突破2023年高考數(shù)學(xué)題型之解密2022年高考真題34 立體幾何中二面角的計(jì)算問(wèn)題(解析版)

專題34立體幾何中二面角的計(jì)算問(wèn)題

【高考真題】

1.(2022新高考I卷)如圖，直三棱柱A8C-AMG的體積為4,的面積為2夜.

(1)求A到平面ABC的距離；

(2)設(shè)。為AC的中點(diǎn)，AA{=AB,平面ABC_L平面,求二面角A—必—C的正弦值.

1.解析(I)在直三棱柱ABC-45G中，設(shè)點(diǎn)A到平面ABC的距離為〃，

V

則A-A,BC=gSjC/=h=VA_ABC=1s“8c,AA=；VABC-^C,=g,解得/?=a'

所以點(diǎn)A到平面48c的距離為應(yīng)；

(2)取AB的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)?A=AB,所以4七，4百，

又平面AI8C_L平面A網(wǎng)A,平面48CA平面A8B14=AtB,

且AEu平面ABB|A，所以A￡，平面ABC,

在直三棱柱ABC-481G中，BB]_L平面ABC,

由3Cu平面ABC,3Cu平面A8C可得AE_LBC,±BC,

又AE,B8|U平面且相交，所以8CL平面AB8|A，

所以BC,%%兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

由(1)得AE=x/^,所以A4j=AB=2,=2J5,所以8c=2,

則A(0,2,0),A(0,2,2),B(0,0,0),C(2,0,0)，所以的中點(diǎn)D(1,l,1),

則BD=(1,1,1),BA=(O,2,O),BC=(2,0,0),

一，.m-BD=x+y+z=0—..

設(shè)平面ABO的一個(gè)法向量m=(x,y,z),貝(]■)____-,可取機(jī)=(1,0,-1),

m-BA=2y=0

..BD=a+b+c=0_.、

設(shè)平面加C的一個(gè)法向量〃=(a,b,c),貝匹_____,可取〃=

m-BC=2a=0

則8s限正向南=目1=表所以二面角A-即-。的正弦值為網(wǎng)牙=4-

2.(2022新高考II卷)如圖，PO是三棱錐P-A8C的高，PA=PB,ABrAC,E是PB的中點(diǎn).

(1)證明：OE〃平面P1C；

(2)若/4BO=NCBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C—AE—8的正弦值.

2.解析(1)連接80并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)。，連接。4、PD,

因?yàn)镻O是三棱錐P—ABC的高，所以POJ_平面A8C,49,8。<=平面/18(7,所以尸0_140、POLBO,

又PA=PB,所以APOA三&OB,即04=08,所以NQ4B=NO區(qū)4,

又即ZBAC=90°,所以NQW+NQ4r>=90°,ZOSA+ZODA=90°,所以NOZM=NOW

所以AO=">,即AO=QO=OB,所以。為的中點(diǎn)，又E為尸8的中點(diǎn)，所以O(shè)E//PQ,

又OEU平面R4C,PDu平面P4C,所以O(shè)E〃平面R4c

(2)過(guò)點(diǎn)A作4z//OP,如圖建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)槭?=3,AP=5,所以O(shè)A=尸2-尸。2=4，

又NOBA=NOBC=3QP,所以80=204=8,則AO=4,AB=4^3,

所以AC=12,所以0（26,2,0）,446,0,0）,P（2石,2,3）,C（0,12,0）,所以E（30,1弓

則荏=(3出,13)，而=(46,0,0),衣=(0,12,0),

■=3&+y+?=。,令.2,則尸3,x=0,

設(shè)平面AEB的法向量為〃=(x,y,z),則

n-AB=4y/3x=0

所以3=(0,-3,2)；

玩?荏=33+萬(wàn)+*=0,令”6則Cj,』，

設(shè)平面AEC的法向量為機(jī)二(a,b,c),則《

m-AC=l2b=0

所以m=(6,0,-6)；

n?tn-124G

所以COS（%"2

|?i||w|x/13x5/3913，

設(shè)二面角C-AE-B為6,由圖可知二面角C-AE-5為鈍二面角,

所以cos0=-短，所以sin"Jl-cos2，=Z，故二面角C-AE-8的正弦值為

131313

【方法總結(jié)】

1.二面角

(1)如圖①，AB,C3是二面角aT一￡的兩個(gè)面內(nèi)與棱/垂直的直線，則二面角的大小6=<初，CD

>.

