2023版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)1.1集合及其運(yùn)算理

PAGEPAGE12第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)1.1集合及其運(yùn)算理1．集合與元素(1)集合中元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無(wú)序性．(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于兩種，用符號(hào)∈或?表示．(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．(4)常見數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN*(或N＋)ZQR2.集合間的根本關(guān)系關(guān)系自然語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言Venn圖子集集合A中所有元素都在集合B中(即假設(shè)x∈A，那么x∈B)A?B(或B?A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個(gè)元素不在集合A中AB(或BA)集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互為子集A＝B3.集合的根本運(yùn)算運(yùn)算自然語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言Venn圖交集由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}補(bǔ)集由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合?UA＝{x|x∈U且x?A}【知識(shí)拓展】1．假設(shè)有限集A中有n個(gè)元素，那么集合A的子集個(gè)數(shù)為2n，真子集的個(gè)數(shù)為2n－1.2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.3．A∩?UA＝?；A∪?UA＝U；?U(?UA)＝A.【思考辨析】判斷以下結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√〞或“×〞)(1)任何一個(gè)集合都至少有兩個(gè)子集．(×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(3)假設(shè){x2,1}＝{0,1}，那么x＝0,1.(×)(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(√)(5)對(duì)于任意兩個(gè)集合A，B，關(guān)系(A∩B)?(A∪B)恒成立．(√)(6)假設(shè)A∩B＝A∩C，那么B＝C.(×)1．(教材改編)假設(shè)集合A＝{x∈N|x≤eq\r(10)}，a＝2eq\r(2)，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是()A．{a}?A B．a(chǎn)?AC．{a}∈A D．a(chǎn)?A答案D解析由題意知A＝{0,1,2,3}，由a＝2eq\r(2)，知a?A.2．(2022·江西重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)集合A＝{x|x2－6x＋5≤0}，B＝{x|y＝eq\r(x－3)}，那么A∩B等于()A．[1,3]B．[1,5]C．[3,5]D．[1，＋∞)答案C解析根據(jù)題意，得A＝{x|x2－6x＋5≤0}＝{x|1≤x≤5}，B＝{x|y＝eq\r(x－3)}＝{x|x≥3}，所以A∩B＝{x|3≤x≤5}＝[3,5]．3．集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B為整數(shù)集，那么A∩B等于()A．{－1,0,1,2} B．{－2，－1,0,1}C．{0,1} D．{－1,0}答案A解析因?yàn)锳＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因?yàn)榧螧為整數(shù)集，所以集合A∩B＝{－1,0,1,2}，應(yīng)選A.4．(2022·天津)集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，那么A∩B等于()A．{1} B．{4}C．{1,3} D．{1,4}答案D解析因?yàn)榧螧中，x∈A，所以當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3－2＝1；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝3×2－2＝4；當(dāng)x＝3時(shí)，y＝3×3－2＝7；當(dāng)x＝4時(shí)，y＝3×4－2＝10；即B＝{1,4,7,10}．又因?yàn)锳＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．應(yīng)選D.5．(2022·云南名校聯(lián)考)集合A＝{x|x－2<0}，B＝{x|x<a}，假設(shè)A∩B＝A，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．答案[2，＋∞)解析由A∩B＝A，知A?B，從數(shù)軸觀察得a≥2.題型一集合的含義例1(1)(2022·濟(jì)南調(diào)研)設(shè)P，Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，假設(shè)P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，那么P＋Q中元素的個(gè)數(shù)是()A．9B．8C．7D．6(2)假設(shè)集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個(gè)元素，那么a＝________.答案(1)B(2)0或eq\f(9,8)解析(1)當(dāng)a＝0時(shí)，a＋b＝1,2,6；當(dāng)a＝2時(shí)，a＋b＝3,4,8；當(dāng)a＝5時(shí)，a＋b＝6,7,11.由集合中元素的互異性知P＋Q中有1,2,3,4,6,7,8,11共8個(gè)元素．