北師大版必修第二冊6-2直觀圖學(xué)案

5.2直觀圖新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求1.掌握斜二測畫法的步驟．2．能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合體)的直觀圖.1.會用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖(直觀想象)2．會用斜二測畫法畫常見的柱、錐、臺以及簡單組合體的直觀圖．(直觀想象)3．會根據(jù)斜二測畫法規(guī)則進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算．(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)課前篇·自主學(xué)習(xí)預(yù)案1.斜二測畫法的步驟(1)畫軸：_________________________________________________________________.(2)畫線：_________________________________________________________________.(3)取長度：_______________________________________________________________.斜二測畫法的位置特征與度量特征簡記為：___________________________________.2.空間幾何體直觀圖的畫法步驟(1)畫軸：_________________________________________________________________.(2)畫平面：_______________________________________________________________.(3)取長度：_______________________________________________________________.(4)成圖處理：_____________________________________________________________.答案：1.(1)在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O.畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸交于點(diǎn)O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面(2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段(3)已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半橫不變，縱折半，平行位置不改變2.(1)與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個z軸，直觀圖中與之對應(yīng)的是z′軸(2)平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示豎直平面(3)已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長度都不變(4)成圖后，去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線課堂篇·研習(xí)討論導(dǎo)案研習(xí)1平面圖形直觀圖的畫法[典例1](1)(2020·冀州高一檢測)利用斜二測畫法得到：①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③正方形的直觀圖是正方形；④菱形的直觀圖是菱形．以上結(jié)論中正確的是()A．①②B．①C．③④ D．①②③④(2)斜二測畫法中，位于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)M(4,4)在直觀圖中的對應(yīng)點(diǎn)是M′，則點(diǎn)M′的坐標(biāo)為________．(3)用斜二測畫法畫出如圖所示的正五邊形的直觀圖．[自主記](1)[答案]A(2)[答案](4,2)[解析]在坐標(biāo)系x′O′y′中，過點(diǎn)(4,0)和y′軸平行的直線與過點(diǎn)(0,2)和x′軸平行的直線的交點(diǎn)即是點(diǎn)M′，即(4,2).(3)[解]第一步：如圖①所示，在已知正五邊形ABCDE中，取中心O為原點(diǎn)，對稱軸FA為y軸，過點(diǎn)O與y軸垂直的是x軸，分別過B，E作BG∥y軸，EH∥y軸，與x軸分別交于點(diǎn)G，H.