天津市河?xùn)|區(qū)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

天津市河?xùn)|區(qū)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期

期末考試數(shù)學(xué)試題

本試卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共100分，考試用時90分鐘.

答卷時，考生務(wù)必將（答案』答在答題卡的相應(yīng)位置.考試結(jié)束后，將答題紙交回.

祝各位考生考試順利！

第I卷

注意事項：

1.請同學(xué)們把K答案》按要求填寫在答題卡上規(guī)定區(qū)域內(nèi)，超出答題卡區(qū)域的1答案II

無效！

2.本卷共9小題，每小題4分，共36分.

一.選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

92

三-二=1

1.雙曲線34的焦點坐標(biāo)為（）

A（±"，。）B（±5,0）c（±1,0）D（±7,0）

K答案》A

K解析W由題意得雙曲線的焦點在工軸上，且"2=3,〃=4,

...c=力2+。2=百，：.雙曲線的焦點坐標(biāo)為（±嶼，°）.

故選：A.

2.如果拋物線）’=依的準(zhǔn)線是直線x=l,那么它的焦點坐標(biāo)為（）

A（1，°）B（2，°）C（一2，°）D（T，°）

R答案HD

K解析W由于拋物線的準(zhǔn)線是直線％=1,所以它的焦點為（T'°）.

故選：D

3.已知雙曲線的一條漸近線為X-0y=°,且一個焦點坐標(biāo)是（一工°）,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)

方程是（）

2222

yy2

y2-%---X---2yx2--------x

A.3=1B.3=1C.3=1D.3=1

（答案XB

K解析】由題設(shè)，雙曲線實軸為x軸，且漸近線為x-6y=°,

2

%2_i

-----y=1

...雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是3

故選：B

4.已知拋物線4”的焦點為尸尸為拋物線上一點，過點P向準(zhǔn)線作垂線，垂足為Q,

若"PQ=60。，則附=（j

A.1B.2C.3D.4

K答案HD

K解析》根據(jù)題意作出簡圖，如圖所示：

根據(jù)拋物線的定義可知附<PQ,結(jié)合々尸。=60。，

可得△QQ為等邊三角形，所以NPQF=NQFN=60。，

在RtMNF中，因為⑼=2,所以|Q月=4,所以附=4

故選：D.

22

pFC:—~^-=l（a>0,b>0）

5.已知巧，'2分別為雙曲線b-的左，右焦點，雙曲線°上的點A

滿足IA用=296|,且A4的中點在y軸上，則雙曲線C的離心率為（）

6+1

A.2B.6c,2D.百+1

K答案XB

K解析申設(shè)耳（一小°）,KG°）,雙曲線C上的點A滿足I明1=21伍I,做的中點D在

y軸上，可得。閭=口用引物.?.A/U￡E,

即有AE‘x軸，A的橫坐標(biāo)為c,如圖所示:

在直角三角形""中，4隹=6?！?

t?anZZ.FZ7,AA居C=2=c-l-a-c--=，r3z

"也c-a~

可得。，

2e_rr

即為e?—］一-，即小？一2e—6=0,e>l,

e___1_

解得e=石，或6（不合題意，舍去）；

二雙曲線的離心率是G.故選：B.

6.已知數(shù)列｛%｝是公差不為零的等差數(shù)列，若％=5,且S7=42（〃eN*）,設(shè)"an-a^,

則數(shù)列｛2｝的前〃項和$"為（）

n11n

A.3〃+9B,3〃+9c.〃+3D,〃+3

K答案2A

K解析］］數(shù)列｛4｝是公差不為零的等差數(shù)列，設(shè)公差為d,

q+2d=5

=5

57=42=7q+Nd=42<4=3

2，解得Id=l

1

b—1—

所以（"+2）（〃+3）〃+2〃+3

），=------1------F…d-------------=---------=------

所以數(shù)列的前〃項和3445〃+2〃+33〃+33〃+9.

故選：A.

7.在正項等比數(shù)列｛4｝中，4a7=3,則數(shù)列｛唾34｝的前9項和為（）

H91513

A.2B.2C.2D.2

K答案》B

29

2

log3?t+log3a,+…+log3a9=log3（qa,???a8?9）=log33=-

K解析力由題意知''2.

故選：B.

8.已知數(shù)列｛"J滿足24，+i=4+a,"用且"3=1,則4。22的值為（）

A.1B.2C.4D.-4

K答案XA

K解析1因為數(shù)列｛"/滿足2a向=4+%"用且%=1,

所以2。3=4+2%=4+%%所以生=-2,g=4

乂2a2=4+2%=4+所以4=4，%=-2

又2a6=4+%4,所以“6=1

所以％=4,七=一2M3=1，%=4,Q5=—2,=]

所以數(shù)列｛""｝是周期為3的周期數(shù)列，所以4。22="674x3=%=1

故選：A.

