四川省成都市龍泉驛區(qū)2023屆高三數(shù)學(xué)5月模擬考試試題（一）理

PAGE5-四川省成都市龍泉驛區(qū)2022屆高三數(shù)學(xué)5月模擬考試試題〔一〕理考前須知： 1．本試卷分第1卷〔選擇題〕和第二卷〔非選擇題〕兩局部．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試卷和答題卡相應(yīng)位置上． 2．答復(fù)第1卷時(shí)，選出每題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．寫在本試卷上無效． 3．答復(fù)第二卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效． 4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第一卷選擇題〔共60分〕一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的1．集合A＝{x|y＝lg(2x－x2)}，B＝{y|y＝2x，x>0}，R是實(shí)數(shù)集，那么(?RB)∩A等于A． B．(0,1]C．(－∞，0] D．以上都不對(duì)2.復(fù)數(shù)，假設(shè)為純虛數(shù)，那么的值為A.B.C.D.3．以下說法中，正確的選項(xiàng)是A．命題“假設(shè)am2＜bm2，那么a＜b〞的逆命題是真命題B．命題“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否認(rèn)是：“任意x∈R，x2﹣x≤C．命題“p或q〞為真命題，那么命題“p〞和命題“q〞均為真命題D．x∈R，那么“x＞1”是“x＞24.假設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d≠0，前n項(xiàng)和為Sn，假設(shè)?n∈N*，都有Sn≤S10，那么A．?n∈N*，都有an＜an﹣1 B．a(chǎn)9?a10＞0C．S2＞S17 D．S19≥05.某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為k∶5∶3，現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個(gè)容量為120的樣本，A種型號(hào)產(chǎn)品共抽取了24件，那么C種型號(hào)產(chǎn)品抽取的件數(shù)為A.24 B.30 C.36 D.406.一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如下圖.那么該幾何體的體積為A.eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)πB.eq\f(1,3)＋eq\f(\r(2),3)πC.eq\f(1,3)＋eq\f(\r(2),6)π D.1＋eq\f(\r(2),6)π7.實(shí)數(shù)滿足不等式組，那么的最大值為A.3B.5C.4D.68.執(zhí)行如下圖的程序框圖，假設(shè)輸出的n=6，那么輸入整數(shù)p的最小值是A．17B．16C．18D．199.設(shè)隨機(jī)變量～B〔2，p〕，η～B〔3，p〕，假設(shè)，那么P〔η≥2〕的值為A．B．C．D．10.函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?duì)任意，都有成立，那么不等式的解集為A． B． C． D．11.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，假設(shè)ac＝eq\f(1,4)b2，sinA＋sinC＝psinB，且B為銳角，那么實(shí)數(shù)p的取值范圍是A.(1，eq\r(2))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\r(2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\r(3)))D.(1，eq\r(3))12.中國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)〞，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個(gè)三角形，邊長(zhǎng)分別為，三角形的面積可由公式求得，其中為三角形周長(zhǎng)的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫-秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)滿足，那么此三角形面積的最大值為A.B.C.D.第二卷非選擇題〔共90分〕本卷包括必考題和選考題兩局部．第13～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22～23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．二、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分．把各題答案的最簡(jiǎn)形式寫在題中的橫線上．13.假設(shè)兩個(gè)非零向量滿足，那么向量的夾角為，.14．分別是內(nèi)角的對(duì)邊，，，那么面積的最大值為____________.15．tanα=3，那么sinαsin〔﹣α〕的值是．16.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸，B原料2噸，生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸，B原料3噸。銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)5萬元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)3萬元，該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸，B原料不超過18噸，那么該企業(yè)可獲得最大利潤(rùn)是萬元三、解答題:〔此題包括6小題，共70分。要求寫出證明過程或演算步驟〕17.〔本小題總分值10分〕在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足csinA＝acosC.(1)求角C的大??；(2)求eq\r(3)sinA－cos的最大值，并求取得最大值時(shí)角A，B的大?。?本小題總分值12分)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2.作如圖(2)折疊：折痕EF∥DC，其中點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后點(diǎn)P疊在線段AD上的點(diǎn)記為M，并且MF⊥CF.(1)證明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱錐M－CDE的體積.19.(本小題總分值12分)某保險(xiǎn)公司利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，對(duì)投保車輛進(jìn)行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：賠付金額(元)01000200030004000車輛數(shù)(輛)500130100150120(1)假設(shè)每輛車的投保金額均為2800元，估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率；(2)在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占20%，估計(jì)在已投保車輛中，新司機(jī)獲賠金額為4000元的概率.20．(本小題總分值12分)直線l的方程為y=x+2，點(diǎn)P是拋物線y2=4x上到直線l距離最小的點(diǎn)，點(diǎn)A是拋物線上異于點(diǎn)P的點(diǎn)，直線AP與直線l交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q與x軸平行的直線與拋物線y2=4x交于點(diǎn)B．〔Ⅰ〕求點(diǎn)P的坐標(biāo)；〔Ⅱ〕證明直線AB恒過定點(diǎn)，并求這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．21.(本小題總分值12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(a,ex).(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)假設(shè)a＝2，證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x>0，都有f(x)>e－x.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，那么按所做的第一題記分。作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)。22.〔本小題總分值10分〕【選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在極坐標(biāo)系中，曲線的方程為，點(diǎn)．以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系．〔1〕求直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；〔2〕假設(shè)直線與曲線交于、兩點(diǎn)，求的值．23．〔本小題總分值10分〕選修4－5：不等式選講．設(shè)函數(shù)f〔x〕=|x+1|+|2x﹣1|的最小值為a．〔1〕求a的值；〔2〕m，n＞0，m+n=a，求的最小值．

