模型的數(shù)學(xué)語言表達(dá)談

模型的數(shù)學(xué)語言表達(dá)談模型的數(shù)學(xué)語言敘述談

【基金工程】本文系江蘇省教育科學(xué)“十二五〞規(guī)劃重點課題“小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的案例研究〞〔課題編號：B-b/2022/02/168〕階段研究成果。

中圖分類號：G623.5文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1671-0568〔2022〕19-0015-03

從某種意義上說，教學(xué)過程就是師生一起構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程，在這個過程中，學(xué)生必須把模型用數(shù)學(xué)語言進行敘述。所謂數(shù)學(xué)語言，就是一種由數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)術(shù)語、數(shù)學(xué)圖形和經(jīng)過改良的自然語言組成的科學(xué)化專業(yè)語言，包括文字語言、符號語言和圖表語言3種。數(shù)學(xué)語言敘述就是把思考數(shù)學(xué)對象、解決數(shù)學(xué)問題的過程用數(shù)學(xué)語言表示出來，闡明自己的觀點和意見。因此，數(shù)學(xué)模型的敘述過程就是學(xué)生借助一種或幾種數(shù)學(xué)語言把模型中的數(shù)學(xué)思想和內(nèi)容敘述出來的過程。模型敘述常常是數(shù)學(xué)符號語言、文字語言和圖表語言的優(yōu)勢互補和有機融合的過程，它們相互依存、相互促進。

一、模型的數(shù)學(xué)語言敘述意義

1.落實課程規(guī)范的需要

隨著新課程規(guī)范的實施，數(shù)學(xué)建模越來越得到重視，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建模型、滲透模型思想非常重要。?全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程規(guī)范〔2022年版〕》的“課程目標(biāo)〞“知識技能〞“數(shù)學(xué)思考〞和“綜合與實踐〞等局部提到了模型思想或數(shù)學(xué)建模。模型需要學(xué)生用數(shù)學(xué)語言進行敘述，否那么就成了無源之水、無本之木。

2.密切數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系的需要

建模往往是學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光察看周圍生活，根據(jù)已有知識和生活經(jīng)驗，把生活原型抽象成數(shù)學(xué)模型，并用數(shù)學(xué)模型解決實際問題的過程。在這個過程中，學(xué)生能充沛體會如何把數(shù)學(xué)知識從生活經(jīng)驗中提煉出來并解決實際問題。模型敘述是學(xué)生充沛體驗數(shù)學(xué)來源于生活，又效勞于生活的關(guān)鍵。引導(dǎo)學(xué)生進行模型敘述，能有效幫忙學(xué)生養(yǎng)成把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與生活密切聯(lián)系起來的習(xí)慣。

3.開展學(xué)生思維的需要

數(shù)學(xué)建模是學(xué)生通過察看、比擬、分析、綜合、抽象、概括和推理發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念、規(guī)律并加以運用的過程。數(shù)學(xué)模型敘述的過程是學(xué)生充沛調(diào)動原有知識和經(jīng)驗嘗試解決新問題、同化新知識的過程。在這個過程中，學(xué)生需要積極發(fā)揮想象力、察看力和發(fā)明力，才能順利敘述數(shù)學(xué)模型。這樣，模型敘述過程不但能提升學(xué)生把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的能力，而且能促進學(xué)生感悟模型思想、積累建模數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

4.促進學(xué)生問題解決的需要

經(jīng)過一段時間教學(xué)后，局部學(xué)生還不能理解某些重點知識，讓老師感覺非常困惑：前不久剛才接觸過，當(dāng)時大家的學(xué)習(xí)情況都很好，為什么現(xiàn)在不能掌握呢？除了學(xué)生遺忘的原因外，主要原因是教師沒有引導(dǎo)學(xué)生在問題解決過程中建立數(shù)學(xué)模型并加以強化。如果教師引導(dǎo)學(xué)生在問題解決中建構(gòu)模型并關(guān)注敘述，就能幫忙學(xué)生真正理解并掌握所學(xué)知識，并收到事半功倍的教學(xué)效果。