(2)如圖②③，小，”2分別是二面角a一/一尸的兩個(gè)半平面a,萬(wàn)的法向量，則二面角的大小。滿足|cos

0|=|cos</n,m>\,二面角的平面角大小是向量功與"2的夾角(或其補(bǔ)角).

2.平面與平面的夾角

如圖，平面a與平面夕相交，形成四個(gè)二面角，我們把四個(gè)二面角中不大于90。的二面角稱為平面a

與平面尸的夾角.

若平面a,/?的法向量分別是和“2,則平面a與平面”的夾角即為向量小和"2的夾角或其補(bǔ)角.設(shè)

平面a與平面￡的夾角為仇則cos9=|cos<"i，借.

3.利用空間向量計(jì)算二面角大小的常用方法

(1)找法向量：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得

到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小；

(2)找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量,

則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.

【題型突破】

1.(2020?全國(guó)in改編)如圖,在長(zhǎng)方體中,點(diǎn)、E,1分別在棱國(guó)￡h，B以上，且2。丘=皿,

BF=2FBi.

(1)證明：點(diǎn)Ci在平面AEF內(nèi)；

(2)若A8=2,AD=\,AAi=3,求平面AEF與平面E/小夾角的正弦值.

1.解析⑴設(shè)AD—b,AA\—c,如圖

以Ci為坐標(biāo)原點(diǎn)，■GOT,石針，部的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系

C\xyz.

連接GF,則CKO,0,0),A(a,b,c),E(a,0,|c),F(0,b,；c),

或=(0,b,例，&力=(0,b,例，所以以=下了，所以E4〃GF,

即A,E,F,G四點(diǎn)共面，所以點(diǎn)Ci在平面4EF內(nèi).

(2)由已知得A(2,1,3),￡(2,0,2),F(0,1,1),Ai(2,1,0),

則戰(zhàn)=(0,-1,-1),#=(-2,0,-2),屣=(0,-1,2),7^=(-2,0,1).

HrA&=0,1_yLZi=0,

設(shè)〃1=(為，yi,zi)為平面AE尸的法向量，則'即

2xj—2zi=0,

可取m=(—1,—1,1).

1.=0,-y2+2z2=0,

設(shè)"2=(X2,)%Z2)為平面4E/7的法向量，貝？

7=0,—2%2+Z2=0,

同理可取“2=6，2,1).

因?yàn)閏os<m,〃2>=]^i=—7，

所以平面AE/7與平面EFA\夾角的正弦值為當(dāng)

2.(2019?全國(guó)[II)圖1是由矩形AOEB,RtZVIBC和菱形8FGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1,BE=

BF=2,NFBC=60°.將其沿AB,8c折起使得BE與8尸重合，連接。G,如圖2.

(1)證明：圖2中的A,C,G,。四點(diǎn)共面，且平面ABCJ?平面BCGE；

(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.

FGBC

圖I圖2

2.解析(1)由已知得A￡>〃8E,CG//BE,所以4O〃CG,

所以A。，CG確定一個(gè)平面，從而A,C,G,。四點(diǎn)共面.

由已知得ABA.BC,1.BEPiBC^B,所以ABJ_平面8CGE.

又因?yàn)锳8u平面ABC,所以平面ABCJ_平面BCGE.

(2)作EH1.BC,垂足為〃.因?yàn)镋〃u平面BCGE,平面BCGE_L平面ABC,

平面8CGED平面ABC^BC,所以￡7/1.平面ABC.

由已知，菱形BCGE的邊長(zhǎng)為2,ZEBC=60°,可求得B4=l,EH=4

以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，訛的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Hpz,

則A(-l,1,0),C(l,0,0),G(2,0,小)，C&=(1,0,小)，祀=(2,—I,0).