9.我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》記有行程減等問題：三百七十八里關(guān)，初行健步不為難

次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān).要見每朝行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還.意為：某人步行到

378里的要塞去，第一天走路強(qiáng)壯有力，但把腳走痛了，次日因腳痛減少了一半，他所走的

路程比第一天減少了一半，以后幾天走的路程都比前一天減少一半，走了六天才到達(dá)目的

地.請仔細(xì)計算他每天各走多少路程?在這個問題中，第四天所走的路程為（）

A.96B.48C.24D.12

K答案』C

(解析》由題意可知：每天所走的里程構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列.

=378,x=192/,

192x-=24

第一天走了》里,.第4天走了(21

故選：C.

第II卷

注意事項：

1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將K答案》寫在答題卡相應(yīng)位置上.

2.本卷共11小題，共64分.

二.填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分.

10.設(shè)各項均為正數(shù)的等差數(shù)列｛叫的前〃(neN,)項和為S，j=20,且a1是出

與””的等比中項，則數(shù)列｛"/的公差d為.

K答案H1

R解析2設(shè)各項均為正數(shù)的等差數(shù)列｛""｝的公差為d3>°),

因為％T是%與與的等比中項，所以a-外,

5x4

Ss=205alH---------d=20

2_j_

(a-l)2=aa

仆6211](q+5d-l)=(q+d)(q+10。)，解得d=l或T7(舍)

經(jīng)檢驗滿足題意.

故K答案》為：I.

11.若數(shù)列｛%｝的通項公式4=2”,其前5項和S5=

K答案U26-2

K解析》數(shù)列｛%｝的通項公式4=2",

4+1W=2,)

則與2，故數(shù)列首項為2公比為2的等比數(shù)列,

$—2(14)

26-2

所以51-2

.故K答案』為：26-2.

12.已知數(shù)列｛叫的前n項和為S..若4=1°,4-*=-2,則5?的最大值為

K答案U30

"解析"由—41=-2可得數(shù)列｛""｝杲以4=10%昔后.

J付型列7E以為首項，-92為公差的等差數(shù)列,

所以%=10-2(〃-1)=12-2〃

令%=12-2〃20,解得〃W6

所以4,>0，%=°，%，/，…，可<0

SS5=叫=30

則"的最大值為T°2

故K答案》為：30.

13.已知S，，是數(shù)列｛q｝的前“項和，S,=14〃—〃2,則%=

7

若L=M+同+悶+…+㈤，則T20=

K答案”5—2〃218

《解析》ELM”/,則SI=14(〃-1)_(〃_I)2(〃“)

f

兩式作差得到4=15-2〃(〃“)當(dāng)〃=i葉a,=s=13

，當(dāng)時?行成立，故得到%=15-2〃

當(dāng)”47時，1-同+同+同+…+|叫=《+4+.…+q_(13+15-2/?)/;

〃2=(14-〃)〃

當(dāng)…時，小同+同+同+…周-3+%+…+%)'

I-⑸-Of=98-電以98-(14-沙

2

=?-14/2+98；

TJ(14-

故得到：("T4〃+98,〃28北。=218

故K答案》為：4=15-2〃；(0=218

22

c:——+=i（。>/?>o）

14.已知橢圓b~過右焦點F且斜率為舊的直線與橢圓C相交于

AF=-FB

4,8兩點，若2,則橢圓C的離心率為

2

K答案》3

工解析H如圖,

作垂直右準(zhǔn)線交右準(zhǔn)線于點D,作5c垂直右準(zhǔn)線交右準(zhǔn)線于點C,

作AE垂直BC于點E,

AF=-FB府卜犯同=2m則陷=3加

由2,設(shè)

AF

由附叱3|明=圖3

eee

\BE\=\BC\-\AD\

所以

又直線A8的斜率為6,所以NA8E=NA&=60°,

c“后=熠」」—2

所以阿3e23,

2

故R答案』為：3.

2,

」+工=1

15.若方程4-’t-\所表示的曲線為C,給出下列命題:

①若c為橢圓，則實數(shù)，的取值范圍為（1可；

②若C為雙曲線，則實數(shù)r的取值范圍為34）"4收）；

③曲線C不可能是圓；

④若C為橢圓，且長軸在X軸上，則實數(shù)f的取值范圍為I（由2）,

其中真命題的序號為.（把所有正確命題的序號都填在橫線上）

K答案》②④

,2

——X2+二

K解析1方程4—ff-l所表示的曲線為C,

4T>01</<4

r-1>0=>5“0

t豐-7

4一1二/一12

①若C為橢圓，則需要滿足故①不正確;

②若C為雙曲線，則滿足—=或，>4,故②正確;

4T>0l<r<4

5

r-1>0=>5=力=一

2

4-r=/-l2

③當(dāng)曲線C為圓，則需要滿足,故③錯誤;

4-r>0

z-l>0

4一fX，一1，中1

4-?>r-l

④若C為橢圓，且長軸在x軸上，則需要滿足,故④正確;

故K答案』為：②④.

