3-2-3-3-高中數(shù)學(xué)資料

1.(2020·山東卷)如圖，四棱錐P—ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.(1)證明：l⊥平面PDC；(2)已知PD＝AD＝1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．[解](1)證明：因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD.又底面ABCD為正方形，所以AD⊥DC.因此AD⊥平面PDC.因為AD∥BC，AD?平面PBC，所以AD∥平面PBC.由已知得l∥AD.因此l⊥平面PDC.(2)以D為坐標(biāo)原點，分別以eq\o(DA,\s\up15(→))，eq\o(DC,\s\up15(→))，eq\o(DP,\s\up15(→))的方向為x，y，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D—xyz.則D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，P(0,0,1)，eq\o(DC,\s\up15(→))＝(0,1,0)，eq\o(PB,\s\up15(→))＝(1,1，－1)．由(1)可設(shè)Q(a,0,1)，則eq\o(DQ,\s\up15(→))＝(a,0,1)．設(shè)n＝(x，y，z)是平面QCD的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DQ,\s\up15(→))＝0，,n·\o(DC,\s\up15(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋z＝0，,y＝0.))可取平面QCD的一個法向量n＝(－1,0，a)．所以cos〈n，eq\o(PB,\s\up15(→))〉＝eq\f(n·\o(PB,\s\up15(→)),|n|·|\o(PB,\s\up15(→))|)＝eq\f(－1－a,\r(3)\r(1＋a2)).設(shè)PB與平面QCD所成角為θ，則sinθ＝eq\f(\r(3),3)×eq\f(|a＋1|,\r(1＋a2))＝eq\f(\r(3),3)eq\r(1＋\f(2a,a2＋1)).因為eq\f(\r(3),3)eq\r(1＋\f(2a,a2＋1))≤eq\f(\r(6),3)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時等號成立，所以PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為eq\f(\r(6),3).2．(2020·全國卷Ⅲ)如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1(1)證明：點C1在平面AEF內(nèi)；(2)若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，求二面角A—EF—A1的正弦值．[解]設(shè)AB＝a，AD＝b，AA1＝c，如圖，以C1為坐標(biāo)原點，分別以eq\o(C1D1,\s\up15(→))，eq\o(C1B1,\s\up15(→))，eq\o(C1C,\s\up15(→))的方向為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系C1—xyz.(1)證明：連接C1F，則C1(0,0,0)，A(a，b，c)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，0，\f(2,3)c))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，b，\f(1,3)c))，eq\o(EA,\s\up15(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，b，\f(1,3)c))，eq\o(C1F,\s\up15(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，b，\f(1,3)c))，得eq\o(EA,\s\up15(→))＝eq\o(C1F,\s\up15(→))，因此EA∥C1F，即A，E，F(xiàn)，C1四點共面，所以點C1在平面AEF內(nèi)．(2)由已知得A(2,1,3)，E(2,0,2)，F(xiàn)(0,1,1)，A1(2,1,0)，eq\o(AE,\s\up15(→))＝(0，－1，－1)，eq\o(AF,\s\up15(→))＝(－2,0，－2)，eq\o(A1E,\s\up15(→))＝(0，－1,2)，eq\o(A1F,\s\up15(→))＝(－2,0,1)．設(shè)n1＝(x，y，z)為平面AEF的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(AE,\s\up15(→))＝0，,n1·\o(AF,\s\up15(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－y－z＝0，,－2x－2z＝0，))可取平面AEF的一個法向量n1＝(－1，－1,1)．設(shè)n2為平面A1EF的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·\o(A1E,\s\up15(→))＝0，,n2·\o(A1F,\s\up15(→))＝0，))同理可取平面A1EF的一個法向量n2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2，1)).因為cos〈n1，n2〉＝eq\f(n1·n2,|n1|·|n2|)＝－eq\f(\r(7),7)，所以二面角A—EF—A1的正弦值為eq