數(shù)學(xué)(理工類)參考答案1—5BDBDC6—10CBBDC11—12BA13.14.15.﹣16.2717.解：(1)由正弦定理得sinCsinA＝sinAcosC.因?yàn)?<A<π，所以sinA>0.從而sinC＝cosC.又cosC≠0，所以tanC＝1，那么C＝.(2)由(1)知，B＝－A，于是sinA－cos＝sinA－cos(π－A)＝sinA＋cosA＝2sin.因?yàn)?<A<，所以<A＋<.從而當(dāng)A＋＝，即A＝時(shí)，2sin取最大值2.綜上所述，sinA－cos的最大值為2，此時(shí)A＝，B＝.18.(1)證明∵PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PD⊥AD，又四邊形ABCD是矩形，∴CD⊥AD，∵PD?平面PCD，CD?平面PCD，且PD∩CD＝D，∴AD⊥平面PCD，∵CF?平面PCD，∴AD⊥CF，又MF⊥CF，MF∩AD＝M，∴CF⊥平面MDF.(2)解∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥CD，又CD＝AB＝1，PC＝2，∴PD＝eq\r(3).由(1)知CF⊥平面MDF，∴CF⊥DF.∴由S△PCD＝eq\f(1,2)PD×CD＝eq\f(1,2)PC×DF得DF＝eq\f(\r(3),2)，∴CF＝eq\r(CD2－DF2)＝eq\f(1,2)，∵EF∥CD，∴eq\f(DE,DP)＝eq\f(CF,CP)，∴DE＝eq\f(CF,CP)×DP＝eq\f(\r(3),4).∴S△CDE＝eq\f(1,2)CD×DE＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(3),4)＝eq\f(\r(3),8).∵AD⊥平面PCD，即MD⊥平面CDE，且ME＝PE＝PD－ED＝eq\f(3\r(3),4)，∴MD＝eq\r(ME2－ED2)＝eq\r(\f(27,16)－\f(3,16))＝eq\f(\r(6),2)，∴三棱錐M－CDE的體積為VM－CDE＝eq\f(1,3)S△CDE×MD＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),8)×eq\f(\r(6),2)＝eq\f(\r(2),16).19.解(1)設(shè)A表示事件“賠付金額為3000元〞，B表示事件“賠付金額為4000元〞，以頻率估計(jì)概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額對(duì)應(yīng)的情形是3000元和4000元，所以其概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機(jī)獲賠4000元〞，由，樣本車輛中車主為新司機(jī)的有0.1×1000＝100(輛)，而賠付金額為4000元的車輛中，車主為新司機(jī)的有0.2×120＝24(輛)，所以樣本車輛中新司機(jī)車主獲賠金額為4000元的頻率為eq\f(24,100)＝0.24，由頻率估計(jì)概率得P(C)＝0.24.20.解：〔Ⅰ〕設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔x0，y0〕，那么，所以，點(diǎn)P到直線l的距離．當(dāng)且僅當(dāng)y0=2時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為〔1，2〕．…〔Ⅱ〕設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，顯然y1≠2．當(dāng)y1=﹣2時(shí)，A點(diǎn)坐標(biāo)為〔1，﹣2〕，直線AP的方程為x=1；當(dāng)y1≠﹣2時(shí)，直線AP的方程為，化簡(jiǎn)得4x﹣〔y1+2〕y+2y1=0；綜上，直線AP的方程為4x﹣〔y1+2〕y+2y1=0．與直線l的方程y=x+2聯(lián)立，可得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為．因?yàn)?，BQ∥x軸，所以B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．因此，B點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)，即時(shí)，直線AB的斜率．所以直線AB的方程為，整理得．當(dāng)x=2，y=2時(shí)，上式對(duì)任意y1恒成立，此時(shí)，直線AB恒過定點(diǎn)〔2，2〕，當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為x=2，仍過定點(diǎn)〔2，2〕，故符合題意的直線AB恒過定點(diǎn)〔2，2〕．…21.(Ⅰ)定義域?yàn)閤>0，f′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(a,ex2)＝eq\f(ex－a,ex2)①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，②當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)＝0，有x＝eq\f(a,e)，xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,e)))eq\f(a,e)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,e)，＋∞))f′(x)－0＋f(x)極小值所以f(x)的單調(diào)減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,e)))，單調(diào)增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,e)，＋∞)).6分綜合①②，當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,e)))，單調(diào)增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,e)，＋∞)).(Ⅱ)要證明f(x)>e－x，即證明elnx＋eq\f(2,x)>eq\f(1,ex－1)，下面先證明：ex≥x＋1(x≥0)．構(gòu)造函數(shù)h(x)＝ex－(x＋1)(x≥0)，h′(x)＝ex－1.令h′(x)＝0得x＝0，當(dāng)x≥0時(shí)，h′(x)≥0即h(x)在10，＋∞)上單調(diào)遞增．∴h(x)＝ex－(x＋1)≥h(0)＝0.于是有ex>x＋1，x>0.∴當(dāng)x>0時(shí)，ex－1>x.從而eq\f(1,ex－1)<eq\f(1,x).9分接下來只需證：elnx＋eq\f(2,x)≥eq\f(1,x)，即證：elnx＋eq\f(1,x)≥0，令F(x)＝elnx＋eq\f(1,x)(x>0)，那么F′(x)＝eq\f(e,x)－eq\f(1,x2)＝eq\f(ex－1,x2)，所以F(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))上單調(diào)遞減，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))上單調(diào)遞增，即F(x)≥Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝0，∵x＝eq\f(1,e)時(shí)