平面內(nèi)平行傳遞性的推廣；(2)等角定理是由平面圖形推廣到空間圖形；(3)從直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，類比聯(lián)想平面與平面的位置關(guān)系；(4)兩個(gè)平面互相垂直與兩條直線互相垂直概念的類比．第35頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五練一練,鞏固新知：P48頁練習(xí)1,2題。例3:

如圖，是平面外的一點(diǎn)分別是的重心，求證：。證明：連結(jié)分別交

于,連結(jié),∵G,H分別是⊿ABC,⊿ACD的重心,∴M,N分別是BC,CD的中點(diǎn),∴MN//BD,又∵

∴

GH//MN,由公理4知GH//BD.

第36頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五練習(xí)反饋：1.判斷:（1）平行于同一直線的兩條直線平行.（）（2）垂直于同一直線的兩條直線平行.（

）（3）過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行

.

（）（4）與已知直線平行且距離等于定長的直線只有兩條.

（）（5）若一個(gè)角的兩邊分別與另一個(gè)角的兩邊平行，那么這兩個(gè)角相等（）（6）若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等.

（

）

√×√√××第37頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五練習(xí)反饋：2．選擇題

（1）“a，b是異面直線”是指

①

a∩b=Φ,且a不平行于b；②

aì平面a，bì平面b且a∩b=Φ③

a

ì平面a，b

平面a

④

不存在平面a，能使a

ìa且b

ìa成立上述結(jié)論中，正確的是 （

）（A）①②（B）①③（C）①④（D）③④（2）長方體的一條對(duì)角線與長方體的棱所組成的異面直線有 （

）

（A）2對(duì)（B）3對(duì) （C）6對(duì) （D）12對(duì)CC第38頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五（3）兩條直線a,b分別和異面直線c,d都相交，則直線a，b的位置關(guān)系是（

）

（A）一定是異面直線 （B）一定是相交直線

（C）可能是平行直線 （D）可能是異面直線，也可能是相交直線 （4）一條直線和兩條異面直線中的一條平行,則它和另一條的位置關(guān)系是(

)（A）平行 （B）相交 （C）異面 （D）相交或異面3．兩條直線互相垂直，它們一定相交嗎？

答：