畫對應(yīng)的x′軸，y′軸，使∠x′O′y′＝45°.第二步：如圖②所示，以點(diǎn)O′為中點(diǎn)，在x′軸上取G′H′＝GH，分別過G′，H′在x′軸的上方作G′B′∥y′軸使G′B′＝eq\f(1,2)GB，作H′E′∥y′軸使H′E′＝eq\f(1,2)HE，在y′軸的點(diǎn)O′上方取O′A′＝eq\f(1,2)OA，在y′軸的點(diǎn)O′下方取O′F′＝eq\f(1,2)OF，并且以點(diǎn)F′為中點(diǎn)，畫C′D′∥x′軸，且使C′D′＝CD.第三步：連接A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，E′A′，所得五邊形A′B′C′D′E′就是五邊形ABCDE的直觀圖，如圖③所示．①②③[巧歸納]直觀圖中應(yīng)遵循的基本原則(1)用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖時，圖形中平行于x軸、y軸的線段在直觀圖中應(yīng)分別畫成平行于x′軸、y′軸的線段．(2)平行于x軸的線段在直觀圖中長度保持不變，平行于y軸的線段長度變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2).研習(xí)2空間圖形直觀圖的畫法[典例2]畫出一個上、下底面邊長分別為1,2，高為2的正三棱臺的直觀圖．[自主記][解](1)畫軸．如圖①，畫x軸、y軸、z軸相交于點(diǎn)O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)畫下底面．以O(shè)為線段中點(diǎn)，在x軸上取線段AB，使AB＝2，在y軸上取線段OC，使OC＝eq\f(\r(3),2).連接BC，CA，則△ABC為正三棱臺的下底面的直觀圖．(3)畫上底面．在z軸上取OO′，使OO′＝2，過點(diǎn)O′作O′x′∥Ox，O′y′∥Oy，建立坐標(biāo)系x′O′y′.在x′O′y′中，類似步驟(2)的畫法得上底面的直觀圖△A′B′C′.(4)連線成圖．連接AA′，BB′，CC′，去掉輔助線，將被遮住的部分畫成虛線，則三棱臺ABC－A′B′C′即為要求畫的正三棱臺的直觀圖，如圖②. ① ②[巧歸納]畫空間幾何體的直觀圖的三個原則(1)坐標(biāo)系的建立要充分利用幾何體的對稱性，一般坐標(biāo)原點(diǎn)建在圖形的對稱中心處．(2)要先畫出底面的直觀圖，然后再畫出其余各面．(3)與z軸平行的線段在直觀圖中應(yīng)與z′軸平行且長度保持不變．研習(xí)3直觀圖的還原與計(jì)算問題[典例3]如圖是四邊形的直觀圖，該直觀圖為腰和上底長均為1的等腰梯形，∠B′＝∠C′＝45°，求原四邊形的面積.[解]取B′C′所在直線為x′軸，因?yàn)椤螦′B′C′＝45°，所以取B′A′所在直線為y′軸，過點(diǎn)D′作D′E′∥A′B′，D′E′交B′C′于E′，則B′E′＝A′D′＝1，又因?yàn)樘菪螢榈妊菪?，所以△E′D′C′為等腰直角三角形，所以E′C′＝eq\r(2).再建立一個直角坐標(biāo)系xBy，如圖所示．在x軸上截取線段BC＝B′C′＝1＋eq\r(2)，在y軸上截取線段BA＝2B′A′＝2，過A作AD∥BC，截取AD＝A′D′＝1.連接CD，則四邊形ABCD就是四邊形A′B′C′D′的實(shí)際圖形．四邊形ABCD為直角梯形，上底AD＝1，下底BC＝1＋eq\r(2)，高AB＝2，所以四邊形ABCD的面積S＝eq\f(1,2)AB·(AD＋BC)＝eq\f(1,2)×2×(1＋1＋eq\r(2))＝2＋eq\r(2).[延伸探究]1.(變換條件)若本例條件“直觀圖”改為“實(shí)際圖形”，其他條件不變，求直觀圖的面積．2.(變換條件)若將本例條件“該直觀圖為腰和上底長均為1的等腰梯形，∠B′＝∠C′＝45°”改為“該直觀圖中A′B′＝A′D′＝1，且A′B′⊥B′C′，∠C′＝45°”，求原四邊形的周長．[自主記]1.解：以B′C′為x軸，點(diǎn)B′為原點(diǎn)建立如圖①所示的坐標(biāo)系．①②因?yàn)樯系准把L均為1，且∠B′＝∠C′＝45°.作A′E′⊥B′C′，D′F′⊥B′C′，則B′E′＝F′C′＝eq\f(\r(2),2)＝A′E′＝D′F′.又E′F′＝1，所以B′C′＝eq\r(2)＋1.作出其直觀圖，如圖②所示．則AE＝DF＝eq\f(\r(2),4)，∠AEF＝45°，過A作AG⊥BC于G.則AG＝eq\f(1,4)，所以四邊形ABCD的面積S＝eq\f(1,2)AG·(AD＋BC)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)×(1＋1＋eq\r(2))＝eq\f(1,8)×(2＋eq\r(2))＝eq\f(1,4)＋eq\f(\r(2),8).2.