(2)假設(shè)a＝0，那么A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))，符合題意；假設(shè)a≠0，那么由題意得Δ＝9－8a＝0，解得a＝eq\f(9,8).綜上，a的值為0或eq\f(9,8).思維升華(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類型的集合；(2)集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時(shí)要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題．(1)(2022·臨沂模擬)A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，那么以下表示正確的選項(xiàng)是()A．－1?A B．－11∈AC．3k2－1∈A(k∈Z) D．－34?A(2)設(shè)a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，那么b－a＝________.答案(1)C(2)2解析(1)∵k∈Z，∴k2∈Z，∴3k2－1∈A.(2)因?yàn)閧1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，a≠0，所以a＋b＝0，得eq\f(b,a)＝－1，所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.題型二集合的根本關(guān)系例2(1)(2022·唐山一模)設(shè)A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，那么滿足A?B的B的個(gè)數(shù)是()A．5B．4C．3D．2(2)集合A＝{x|x2－2017x＋2016<0}，B＝{x|x<a}，假設(shè)A?B，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________________．答案(1)B(2)[2016，＋∞)解析(1)∵{1,2}?B，I＝{1,2,3,4}，∴滿足條件的集合B有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4個(gè)．(2)由x2－2017x＋2016<0，解得1<x<2016，故A＝{x|1<x<2016}，又B＝{x|x<a}，A?B，如下圖，可得a≥2016.引申探究本例(2)中，假設(shè)將集合B改為{x|x≥a}，其他條件不變，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．答案(－∞，1]解析A＝{x|1<x<2016}，B＝{x|x≥a}，A?B，如下圖，可得a≤1.思維升華(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系時(shí)，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否那么會(huì)造成漏解．(2)兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．(1)集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，假設(shè)B?A，那么實(shí)數(shù)a的值為()A.eq\f(1,3)或－eq\f(1,2) B．－eq\f(1,3)或eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)或－eq\f(1,2)或0 D．－eq\f(1,3)或eq\f(1,2)或0(2)集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，假設(shè)B?A，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________．答案(1)D(2)(－∞，4]解析(1)由題意知A＝{2，－3}．當(dāng)a＝0時(shí)，B＝?，滿足B?A；當(dāng)a≠0時(shí)，ax－1＝0的解為x＝eq\f(1,a)，由B?A，可得eq\f(1,a)＝－3或eq\f(1,a)＝2，∴a＝－eq\f(1,3)或a＝eq\f(1,2).綜上，a的值為－eq\f(1,3)或eq\f(1,2)或0.(2)當(dāng)B＝?時(shí)，有m＋1≥2m－1，那么m≤2；當(dāng)B≠?時(shí)，假設(shè)B?A，如圖，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1<2m－1，))解得2<m≤4.綜上，m的取值范圍為(－∞，4]．題型三集合的根本運(yùn)算命題點(diǎn)1集合的運(yùn)算例3(1)(2022·全國(guó)乙卷)設(shè)集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，那么A∩B等于()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(3,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))(2)(2022·浙江)集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，那么P∪(?RQ)等于()A．[2,3] B．(－2,3]C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)答案(1)D(2)B解析(1)由A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1<x<3}，B＝{x|2x－3>0}＝{x|x>eq\f(3,2)}，得A∩B＝{x|eq\f(3,2)<x<3}＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))，應(yīng)選D.(2)由得Q＝{x|x≥2或x≤－2}．∴?RQ＝(－2,2)．又P＝[1,3]，∴P∪(?RQ)＝[1,3]∪(－2,2)＝(－2,3]．命題點(diǎn)2利用集合的運(yùn)算求參數(shù)例4(1)設(shè)集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，假設(shè)A∩B≠?，那么a的取值范圍是()A．－1<a≤2 B．a(chǎn)>2C．a(chǎn)≥－1 D．a(chǎn)>－1(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，假設(shè)A∪B＝{0,1,2,4,16}，那么a的值為()A．