C&-M=0,即卜十八=0,

設(shè)平面ACGO的法向量為〃=(x,y,z),則＜_

[2x—y=0.

所以可取n=(3,6,一小).又平面8CGE的法向量可取m=(0,1,0),

所以cos<zz,析>=尚裾=坐.因此二面角B—CG—A的大小為30°.

3.(2019?全國(guó)H)如圖，長(zhǎng)方體ABCD-AIBICQI的底面4BCD是正方形，點(diǎn)E在棱A4上，BElECi

(1)證明:BE_L平面破1G；

(2)若4E=A|E,求二面角8—EC-G的正弦值.

3.解析(1)由已知，得平面ABBIAI,由于BEu平面A8BA,

故8cl_LBE.XBElECi,B\C\^EC\^C\,所以BELL平面EBiG.

(2)由(1)知NBE8|=90。.由題設(shè)知RtAABEZRsAiBiE,所以NAE8=45。，AE=AB,AAt=2AB.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，次的方向?yàn)閤軸正方向，反的方向?yàn)閥軸正方向，初?的方向?yàn)閦軸正方向，|用

|為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,

則C(0,1,0),B(l,1,0),C|(O,1,2),E(l,0,1),

所以仍=(1,0,0),Cfe=(l,-I,I),CCt=(0,0,2).

品1=0,

設(shè)平面EBC的法向量為〃=3，yi,Z1),則＜

Ckn=O,X|—yi+zi=O,

所以可取n=(0,-1,-1).

CC|,77l=O?=

2z20f

設(shè)平面ECC]的法向量為〃?=(X2，yiyZ2),貝小

^Cfem=O,、九2一"+Z2=O,

所以可取勿=(1,1,0).于是cos＜〃，加＞=而而=—].

所以二面角B-EC-Ci的正弦值為坐.

4.(2019?全國(guó)I改編)如圖，直四棱柱A8CD—481G口的底面是菱形，A4=4,AB=2,ZBAD=60°,E,

M,N分別是BC,BBi，A。的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面GOE;

(2)求平面AMAi與平面MAN夾角的正弦值.

4.解析(1)如圖，連接8C,ME.因?yàn)镸,E分別為BE,BC的中點(diǎn),

所以ME〃BC,且又因?yàn)镹為AQ的中點(diǎn)，所以ND==4i。.

由題設(shè)知且4Bi=OC,可得8iC〃4。且81c=40,故ME〃ND且ME=ND,

因此四邊形MNDE為平行四邊形，MN//ED.又MNu平面CQE,EDu平面GOE,

所以MN〃平面GDE.

(2)由已知可得以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，箱的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

Dxyzy

則A(2,0,0),4(2,0,4),Af(l,小,2),很(1,0,2),初二(0,0,-4),項(xiàng)=(一1,小，-2),

7?^=(-1,0,-2),兩=(0,-小，0).

mAiM=0,

設(shè)〃z=(x,y,z)為平面的一個(gè)法向量，則，

,mA|X=0,

f-x+d5y_2z=0,廣

所以j_4_0.可得m=(小，1,0).

“?疝=U,

設(shè)〃=(p,q,r)為平面4MN的一個(gè)法向量，則＜

n4H=0,

—y[3q=0t

所以可取〃=(2,0,—1).

-p-2r=0,

mn2sy[\5

于是cos</n,心=麗=2、3=5

所以平面AMA\與平面MA]N夾角的正弦值為丐2

5.(2020?全國(guó)I)如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD.zMBC是底

面的內(nèi)接正三角形，P為。。上一點(diǎn)，PO=

(1)證明：出_1_平面P8C；

(2)求二面角B-PC-E的余弦值.

5.解析(1)設(shè)。O=a,由題意可得尸0=手〃，AO=-^-a,AB=a,PA=PB=PC=^a.

因此以2+PB2=A"，從而以_LP￡又%2+P02=AC2,

故以_LPC.又PBCPC=P,PB,尸Cu平面PBC,所以以_LfaPBC.

p

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，，定的方向?yàn)閥軸正方向，|南|為單位長(zhǎng)度,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由

題設(shè)可得E(0,1,0),A(0,-1,0),《一坐，0),月(0,0,乎).

