“20＋21”搶分增分練3-高中數(shù)學資料

“20＋21”搶分增分練(三)(時間：35分鐘滿分：24分)1．(12分)橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2作垂直于x軸的直線l與橢圓E在第一象限交于點P，若|PF1|＝5，且3a＝b2.(1)求橢圓E的方程；(2)A，B是橢圓C上位于直線l兩側(cè)的兩點．若直線AB過點(1，－1)，且∠APF2＝∠BPF2，求直線AB的方程．[規(guī)范解答及評分標準](1)由題意知，|PF2|＝eq\f(b2,a)＝3.∵|PF1|＝5，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，∴a＝4，b2＝3a＝12，∴橢圓E的方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.(4分)(2)由(1)可得c＝2.把x＝2代入eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1，得y＝3(負值已舍去)．∴點P的坐標為(2,3)．(6分)∵∠APF2＝∠BPF2，∴直線PA，PB的斜率之和為0.設直線PA的斜率為k，則直線PB的斜率為－k，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則直線PA的方程為y－3＝k(x－2)．聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－3＝kx－2，,\f(x2,16)＋\f(y2,12)＝1，))消去y并整理，得(3＋4k2)x2＋8k(3－2k)x＋4(3－2k)2－48＝0.∴x1＋2＝eq\f(8k2k－3,3＋4k2).(8分)同理可得直線PB的方程為y－3＝－k(x－2)，x2＋2＝eq\f(－8k－2k－3,3＋4k2)＝eq\f(8k2k＋3,3＋4k2).∴x1＋x2＝eq\f(16k2－12,3＋4k2)，x1－x2＝eq\f(－48k,3＋4k2).(10分)kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(kx1－2＋3＋kx2－2－3,x1－x2)＝eq\f(kx1＋x2－4k,x1－x2)＝eq\f(1,2)，∴滿足條件的直線AB的方程為y＋1＝eq\f(1,2)(x－1)，即x－2y－3＝0.(12分)2．(12分)已知函數(shù)f(x)＝x2－(2m＋1)x＋lnx(m∈R)．(1)當m＝－eq\f(1,2)時，若函數(shù)g(x)＝f(x)＋(a－1)lnx恰有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當x>1時，f(x)<(1－m)x2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．[規(guī)范解答及評分標準](1)由題意得，函數(shù)g(x)的定義域為(0，＋∞)．當m＝－eq\f(1,2)時，g(x)＝alnx＋x2，所以g′(x)＝eq\f(a,x)＋2x＝eq\f(2x2＋a,x).①當a＝0時，g(x)＝x2(x>0)無零點．(2分)②當a>0時，g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．取x0＝e－eq\f(1,a)，則g(e－eq\f(1,a))＝－1＋(e－eq\f(1,a))2<0.因為g(1)＝1，所以g(x0)·g(1)<0，此時函數(shù)g(x)恰有一個零點．(4分)③當a<0時，令g′(x)＝0，解得x＝eq\r(－\f(a,2)).當0<x<eq\r(－\f(a,2))時，g′(x)<0，即g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(－\f(a,2))))上單調(diào)遞減；當x>eq\r(－\f(a,2))時，g′(x)>0，即g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(－\f(a,2))，＋∞))上單調(diào)遞增．要使函數(shù)f(x)有一個零點，則geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(－\f(a,2))))＝alneq\r(－\f(a,2))－eq\f(a,2)＝0，解得a＝－2e.綜上所述，若函數(shù)g(x)恰有一個零點，則a＝－2e或a>0.(6分)(2)令h(x)＝f(x)－(1－m)x2＝mx2－(2m＋1)x＋lnx，則h′(x)＝2mx－(2m＋1)＋eq\f(1,x)＝eq\f(x－12mx－1,x).根據(jù)題意可知，當x∈(1，＋∞)時，h(x)<0恒成立．①若0<m<eq\f(1,2)，則當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2m)，＋∞))時，h′(x)>0，所以h(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2m)，＋∞))上是增函數(shù)，且h(x)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2m)))，＋∞))，所以不符合題意．(8分)②若m≥eq\f(1,2)，則當x∈(1，＋∞)時，h′(x)>0恒成立，所以h(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)，且h(x)∈(h(1)，＋∞)，所以不符合題意．(10分)③若m≤0，則當x∈(1，＋∞)時，恒有h