0B．1C．2D．4答案(1)D(2)D解析(1)因?yàn)锳∩B≠?，所以集合A，B有公共元素，作出數(shù)軸，如下圖，易知a>－1.(2)由題意可得{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.思維升華(1)一般來講，集合中的元素假設(shè)是離散的，那么用Venn圖表示；集合中的元素假設(shè)是連續(xù)的實(shí)數(shù)，那么用數(shù)軸表示，此時(shí)要注意端點(diǎn)的情況．(2)運(yùn)算過程中要注意集合間的特殊關(guān)系的使用，靈活使用這些關(guān)系，會(huì)使運(yùn)算簡(jiǎn)化．(1)(2022·山東)設(shè)集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，那么A∪B等于()A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)(2)集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且A∩B＝B，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A．[－1,2) B．[－1,3]C．[2，＋∞) D．[－1，＋∞)答案(1)C(2)D解析(1)∵A＝{y|y>0}，B＝{x|－1<x<1}，∴A∪B＝(－1，＋∞)，應(yīng)選C.(2)由x2－x－12≤0，得(x＋3)(x－4)≤0，即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}．又A∩B＝B，所以B?A.①當(dāng)B＝?時(shí)，有m＋1≤2m－1，解得m≥2.②當(dāng)B≠?時(shí)，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤2m－1，,m＋1≤4，,2m－1<m＋1，))解得－1≤m<2.綜上，m的取值范圍為[－1，＋∞)．題型四集合的新定義問題例5集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定義集合AB＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，那么AB中元素的個(gè)數(shù)為()A．77B．49C．45D．30答案C解析如圖，集合A表示如下圖的所有圓點(diǎn)“〞，集合B表示如下圖的所有圓點(diǎn)“〞＋所有圓點(diǎn)“〞，集合AB顯然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四個(gè)點(diǎn){(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整點(diǎn)(即橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn))，即集合AB表示如下圖的所有圓點(diǎn)“〞＋所有圓點(diǎn)“〞＋所有圓點(diǎn)“〞，共45個(gè)．故AB中元素的個(gè)數(shù)為45.應(yīng)選C.思維升華解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點(diǎn)：(1)緊扣新定義．首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所表達(dá)的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在；(2)用好集合的性質(zhì)．解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的運(yùn)算與性質(zhì)．定義一種新的集合運(yùn)算△：A△B＝{x|x∈A，且x?B}．假設(shè)集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，那么按運(yùn)算△，B△A等于()A．{x|3<x≤4} B．{x|3≤x≤4}C．{x|3<x<4} D．{x|2≤x≤4}答案B解析A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2≤x≤4}，由題意知B△A＝{x|x∈B，且x?A}＝{x|3≤x≤4}．1．集合關(guān)系及運(yùn)算典例(1)集合A＝{1,3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，A∪B＝A，那么m等于()A．0或eq\r(3) B．0或3C．1或eq\r(3) D．1或3或0(2)設(shè)集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．假設(shè)B?A，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．錯(cuò)解展示解析(1)由A∪B＝A得B?A，∴m＝3或m＝eq\r(m)，故m＝3或m＝0或m＝1.(2)∵B?A，討論如下：①當(dāng)B＝A＝{0，－4}時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4a＋12－4a2－1>0，,－2a＋1＝－4，,a2－1＝0，))解得a＝1.②當(dāng)BA時(shí)，由Δ＝0得a＝－1，此時(shí)B＝{0}滿足題意，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{1，－1}．答案(1)D(2){1，－1}現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)解析(1)A＝{1,3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，A∪B＝A，故B?A，所以m＝3或m＝eq\r(m)，即m＝3或m＝0或m＝1，其中m＝1不符合題意，所以m＝0或m＝3，應(yīng)選B.(2)因?yàn)锳＝{0，－4}，所以B?A分以下三種情況：①當(dāng)B＝A時(shí)，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4a＋12－4a2－1>0，,－2a＋1＝－4，,a2－1＝0，))解得a＝1；②當(dāng)B≠?且BA時(shí)，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此時(shí)B＝{0}滿足題意；③當(dāng)B＝?時(shí)，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.