所以愛(ài)=(一半，一；，0),用=(0,—1,平，

一)'+冬=0,

\mEP=G,

設(shè)〃?=(x,必z)是平面PCE的法向量，則J即<

lm-~EC=0,3—5=0.

可取,*=(一乎，1,啦).

由(1)知各=(0,1,坐)是平面PC8的一個(gè)法向量，記"=刀

L為唔

貝Ucos<〃，m>~\n\'\m\~5,所以一面角8一夕。一后的余弦傕

6.(2021?全國(guó)新H)在四棱錐。一ABC。中，底面ABC。是正方形，,若AO=2,QD=QA=6QC=3.

(1)證明：平面平面ABC。；

(2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.

;

6.解析(1)取AO的中點(diǎn)為0,連接Q。，CO.

因?yàn)镼O=QA,OD=OA,貝』Q0_L4。，而4。=2,。4=小故。。=[5—1=2,

在正方形A8CZ)中，因?yàn)锳￡>=2,故。。=1,故CO=小，

因?yàn)?。C=3,故QO2+OG=QCS故△QOC為直角三角形且QO±OCf

因?yàn)镺CnAQ=。，故QO_L底面ABCO.因?yàn)镼Ou平面QAD,,故平面QAD_L底面ABCD

(2)在平面ABCD內(nèi)，過(guò)。作OT〃C。，交BC于T,則OT_LA。，

結(jié)合(1)中的。0_1_平面ABCD,故可建如圖所示的空間坐標(biāo)系.

則0(0,1,0),Q(0,0,2),BQ,-1,0),,故苑=(—2,1,2),粉=(—2,2,0).

?血=0,f-2x+y+2z=0,

設(shè)平面080的法向量〃=(x,y,z),貝好即I,八八

Ut>=。，2y=6

不妨設(shè)x=l,可得"=(1,1,2).

m12

>*n---

而平面QA。的法向量為/n=(l,0,0).故cos<n?,-制33

llnlX-

2

2

二面角8—QO-A的平面角為銳角，故其余弦值為宗

7.(2021?全國(guó)乙)如圖，四棱錐P—ABC。的底面是矩形，底面ABC。，PD=DC=1,M為BC的

中點(diǎn)，且

⑴求BC；

(2)求二面角A-PM-B的正弦值.

7.解析⑴連結(jié)8。，因?yàn)槭琌J_底面A8CO,且AMu平面ABCD,

貝又PBCPD=P,PB,尸。u平面P8。，

所以4M_1平面PBD,又BOu平面PBD,則AMLBD,

所以NA8O+NDAM=90。，又NZMM+NMA8=90。，

則有所以RSDABSRIAABM,

則第=黑，所以;BC2=1,解得

AbL)M1v

z

P,

(2)因?yàn)镈4,DC,DP兩兩垂直，故以點(diǎn)。位坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

貝［A(g，0,0),B(巾,1,0),M(乎，1,0),P(0,0,1).

所以#=(一45,0,1),減=(一乎,?,0),麗=(-乎,

0,0).前=(一啦，-1,1)

-y/^x+z=O,

w-A^=0,

設(shè)平面4Mp的法向量為〃=(x,y,z),則有＜

令工=表，則y=l,z=2,故〃=(6,1,2),

一半p=o,

/〃?肱=0,

設(shè)平面BMP的法向量為〃?=(p,q,r),則有,即1

m?前=0,、-y[2p_q+r=0.

令4=1,則r=L故加=(0,1,1),

業(yè)w-3

所以cos<〃，,”>=而而一赤石=14.

設(shè)二面角A—PM—B的平面角為a,則sina=\^

所以二面角A-PM-B的正弦值為唔.

8.(2018?全國(guó)HI)如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧也所在平面垂直，M是無(wú)上異

于C,。的點(diǎn).

(1)證明：平面AMO_L平面BMC；

(2)當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時(shí)，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值.

8.解析(1)由題設(shè)知，平面CMC平面ABCD,交線為CD.