二、模型的數(shù)學(xué)語言敘述策略

從所映射的數(shù)學(xué)對象看，數(shù)學(xué)模型大致可以分為概念類數(shù)學(xué)模型、算法類數(shù)學(xué)模型和關(guān)系類數(shù)學(xué)模型。這些模型都可以用相同類型或不同類型的數(shù)學(xué)語言敘述。引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言敘述模型時要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，靈活選擇。

1.概念類數(shù)學(xué)模型

所謂概念類數(shù)學(xué)模型，就是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中出現(xiàn)的各種數(shù)學(xué)概念，如圖形概念和四那么運算概念等。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的根底，主要表現(xiàn)為數(shù)學(xué)語言中名詞、術(shù)語和符號的準(zhǔn)確含義。由于數(shù)學(xué)概念反映客觀現(xiàn)實中數(shù)學(xué)關(guān)系的本質(zhì)屬性，因而每個數(shù)學(xué)概念都可以稱之為數(shù)學(xué)模型，都是構(gòu)建其他模型的根底。概念模型的構(gòu)建過程通常包括感知具體對象階段、嘗試建立表象階段、抽象本質(zhì)屬性階段、語言符號表征階段和概念內(nèi)化階段等過程。其中語言符號表征階段就是用數(shù)學(xué)語言敘述模型的階段，學(xué)生可以嘗試用不同的數(shù)學(xué)語言進行敘述，并進行最優(yōu)化。

用文字語言敘述概念模型。方程概念是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中比擬重要的一個模型。構(gòu)建方程概念模型時，教師先引導(dǎo)學(xué)生察看天平教學(xué)掛圖，并用式子表示天平兩邊的關(guān)系，學(xué)生分別用50+50=100，50×2=100，x+50>100，x+50=150，

x+50100、x+50=150、

x+50100和x+5050×2=100。則，能不能給這些含有字母的等式取個名字？這樣，學(xué)生就能水到渠成地選擇文字語言概括方程的概念模型――含有字母的等式叫做方程。

用圖形語言敘述概念模型。小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維以形象思維為主，抽象思維能力還比擬弱。有些概念很難用符號語言或者文字語言清晰敘述，需要借助圖形語言才能構(gòu)建、理解和掌握。如教學(xué)扇形時，學(xué)生先察看以下各圖中的涂色局部，再說說它們的共同點――都是由圓的兩條半徑和一段曲線圍成的，都有一個角，角的頂點都在圓的中心，從而初步認(rèn)識扇形――各圓中的涂色局部都是扇形，再借助圖形語言認(rèn)識弧――圖中AB兩點間的曲線，從而完成扇形概念模型的構(gòu)建。這樣用圖形語言敘述扇形的概念模型簡單、直觀、易懂。

用符號語言敘述概念模型。符號語言比擬簡潔，便于學(xué)生掌握。教學(xué)圓的周長時，學(xué)生先在正方形內(nèi)畫一個最大的圓，探究正方形的周長是圓的周長的幾倍，再在圓內(nèi)畫一個正六邊形〔六邊形的頂點都在圓上〕，探究正六邊形的周長是圓的直徑的幾倍，最后思考圓的周長大約是直徑的幾倍？學(xué)生通過測量和計算，發(fā)現(xiàn)圓的周長總是直徑的3倍多一點，從而順利用文字語言構(gòu)建出圓周率的概念模型――圓的周長和直徑的比值叫做圓周率。如果用文字語言敘述圓周率概念模型，并沒有錯誤，但對學(xué)生后續(xù)構(gòu)建圓的周長、圓的面積甚至圓柱、圓錐的相關(guān)模型帶來麻煩。于是，教師引導(dǎo)學(xué)生用字母π表示圓周率模型，既簡潔、又便于學(xué)生理解掌握，還為學(xué)生后續(xù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型奠定根底。

2.算法類數(shù)學(xué)模型

所謂算法類數(shù)學(xué)模型，就是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的各種運算法那么、規(guī)律、性質(zhì)、解方程的程序以及解決問題的一般步驟等。根據(jù)小學(xué)生的思維開展水平，算法類數(shù)學(xué)模型的提煉過程以合情推理為主，構(gòu)建模型的過程通常包括：提供具體事例，由學(xué)生經(jīng)過察看、探索、運算演示等發(fā)現(xiàn)事物間的關(guān)系或規(guī)律，經(jīng)過歸納、猜想、驗證，用簡練、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表示出來，形成模型。

