2022高中數(shù)學(xué)空間向量的垂直關(guān)系

立體幾何中的向量方法(二)空間向量與垂直關(guān)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)能利用平面法向量證明兩個(gè)平面相互垂直.能利用直線的方向向量與平面的法向量判定并證明空間中的垂直關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)梳理1.空間垂直關(guān)系的向量表示空間中的垂直關(guān)系線線垂直線面垂直面面垂直設(shè)直線l的方向向量為a=(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為b—(b1，b2,b3),則l丄mO設(shè)直線l的方向向量是a—(a1，b1，c1),平面a的法向量u—(a2，b2，c2),則l丄aO右平面a的法向量u—(a1，b1，c1),平面B的法向量為v—(a2，b2，c2)，則a丄Bo2.空間中垂直關(guān)系的證明方法線線垂直線面垂直面面垂直①證明兩直線的方向向量的數(shù)量積為①證明直線的方向向量與平面的法向量是.①證明兩個(gè)平面的法向量②證明兩直線所成角為②證明直線與平面內(nèi)的相交直線②證明二面角的平面角為課堂練習(xí)一、選擇題設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為o=(1,2,-2),b=(-2,3,m),若厶丄12，則m等于()A.1B.2C.3D.-2已知A(3,0,-1),B(0,-2,-6),C(2,4,—2)，則△ABC是()A.等邊三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形若直線l的方向向量為a=(1,0,2),平面a的法向量為n=(—2,0,—4)，貝％)A.l〃aB.l丄aC.l與a斜交D.lUa平面a的一個(gè)法向量為(1,2,0),平面B的一個(gè)法向量為(2,—1,0)，則平面a與平面“的位置關(guān)系是()A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.不能確定5?設(shè)直線l1的方向向量為a=(1,-2,2),l2的方向向量為b=(2,3,2),則l1與l2的關(guān)系

是()A.平行B.垂直C.相交不垂直D.不確定6.如圖所示，在正方體ABCD—AlB6.如圖所示，在正方體ABCD—AlB1C1D1中，E是上底面中心，則AC1與CE的位置關(guān)系是（A.C.)平行相交且垂直二、填空題已知直線l與平面a:—2,1)與平面a平行，則z=.已知a=(0,1,1),^=(1,1,0),c=(1,0,1)分別是平面a,“，y的法向量，則a,“，y三個(gè)平面中互相垂直的有對(duì).B?相交D.以上都不是垂直,直線l的一個(gè)方向向量為u=(l,—3,z),向量v=(3.下列命題中：若u,v分別是平面a,B的法向量，則a丄〃uv=O；若u是平面a的法向量且向量a與a共面，則ua=O；若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直.正確的命題序號(hào)是.(填寫所有正確的序號(hào))三、解答題已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱長(zhǎng)都為1,M是底面上BC邊的中點(diǎn)，N是側(cè)棱CC1上的點(diǎn)，且CN=4CC1.求證：AB]丄MN.11.已知ABC—A1B1C1是各條棱長(zhǎng)均為a的正三棱柱，D是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，求證：平面AB"丄平面ABB]A].【提升練習(xí)12.如圖，在四面體ABOC中，OC丄OA,OC丄OB,ZAOB=120。，且OA=OB=OC=1.設(shè)P為AC的中點(diǎn)，Q在AB上且AB=3AQ，證明：PQ丄OA.13.如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，PA丄底面ABCD，P4=AB=;2，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn).證明：AE丄平面PBC.總結(jié)垂直關(guān)系的常用證法要證線線垂直，可以轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的向量垂直關(guān)系.要證線面垂直，可以轉(zhuǎn)化為證明這條直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直.要證面面垂直，可以轉(zhuǎn)化為證明兩個(gè)平面的法向量垂直.立體幾何中的向量方法(二)空間向量與垂直關(guān)系知識(shí)點(diǎn)梳理a丄balluu丄v2.線線垂直線面垂直面面垂直證明兩直線的方向向量的數(shù)量積為0.證明兩直線所成角為直角.證明直線的方向向量與平面的法向量是平行向量.證明直線與平面內(nèi)的相父直線互相垂直.證明兩個(gè)平面的法向量垂直.證明二面角的平面角為直角.作業(yè)設(shè)計(jì)1.B[Vli丄—，..山丄b,.°.ab=(1,2,—2)?(一2,3,m)=—2+6—2m=0,.°.m=2.]C[VAB=(-3,-2,-5),AC=(-1,4,-1),BC=(2,6,4),AMAC=0,AAB丄AC,且IaB|^|AC^|BC：|,A^ABC為直角三角形.]B[Vn=-2a,.°.n〃a,.°.l丄a.]C「??(1,2,0)?(2,—1,0)=0,???兩法向量垂直，從而兩平面也垂直.]B[Va*b=2x1-2x3+2x2=0,Aa丄b,.??l]丄1昇C[可以建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)AC與CE的關(guān)系判斷.]—9解析VI丄丄v,.(1,-3,z)?(3,—2,1)=0,即3+6+z=0,?z=—9.0解析Va?b=(0,1,1)?(1,1,0)=l*0,a?c=(0,1,1)?(1,0,1)=1工0,b?c=(1,1,0)?(1,0,1)=l和.???a,b,c中任意兩個(gè)都不垂直，即g“、y中任意兩個(gè)都不垂直.①②③證明如圖，以平面ABC內(nèi)垂直于AC的直線為，2,])，x軸，AC、AA]所在直線為y軸、z軸，則A(0,0,0),Bi』￥，4,J，N???AM號(hào)'2,1??.碼.舐=-8+8+4=o4)

,MN=(-乎,0,1,??.碼丄航即AB]丄mn如圖，取AB]的中點(diǎn)M,則dm=dC+CA+Am.又dm=dCi+c；Bi+B]M,兩式相加得2DM=CA+C]B]=CA+cb.由于2DM.AA]=(CA+CB).AA=0,2DM.AB=(CA+CB).(CB—CA)=|CB|2—|CA|2=0.:.DM丄AA],DM丄AB,AA^^AB=A,:.DM丄平面ABB4A4，而DM平面AB]D.???平面AB4D丄平面ABBJ].x軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz(如圖所示)圖所示).設(shè)A(1,0,0),C(O,O,1),BL4,尋'。).??P(4，0,罟,0)，TP為AC中點(diǎn)，皿=(-2,蛙°丿，又由已知，可得aq=|aB=又oQ=oAA+aQ=^1,.*.pQ=oQ—oP=^o,/.PQ-OOA=(o,韋故PQ丄OA，即PQ丄OA.13.證明如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB、AD、AP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè)D（0，a,0）,