因?yàn)?C_LCO,8Cu平面488,所以8CJ_平面CM。，故BC_LOM.

因?yàn)镸為無(wú)上異于C,￡>的點(diǎn)，且。C為直徑，所以。MLCM.

又8CflCM=C,所以。例J_平面8WC.而DWu平面AM。，故平面平面8MC.

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，福的方向?yàn)閤軸正方向，求的方向?yàn)閥軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系Dxyz.

當(dāng)三棱錐M—ABC體積最大時(shí)，M為0)的中點(diǎn).

由題設(shè)得力(0,0,0),42,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),M(0,I,I),

破=(-2,I,1),?=(0,2,0),次=(2,0,0).

〃?磁=0,[―2x+y+z=0,

設(shè)〃=(x,y,z)是平面M48的法向量，貝K即J可取”=(1,0,2).

[”.就=0,⑵=°?

房是平面MCO的一個(gè)法向量，因此，cos<n,箱>="""=坐’sin<”,

I?IIDA|

所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是手.

9.(2021?全國(guó)新I)如圖，在三棱錐4一88中，平面A3。_L平面BCD,AB=AD,。為B。的中點(diǎn).

(1)證明：OAYCD；

(2)若AOC。是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上,￡>E=2EA,且二面角￡一8。一。的大小為45。,

求三棱錐A-BC￡>的體積.

9.解析(1)因?yàn)?。?。的中點(diǎn)，所以A0_L8。，

又平面A8Z)_L平面BCD,平面ABOn平面BCD=BD,AOu平面BCD,

所以AO_L平面BCD,又CDu平面BCD,所以O(shè)A1.CD；

z

⑵取on的中點(diǎn)尸，因?yàn)椤鳌?。。為正三角形，所以CFLOD,

過(guò)。作OM//CF與BC交于點(diǎn)M,則OM_LOO,所以O(shè)M,OD,OA兩兩垂直，

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)M,OD,為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則8(0,

—1,0),C(2?1,0),0(0,I,0),設(shè)A(0,0,/),則E(0,1,y),

因?yàn)椤?,平面BCD,故平面BC。的一個(gè)法向量為次=(0,0,r),

設(shè)平面8CE的法向量為”=(x,y,z),又就=(坐，0),碇1=((),*y),

〃?貳=0,I多丫一m=0,2

所以由j得J令x=<5,貝!1"=(小，—1,

jiBk—O,§+蕓=o,

因?yàn)槎娼荅—8。一。的大小為45。，所以cosv“，j=坐,

|〃||。4|74+*

解得t=1,所以O(shè)A=1,又SAOCD=9X1x1*尊,所以SABCD=^^，

LZ4Z

故VA8C0=(XSA8c￡>XOA=(X坐、1=乎.

10.(2021?全國(guó)甲)已知直三棱柱A8C—AjBiG中，側(cè)面44山歸為正方形，AB=BC=2,E,F分別為AC

和CG的中點(diǎn),。為棱AiBi上的點(diǎn)，BFLAB.

(1)證明：HFLDE-,

(2)當(dāng)8。為何值時(shí)，面BBiGC與面OFE所成的二面角的正弦值最?。?/p>

10.解析(1)連接AF,'：E,尸分別為直三棱柱ABC—48cl的棱AC和CC的中點(diǎn)，且A8=8C=2,

CF=1,BF=?A\B\//AB,：.BF±AB,

:.AF=7AB2+BF2=722+郃)2=3,AC=yjAF2—CF?=732—F=2巾,：.AB2+BC2=AC2,即BArBC.

故以B為原點(diǎn)，BA,BC,381所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(2,0,0),8(0,0,0),C(0,2,0),E(l,1,0),尸(0,2,I),設(shè)BQ=m,則拉⑺，0,2),

.?.祥=(0,2,1),I,-2),:濟(jì)我=0,：.BF±DE.

(2)；A8_L平面BBiGC,...平面8B1GC的一個(gè)法向量為，〃=(1,0,0),

由⑴知，Dfe=(l-zw,1,-2),防=(一1,1,1),

/i-D^=0,f(1—m)x+y—2z=0,

設(shè)平面的法向量為"=(x,y,z),則有，，即，

I”.肆=0,Jx+y+z=o.