三.解答題：本大題共5小題，共40分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16.已知橢圓的方程為9，+4y2=36,寫出它的長軸長、短軸長和焦點坐標(biāo).

22—yL=i

橢圓的方程9/+4y2=36化為標(biāo)準(zhǔn)方程為4+9

解:

因為9>4,所以焦點在V軸上，/=9,^=4

所以。2=/_〃=5,a=3,b=2,所以c=逐,

所以長軸長為加=6,短軸長為%=4,焦點坐標(biāo)為（°'6），（°'一”）.

\oSH=~(an+})~(neN

17.已知正項數(shù)列的前"項和為",4'

(1)求％、a2.

(2)求證：數(shù)列也｝是等差數(shù)列.

4=—(4+1)~_1

(1)解：由已知條件得：4

又有％+生=(3+1)2,即d一2-3=0

解得四=T(舍)或4=3

S,=；(。.+1)2

(2)證明：由4得

S?.=-(?,+1)2

此2時：八),

.S“-S“T=；[(<7“+1)2一(％+1)-]=5[a；-a；-i+2(a“-%_J]

??9

即4%=片一。3+2。,,一2a,1,

?d-。3+2”“-2%=0

??，

.(4+4.)3-4.1-2)=0

?,，

。-%-2=0即=2(〃>2),

經(jīng)過驗證”=1也成立，

所以數(shù)列｛%｝是首項為1,公差為2的等差數(shù)列.

18.已知拋物線C的頂點在原點，對稱軸是坐標(biāo)軸，且經(jīng)過點A(4,2),尸為拋物線的焦

點.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若8(4,1),一為拋物線上一動點,求忸月卡歸目的最小值.

解：(1)①當(dāng)拋物線的焦點在x軸上時，設(shè)拋物線：y2=2px(p>0),

又?.?拋物線過A(4,2),'4=8p即'2,

拋物線方程為V=x；

②當(dāng)拋物線的焦點在y軸上時，設(shè)拋物線：/=203>0),

???拋物線過A(4,2),，16=4p,；.p=4,

.??拋物線方程為f=8y,

綜上拋物線方程：>2=苫或/=8)，.

(2)①當(dāng)拋物線：x2=8y,如圖

則當(dāng)F、P、B三點共線時，P在F、8之間時，歸耳十戶同取得最小值,

此時I。目+1叫=「用，又尸(0,2),B(4,1)

二閥="7F=內(nèi)...(忻尸|+1冏).=歷

②當(dāng)拋物線：V=x時，過P作準(zhǔn)線/于M,

.-.\PM\^\PF\t,(|PF|+|P<n=(|PM|+|PB|)min)

當(dāng)8、P、M共線時，1戶耳十戶到取得最小值，又準(zhǔn)線/：%=-4,

17

此時忸盟+|冏=|尸制+忸耳=忸叫=彳

17

綜上：最小值為炳或4.

5_3

19.已知中心在原點，焦點為月（一2，°）,"Q，0）的橢圓經(jīng)過點2，-2

（1）求橢圓方程;

---------十----------

⑵若M是橢圓上任意一點，“6交橢圓于點A,加"交橢圓于點8,求陽M優(yōu)卻的

值.

-V2

r+大=1（。＞〃＞。）

解：（1）設(shè)橢圓方程為〃一夕

又c=2,.?.。2=/_02=6,故橢圓方程為10+6

（2）法一：以左焦點為極點，耳鳥為極軸建立極坐標(biāo)系，

epa**2

p------------p------c

則橢圓的極坐標(biāo)方程為1-ecos6（e為離心率且c）.

設(shè)A（/?2，%+，），則慳娟，1一ecos。，巧"1+ecos。

|町|1+ecosO2]\MF\2\MF\

.田山1一ecos。1-ecos。即忻Hep

I惆2|"|i

同理，有怩卻ep

眼用」一用二21M用1121M周i=2（|M制+|g|）2=4C/2=4X102J4

?出A|優(yōu)卻epepepb263

2

cr

Fx=----M4

法二：設(shè)w,A,“在左準(zhǔn)線c上的射影分別為僅i,a,°,如下圖,

..\ME\..a2b2..|AE|

|A/A/j|=-----\F\Q\=-----c=—jAA，!=-----

RIRI

|訓(xùn)|M|+忻M廠生_回=但不用=為"

由相似形及和分比定理得|A片cec'c

\MF\[=2\MF\\_\MF2\2\MF2\

|M|-eb^_忸周一eb^_'

c,同理，得c

W\MF2\4014

-----1-----=S（|M耳1+網(wǎng)）-2=*-2=---2二——

I63

狗\BF2\

20,已知等差數(shù)列｛%｝中，%