綜上所述，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1]∪{1}．答案(1)B(2)(－∞，－1]∪{1}糾錯(cuò)心得(1)集合的元素具有互異性，參數(shù)的取值要代入檢驗(yàn)．(2)當(dāng)兩個(gè)集合之間具有包含關(guān)系時(shí)，不要忽略空集的情況.1．(2022·四川)設(shè)集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z為整數(shù)集，那么集合A∩Z中元素的個(gè)數(shù)是()A．3B．4C．5D．6答案C解析由題意可知，A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}，那么A∩Z中的元素的個(gè)數(shù)為5.應(yīng)選C.2．集合M＝{1,2,3,4}，那么集合P＝{x|x∈M，且2x?M}的子集的個(gè)數(shù)為()A．8B．4C．3D．2答案B解析由題意得P＝{3,4}，∴集合P有4個(gè)子集．3．集合A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2m<x<1－m}，假設(shè)A∩B＝?，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．[eq\f(1,3)，＋∞) B．[0，eq\f(1,3))C．(－∞，0] D．[0，＋∞)答案D解析∵A∩B＝?，①假設(shè)2m≥1－m，即m≥eq\f(1,3)時(shí)，B＝?，符合題意；②假設(shè)2m<1－m，即m<eq\f(1,3)時(shí)，需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<\f(1,3)，,1－m≤1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<\f(1,3)，,2m≥3，))解得0≤m<eq\f(1,3)或?，即0≤m<eq\f(1,3).綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為[0，＋∞)．4．(2022·濰坊調(diào)研)全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，那么以下圖中陰影局部所表示的集合為()A．{0,1} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}答案B解析因?yàn)锳∩B＝{2,3,4,5}，而圖中陰影局部為A去掉A∩B，所以陰影局部所表示的集合為{1}．5．集合A＝{x|－1<x<0}，B＝{x|x≤a}，假設(shè)A?B，那么a的取值范圍為()A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)答案B解析用數(shù)軸表示集合A，B(如圖)，由A?B，得a≥0.6．(2022·河北衡水中學(xué)模擬)U為全集，集合A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|2<x<4}，那么集合B∩(?UA)等于()A．{x|－1≤x≤4} B．{x|2<x≤3}C．{x|2≤x<3} D．{x|－1<x<4}答案B解析∵A＝{x<－1或x>3}，∴?UA＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，∴B∩(?UA)＝{x|2<x≤3}．7．(2022·寧夏銀川二中考試)集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，假設(shè)A?B，那么實(shí)數(shù)c的取值范圍是()A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,1) D．(1，＋∞)答案B解析由題意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)．由A?B，畫出數(shù)軸，如下圖，得c≥1.8．(2022·浙江)集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q ＝{x|1＜x≤2}，那么(?RP)∩Q等于()A．[0,1)B．(0,2]C．(1,2)D．[1,2]答案C解析∵P＝{x|x≥2或x≤0}，?RP＝{x|0＜x＜2}，∴(?RP)∩Q＝{x|1＜x＜2}，應(yīng)選C.9．集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，那么滿足條件A?C?B的集合C的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．4答案D解析由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由題意知B＝{1,2,3,4}．∴滿足條件的C可為{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4個(gè)．*10.設(shè)集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|m≤x≤m＋\f(3,4)))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|n－\f(1,3)≤x≤n))，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫作集合{x|a≤x≤b}的“長(zhǎng)度〞，那么集合M∩N的“長(zhǎng)度〞的最小值是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,12)D.eq\f(5,12)答案C解析由，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥0，,m＋\f(3,4)≤1，))即0≤m≤eq\f(1,4)；eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n－\f(1,3)≥0，,n≤1，))即eq\f(1,3)≤n≤1，取m的最小值0，n的最大值1，可得M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))，N＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))，所以M∩N＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))∩eq\b\lc\[\rc\](\