令x=3,則y=/%+l,z=2—故〃=(3,ZH+1,2—m),

訴r/_mm_33

C°mI川，9+(m+1[+(2—m)2，2-2—2—+14

所以當(dāng)切=(時(shí)，面BBiGC與面DFE所成的二面角的余弦值最大為由，此時(shí)正弦值最小為坐.

11.(2021?北京)已知正方體ABC。-AIBIGOI,點(diǎn)E為中點(diǎn)，直線3G交平面C0E于點(diǎn)F.

(1)證明：點(diǎn)F為的中點(diǎn)；

⑵若點(diǎn)M為棱43上一點(diǎn)，且二面角M-CF-E的余弦值為小，求修的值.

II.解析如圖所示，取81cl的中點(diǎn)9，連結(jié)OE,EF',FC,

由于ABCO-為正方體，E,k為中點(diǎn)，故E尸〃C。,

從而E,F,C,D,四點(diǎn)共面，所以平面CDE即平面CQE9,

據(jù)此可得，直線交平面CQE于點(diǎn)產(chǎn)，

當(dāng)直線與平面相交時(shí)只有唯一的交點(diǎn)，故點(diǎn)尸與點(diǎn)尸重合，即點(diǎn)F為叢C中點(diǎn).

（2）以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD\,方向分別為x軸，），軸，z軸正方形，建立空間直角坐標(biāo)系

Dxyz,

不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,

則，M(2,22,2),C(0,2,0),F(l,2,2),E(l,0,2),

從而，證=(一2,2-22,-2),存'=(1,0,2),建■=((),—2,0),

"7?砒=0,—2x]+(2—2z)y)—2z\—0,

設(shè)平面MC77的法向量為〃2=（汨，yi,zi）,所以＜即＜

m-Cp=0,xi+2zi=0,

令句=一1,則平面MCF的一個(gè)法向量為，”=（2,占

，—D?

"?用=0,—2j2=0,

設(shè)平面CFE1的法向量為"=（工2,〉2,Z2）,所以，即，

nCp—0,K2+2Z2=0,

令22=—1,則平面CPE的一個(gè)法向量為“=（2,0,-1）.

從而％”=5,|m|=^j5+(y4j)2,|川=小,

.n-m

則，cos</i,m>=

i1q

整理可得：（Z—1-=不故4=］或］（舍去）.

12.如圖所示的幾何體由平面PECF截棱長(zhǎng)為2的正方體得到,其中P,C為原正方體的頂點(diǎn)，E,尸為原

正方體側(cè)棱長(zhǎng)的中點(diǎn)，正方形43CD為原正方體的底面，G為棱3c上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求證：平面APC_L平面PECF；

(2)設(shè)瑟3進(jìn)(0<2.<1),當(dāng)2為何值時(shí)，平面EFG與平面ABCD所成的角為加

12.解析(1)由已知可知，EB//FD,且EB=FD,如圖，連接80，則四邊形EFZJB是平行四邊形,

C.EF//BD.?.,底面ABCQ為正方形，：.BD±AC.底面488,：.BD±AP.

又ACnAP=4,...BOI.平面APC,：.EFL^APC.

,：EFu平面PECF,：.平面APCL平面PECF.

(2)以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D—xyz,

則8(2,2,0),F(0,0,1),E(2,2,1),G(2,2-22,0),F￡=(2,2,0),G￡=(0,2九1),

m-FE=0,x=-y9

設(shè)》i=(x,y,z)是平面EFG的法向量，故，即

z=~2Ay

jn-GE=0,t

令丁=-1,可得機(jī)=(1,-1,2，)為平面EFG的一個(gè)法向量,

而平面ABCO的一個(gè)法向量為〃=(0,0,1).

">尸/解得:尸率,

于是cos^=|cos</n,

又0<2<1,6,

13.如圖，已知直三棱柱ABC—4SG中，A4i=AB=AC=l,ABLAC,M,N,Q分別是CG，BC,AC

的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線4Bi上運(yùn)動(dòng)，且4°=14a丘引0,1]).