用文字語言敘述算法模型。文字語言敘述算法模型比擬準(zhǔn)確。教學(xué)分?jǐn)?shù)乘法時，學(xué)生先根據(jù)乘法意義把3/10+3/10+3/10寫成3/10×3，再根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)加法的計算辦法算出3/10+3/10+3/10=3+3+3/10=3×3/10=9/10，發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計算辦法是整數(shù)和分子相乘的積作分子、分母不變，再根據(jù)10×1/2=10÷2=5和10×2/5=10÷5×2=4發(fā)現(xiàn)整數(shù)乘分?jǐn)?shù)的計算辦法是用整數(shù)和分?jǐn)?shù)相乘的積作分子、分母不變，最后根據(jù)1/2×1/4和1/2×3/4的示意圖中的結(jié)果是1/8和3/8，歸納出分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算法類模型是“分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)相乘，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母〞。這里之所以用文字語言敘述模型，因為其在前兩個模型根底上抽象概括而成的，前兩個模型用文字語言敘述有助于學(xué)生直觀掌握計算法那么，提升運算能力。

用符號語言敘述算法類模型。有的算法類模型用文字語言也能敘述，但比擬麻煩，甚至可能導(dǎo)致學(xué)生混同。教學(xué)乘法分配律時，學(xué)生根據(jù)題目信息計算跳繩根數(shù)，有的列式〔6+4〕×24，有的列式6×24+4×24。經(jīng)過計算，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)它們的結(jié)果都是240，也就是〔6+4〕×24=6×24+4×24；通過察看，有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)等式兩邊都有6、24和4三個數(shù)字，有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)等式兩邊都有加法和乘法兩種運算，等號左邊先算6與4的和再算10個24、等號右邊先算6個24與4個24各是多少再求和。學(xué)生寫出幾個類似等式后嘗試概括規(guī)律：有的學(xué)生用文字?jǐn)⑹鲆?guī)律“兩個數(shù)的和與第三個數(shù)相乘，可以把這兩個數(shù)分別與第三個數(shù)相乘后再相加〞；有的學(xué)生用〔○+□〕×△=△×○+□×△表示；有的學(xué)生用〔X+Y〕×A=X×A+Y×A表示；有的學(xué)生用〔△+○〕×■=△×■+○×■表示……最后，學(xué)生形成共識，用〔a+b〕×c=a×c+b×c表示乘法分配律的算法模型。學(xué)生用不同語言敘述乘法分配律都正確，但符號語言敘述乘法分配律模型不但簡潔、清晰，而且合乎約定俗成的習(xí)慣。

用圖形語言敘述算法類模型。符號語言雖然簡潔，但有些特例用符號語言無法敘述或者敘述不夠清晰。教學(xué)解決問題的策略〔轉(zhuǎn)化〕時，有這樣一道例題：1/2+1/4+1/8+1/16+1/32，如果通分，學(xué)生也能正確計算出結(jié)果〔即1/2+1/4+1/8+1/16+1/32=16/32+8/32+4/32+2/32+1/32=31/32〕，但如果具有相同規(guī)律的分?jǐn)?shù)多了，如1/2+1/4+1/8+1/16+…+1/512，通分就非常麻煩；如果學(xué)生用正方形、扇形或線段圖表示單位“1〞，用圖形語言構(gòu)建下面這樣的模型，就能根據(jù)圖形迅速算出結(jié)果。計算就會變得非常直觀、簡單。

3.關(guān)系類數(shù)學(xué)模型

所謂關(guān)系類數(shù)學(xué)模型，就是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中出現(xiàn)的表示數(shù)量之間關(guān)系的模型，包括各種幾何圖形的計算公式，常見的數(shù)量關(guān)系式以及基于數(shù)據(jù)分析的各種統(tǒng)計圖表等，如路程、速度和時間的關(guān)系，總價、單價和數(shù)量的關(guān)系，工作總量、工作時間和工作效率的關(guān)系，比、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系以及正比例關(guān)系和反比例關(guān)系等。引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光尋找數(shù)量之間的關(guān)系，促進學(xué)生在察看、比擬、歸納中自主構(gòu)建關(guān)系模型并敘述出來，有助于學(xué)生開展數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)問題解決能力。