解：因?yàn)锳′B′⊥B′C′且A′B′＝A′D′＝1，連接B′D′，則∠D′B′C＝45°，如圖①所示，取B′D′為y′軸，B′C′為x′軸，作D′E′⊥B′C′，又∠C′＝45°，故B′E′＝E′C′＝D′E′＝1，B′D′＝eq\r(2). ① ②作出實(shí)際圖形ABCD，如圖②所示．則在原四邊形中，BD＝2eq\r(2)，BC＝2，AD＝1，在Rt△BCD和Rt△ABD中，由勾股定理，得DC＝2eq\r(3)，AB＝3，所以原四邊形的周長為1＋3＋2＋2eq\r(3)＝6＋2eq\r(3).達(dá)標(biāo)篇·課堂速測演習(xí)1.若把一個高為10cm的圓柱的底面畫在x′O′y′平面上，則圓柱的高應(yīng)畫成()A．平行于z′軸且大小為10cmB．平行于z′軸且大小為5cmC．與z′軸成45°且大小為10cmD.與z′軸成45°且大小為5cm答案：A解析：平行于z軸(或在z軸上)的線段，在直觀圖中的方向和長度都與原來保持一致.2.如圖是四邊形ABCD的水平放置的直觀圖A′B′C′D′，則原四邊形ABCD的面積為()A．14 B．10eq\r(2)C．28 D．14eq\r(2)答案：C解析：∵A′D′∥y′軸，A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′，∴原圖形是一個直角梯形．又A′D′＝4，∴原直角梯形的上、下底及高分別是2,5,8，故其面積為S＝eq\f(1,2)×(2＋5)×8＝28.3.利用斜二測畫法畫邊長為1cm的正方形的直觀圖，可能是下面的()答案：C解析：正方形的直觀圖是平行四邊形，且邊長不相等，故選C．4.已知等邊三角形ABC的邊長為a，那么等邊三角形ABC的直觀圖△A′B′C′的面積為()A．eq\f(\r(3),4)a2 B．eq\f(\r(3),8)a2C．eq\f(\r(6),8)a2 D．eq\f(\r(6),16)a2答案：D解析：S′＝eq\f(\r(2),4)S＝eq\f(\r(6),16)a2.5.如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′軸，則原平面圖形的面積為________．答案：36eq\r(2)解析：在直觀圖中，設(shè)B′C′與y軸的交點(diǎn)為D′，則易得O′D′＝3eq\r(2)，所以原平面圖形為一邊長為6，高為6eq\r(2)的平行四邊形，所以其面積為6×6eq\r(2)＝36eq\r(2).6.一個水平放置的平面圖形的直觀圖是直角梯形ABCD，如圖所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則原平面圖形的面積為________．答案：2＋eq\f(\r(2),2)解析：過A作AE⊥BC，垂足為E.∵DC⊥BC且AD∥BC，∴ADCE是矩形，∴EC＝AD＝1.由∠ABC＝45°，AB＝AD＝1知BE＝eq\f(\r(2),2)，∴原平面圖形是梯形且上、下兩底邊長分別為1和1＋eq\f(\r(2),2)，高為2，∴原平面圖形的面積為eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).7.如圖為一幾何體的展開圖，沿圖中虛線將它們折疊起來，請畫出其直觀圖．解：由題設(shè)中所給的展開圖可以得出，此幾何體是一個四棱錐，其底面是一個邊長為2的正方形，垂直于底面的側(cè)棱長為2，其直觀圖如圖②所示．①②[誤區(qū)警示]直觀圖還原平面圖形時易發(fā)生的錯誤[示例]已知△ABC的平面直觀圖△A′B′C′是邊長為a的正三角形，求原△ABC的面積．[錯解]如圖①(正解中)，解法一：S△ABC＝eq\f(1,2)B′C′·A′O′＝eq\f(\r(3),4)a2.解法二：∵O′A′＝eq\f(\r(3),2)a，∠A′M′B′＝45°，∴A′M′＝eq\f(\r(6),2)a，∴S△ABC＝eq\f(1,2)a×eq\f(\r(6),2)a＝eq\f(\r(6),4)a2.[錯因分析]錯解中的解法一，誤把A′O′作為△ABC的高，屬于不理解畫法，思維混亂．錯解中的解法二，雖然計(jì)算出了A′M′，但忽略△ABC的高AM＝2A′M′，屬不能正確變換或粗心馬虎所致.[正解]平面直觀圖及實(shí)際圖形分別如圖①和②.取B′C′所在直線為x′軸，以過B′C′的中點(diǎn)O′且與x′軸正方向成45°角的直線為y′軸．過點(diǎn)A′作A′N′∥O′x′，交y′軸于點(diǎn)N′，過點(diǎn)A′作A′M′∥O′y′，交x′軸于M′點(diǎn)，連接O′A′.在Rt△A′O′M′中，∵O′A′＝eq\f(\r(3),2)a，∠A′M′O′＝45°，∴M′O′＝O′A′＝eq\f(\r(3),2)a，故A′M′＝eq\f(\r(6),2)a.∴O′N′＝eq\f(\r(6),2)a.在平面直角坐標(biāo)系中，在x軸上點(diǎn)