(1)證明：無(wú)論入取何值，總有AA/_L平面PNQ；

(2)是否存在點(diǎn)P,使得平面PMN與平面A8C的夾角為60。？若存在，試確定點(diǎn)P的位置，若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

13.解析(1)如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AC,A4所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐

標(biāo)系，則4(0,0,0),4(0,0,I),Bi(l,0,1),M(0,1,曲,0),Q(0,0),

由否》=儲(chǔ)曲=41,0,0)=(九0,0),可得點(diǎn)P(2,0,1),所以麗=(；一九I，-1)飽=(一，，一1).

又A^=(0,1,，，所以麗=o+g—g=0,?麗=o+；—3=0,

所以而，的，而_1_麗，即4W_LPN,AM1PQ,

又PNCPQ=P,所以AM_L平面PNQ,所以無(wú)論力取何值，總有AM_L平面PNQ.

即。，即1+"=。，得『守

〃聞=0,任一2}+知一2=0,z=2_2A^

令x=3,所以"=(3,1+2A,2—22)是平面PMN的一個(gè)法向量.

取平面A8C的一個(gè)法向量為,"=(0,0,1).

假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P,則|cos<孫?>|=^==^==1,

化簡(jiǎn)得422—144+1=0,解得'=7.j也或2=?1+：很(舍去).

7—3由

綜上，存在點(diǎn)P,且當(dāng)4尸=―產(chǎn)■時(shí)，滿足平面PMN與平面ABC的夾角為60。.

14.已知在四棱錐P—A8C。中，平面尸DC_L平面ABCD,ADLDC,AB//CD,AB=2,DC=4,E為PC

的中點(diǎn)，PD=PC,BC=2yf2.

(1)求證：BE〃平面用。；

(2)若P8與平面ABC。所成角為45°,點(diǎn)P在平面ABC。上的射影為0,問(wèn)：BC上是否存在一點(diǎn)F,

使平面POF與平面以B所成的角為60。？若存在，試求點(diǎn)尸的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

14.解析(1)取PO的中點(diǎn)H,連接AH,EH,則EH〃C￡>,EH=gcD,

又AB"CD,AB=^CD=2,：.EH//AB,且E”=48,

四邊形ABEH為平行四邊形，故8E〃HA.又平面用。，"Au平面出。，，跳；：〃平面B4O.

(2)存在，點(diǎn)?為BC的中點(diǎn).理由：?.?平面PQCJ_平面ABC。，PD=PC,作POJ_￡>C,交QC于點(diǎn)

O,連接08,可知。為點(diǎn)P在平面A8C3上的射影，則NP8O=45。.由題可知。8,OC,OP兩兩

垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以08,0C,。尸所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系。一

xyz,

由題知OC=2,BC=2?：,OB=2,由NP8O=45。，可知OP=OB=2,

：.P[0,0,2),A(2,-2,0),8(2,0,0),C(0,2,0).

設(shè)F(x,y,z),BF^XBC,則。-2,y,z)="—2,2,0),解得x=2—2Ay=24,z=0,

可知尸(2一2九22,0),

設(shè)平面以8的一個(gè)法向量為/〃=(xi,>>,,zi),：就=(2,-2,-2),矗=(0,2,0),

w-B4=0,(2xi—2yl—2zi—0,

得c令zi=1,得加=(1,0,1).

[7宿=0,⑵尸①

設(shè)平面PO尸的一個(gè)法向量為"=(X2,)*Z2),：講=(0,0,2),存=(2—2九2z,0),

可知當(dāng)尸為BC的中點(diǎn)時(shí)，兩平面所成的角為60。.

15.如圖所示，在梯形A8CO中，AB//CD,/BCQ=120。，四邊形ACFE為矩形，且CF_L平面ABCQ,

AD=CD=BC=CF.

(1)求證：EF_L平面BCF；

(2)點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，平面MAB與平面FCB所成的銳二面角最大，并

求此時(shí)二面角的余弦值.