用文字語言構(gòu)建關(guān)系模型。數(shù)量關(guān)系是學(xué)生解決實際問題的“拐棍〞。教學(xué)常見的數(shù)量關(guān)系時，教師先出示情境圖引導(dǎo)學(xué)生在察看、分析、整理信息中初步認(rèn)識單價，學(xué)會寫和讀后，根據(jù)已知條件提出問題，并在交流中認(rèn)識數(shù)量和總價，再在問題解決中自主發(fā)現(xiàn)“數(shù)量、單價和總價〞之間的關(guān)系，構(gòu)建數(shù)量×單價=總價的關(guān)系模型，并舉一反三地發(fā)現(xiàn)總價÷數(shù)量=單價以及總價÷單價=數(shù)量。簡單應(yīng)用模型后，學(xué)生可根據(jù)“和諧號列車每小時行260千米和李冬騎自行車每分行200米〞認(rèn)識速度，再根據(jù)它們各自行駛3時和8分計算路程，發(fā)現(xiàn)速度、時間和路程三者之間的關(guān)系是路程=速度×?xí)r間、路程÷速度=時間以及路程÷時間=速度，從而構(gòu)建了三個新的數(shù)學(xué)模型。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生把總價=單價×數(shù)量和路程=速度×?xí)r間用自己的方式表示，促使學(xué)生用總數(shù)=每份數(shù)×份數(shù)這個通用模型表示。這樣，學(xué)生用文字語言表示數(shù)量關(guān)系模型，并認(rèn)識了數(shù)量關(guān)系式與乘法意義的聯(lián)系，把似乎不同的數(shù)量關(guān)系融為一體，使所學(xué)知識真正具備數(shù)學(xué)模型的價值。

用符號語言構(gòu)建關(guān)系模型。有的關(guān)系模型用文字語言敘述也是可以的，但用符號語言更簡潔。教學(xué)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系時，學(xué)生先思考把1塊餅平均分給4個小朋友，每人分得多少塊？〔1÷4=1/4〕然后思考把3塊餅平均分給4個小朋友，每人分得多少塊？〔3÷4=3/4〕再思考把3塊餅平均分給5個小朋友，每人分得多少塊？〔3÷5=3/5〕察看這3個算式，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)被除數(shù)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)的分子，除數(shù)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)的分母，商相當(dāng)于分?jǐn)?shù)值，并很快概括出分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系模型――被除數(shù)÷除數(shù)=被除數(shù)/除數(shù)。如果用字母a表示被除數(shù)，用字母b表示除數(shù)，分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系模型就可以敘述成a÷b=a/b〔a、b都不等于0〕。這樣把分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系模型用符號語言敘述出來比文字語言敘述的模型更簡潔。

用圖形語言敘述關(guān)系類數(shù)學(xué)模型。有些關(guān)系類模型，用文字語言或符號語言都能表示，但圖形語言敘述更直觀。教學(xué)反比例的意義時，學(xué)生先察看單價和數(shù)量這兩個量的變化情況及其變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)筆記本的數(shù)量隨著單價變化而變化，單價越低購置的本數(shù)越多；單價越高，購置的本數(shù)越少，但總價不變。由此，學(xué)生根據(jù)構(gòu)建正比例關(guān)系模型的經(jīng)驗，用單價×數(shù)量=總價〔一定〕表示這幾個量之間的關(guān)系，并總結(jié)出“單價和數(shù)量是兩種相關(guān)聯(lián)的量，單價變化，數(shù)量也隨著變化。當(dāng)單價和數(shù)量的積總是一定〔也就是總價一定〕時，筆記本的單價和購置的數(shù)量成反比例關(guān)系，筆記本的單價和購置的數(shù)量是成反比例的量。如果反比例關(guān)系模型這樣敘述，就不具有普遍性。學(xué)生在進一步探究工作總量、工作效率和工作時間關(guān)系的根底上，嘗試用字母表示關(guān)系模型，即x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的積，反比例關(guān)系可以用x《y=k〔一定〕表示。這樣表示，學(xué)生容易混同正