15.解析(l)設(shè)AZ)=a>=BC=l,'JAB//CD,ZBCD=120°,；.AB=2,

：.AC2=AB2+BC2~2ABBCCOS60°=3,：.AB2=AC2+BC2,貝UBC_LAC.

：CF_L平面A8CO,ACu平面48cO,：.AC±CF,而C7TlBC=C,CF,BCu平面3CF,

，AC_L平面8CF."：EF//AC,平面8CF.

(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線CA,CB,CF為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)則C(0,0,0),A巾,0,0),B(0,1,0),M(A,0,1),

；.磋=(一小,I,0),肱=(九-1,I).

f/i-A^=O,(一-\[3x-\-y=0,

設(shè)"=(x,y,z)為平面M48的法向量，由，得，

[“麗=0,Ur->'+2=0,

取x=l,則”=(1,—T).

易知所=(1,0,0)是平面FC3的一個(gè)法向量，

.___________1_______________1_____

?，COS<n，心=麗=/+3+小—Nx|=3—p+4,

0<2<A/3,.,.當(dāng)2=0時(shí)，cos<?,/?>取得最小值乎，

二當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)尸重合時(shí)，平面MAB與平面FCB所成的銳二面角最大，此時(shí)二面角的余弦值為乎.

16.如圖所示，正方形AAQ。與矩形ABC。所在平面互相垂直，48=240=2,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn).

(1)求證：8口〃平面AQE；

(2)設(shè)在線段AB上存在點(diǎn)"，使二面角￡>LMC—。的大小為專求此時(shí)AM的長(zhǎng)及點(diǎn)E到平面AMC

的距離.

16.解析⑴連接A。，交4。于點(diǎn)0,；四邊形A4QQ為正方形,

二。是的中點(diǎn)，?.?點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連接0E.

...E0為△A8。的中位線，：.E0//BD\.

又平面AQE,OEu平面4OE,，引力〃平面A0E.

(2)由題意可得。QJ_平面ABCC,以點(diǎn)。為原點(diǎn)，DA,DC,所在直線分別為x軸、y軸、z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則0(0,0,0),C(0,2,0),Ai(l,0,1),Di(O,0,1),8(1,2,

0),E(l,I,0),

設(shè)M(l,yo.0)(0<yo<2),VA7t=(-l,2-.y0.0),戊=(0,2,-1),

ni-ATt-O,—x+y2-yo=0

設(shè)平面9MC的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),則j即.f

,城'=(),2y—z=0,

令y=l,有〃i=(2—y(),1,2).而平面MC￡>的一個(gè)法向量為〃2=((),0,1).

要使二面角n—MC—。的大小為去

l兀x川出2曲

則1mcos6=?|cos<m，〃2>尸川.阿=42—市+F+2尸2，

解得yo=2一坐(O$yoW2),故AM=2一坐，此時(shí)〃1=停，1,2),D\E—(\,1,—1).

T7_

故點(diǎn)E到平面"MC的距離為4=嚅旦=品-="要.

3

17.(2017?全國(guó)H)如圖，四棱錐P—A8CO中，側(cè)面以。為等邊三角形且垂直于底面A8CD,A8=BC=；

AD,NBAO=/4BC=90。，E是的中點(diǎn).

(1)證明：直線CE〃平面以8；

(2)點(diǎn)M在棱PC上，且直線8M與底面ABC。所成角為45。，求二面角例TB—。的余弦值.

p

⑴取出的中點(diǎn)凡連接E尸，BF.因?yàn)镋是PO的中點(diǎn)，所以EF〃AD,EF=^AD.

17.解析

由/BA￡)=NA8C=90。，得BC〃AD,又BC=%D

所以EFJ8C,四邊形8CEF是平行四邊形，CE//BF,

又BFu平面B48,CEC平面用5,故CE〃平面附B.

(2)由已知得84,40,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AO所在直線分別為x軸，y軸，|初|為單位長(zhǎng)度,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0),B(l,0,0),C(l,1,0),P(0,1,小),

pt={\,0,一小)，霜=(1,0,0).

設(shè)A