2023版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量第2講空間幾何體的表面積與體積試題理新人教版

PAGEPAGE72022版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量第2講空間幾何體的外表積與體積試題理新人教版根底穩(wěn)固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1.(2022·全國(guó)Ⅰ卷)?九章算術(shù)?是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問(wèn)：積及為米幾何？〞其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少？〞1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有()A.14斛 B.22斛C.36斛 D.66斛解析設(shè)米堆的底面半徑為r尺，那么eq\f(π,2)r＝8，所以r＝eq\f(16,π).所以米堆的體積為V＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)π·r2·5＝eq\f(π,12)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,π)))eq\s\up12(2)·5≈eq\f(320,9)(立方尺).故堆放的米約有eq\f(320,9)÷1.62≈22(斛).答案B2.某幾何體的三視圖如下圖，且該幾何體的體積是3，那么正視圖中的x的值是()A.2 B.eq\f(9,2) C.eq\f(3,2) D.3解析由三視圖知，該幾何體是四棱錐，底面是直角梯形，且S底＝eq\f(1,2)(1＋2)×2＝3.∴V＝eq\f(1,3)x·3＝3，解得x＝3.答案D3.(2022·合肥模擬)一個(gè)四面體的三視圖如下圖，那么該四面體的外表積是()A.1＋eq\r(3) B.2＋eq\r(3) C.1＋2eq\r(2) D.2eq\r(2)解析四面體的直觀圖如下圖.側(cè)面SAC⊥底面ABC，且△SAC與△ABC均為腰長(zhǎng)是eq\r(2)的等腰直角三角形，SA＝SC＝AB＝BC＝eq\r(2)，AC＝2.設(shè)AC的中點(diǎn)為O，連接SO，BO，那么SO⊥AC，又SO?平面SAC，平面SAC∩平面ABC＝AC，∴SO⊥平面ABC，又BO?平面ABC，∴SO⊥BO.又OS＝OB＝1，∴SB＝eq\r(2)，故△SAB與△SBC均是邊長(zhǎng)為eq\r(2)的正三角形，故該四面體的外表積為2×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＋2×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝2＋eq\r(3).答案B4.(2022·全國(guó)Ⅱ卷)A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).假設(shè)三棱錐O－ABC體積的最大值為36，那么球O的外表積為()A.36π B.64π C.144π D.256π解析因?yàn)椤鰽OB的面積為定值，所以當(dāng)OC垂直于平面AOB時(shí)，三棱錐O－ABC的體積取得最大值.由eq\f(1,3)×eq\f(1,2)R2×R＝36，得R＝6.從而球O的外表積S＝4πR2＝144π.答案C5.(2022·青島模擬)如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為平行四邊形，NB＝2PN，那么三棱錐N－PAC與三棱錐D－PAC的體積比為()A.1∶2 B.1∶8C.1∶6 D.1∶3解析設(shè)點(diǎn)P，N在平面ABCD內(nèi)的投影分別為點(diǎn)P′，N′，那么PP′⊥平面ABCD，NN′⊥平面ABCD，所以PP′∥NN′，那么在△BPP′中，由BN＝2PN得eq\f(NN′,PP′)＝eq\f(2,3).V三棱錐N－PAC＝V三棱錐P－ABC－V三棱錐N－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·PP′－eq\f(1,3)S△ABC·NN′＝eq\f(1,3)S△ABC·(PP′－NN′)＝eq\f(1,3)S△ABC·eq\f(1,3)PP′＝eq\f(1,9)S△ABC·PP′，V三棱錐D－PAC＝V三棱錐P－ACD＝eq\f(1,3)S△ACD·PP′，又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴S△ABC＝S△ACD，∴eq\f(V三棱錐N－PAC,V三棱錐D－PAC)＝eq\f(1,3).應(yīng)選D.答案D二、填空題6.現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個(gè).假設(shè)將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè)，那么新的底面半徑為_(kāi)_______.解析設(shè)新的底面半徑為r，由題意得eq\f(1,3)πr2·4＋πr2·8＝eq\f(1,3)π×52×4＋π×22×8，解得r＝eq\r(7).答案eq\r(7)7.底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(2)的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，那么該球的體積為_(kāi)_______.解析依題意可知正四棱柱體對(duì)角線的長(zhǎng)度等于球的直徑，可設(shè)球半徑為R，那么2R＝eq\r(12＋12＋〔\r(2)〕2)＝2，解得R＝1，所以V＝eq\f(4π,3)R3＝eq\f(4π,3).答案eq\f(4,3)π8.(2022·鄭州質(zhì)檢)某幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的體積為_(kāi)_______.解析由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓柱和底面半徑為1，高為1的半圓錐拼成的組合體.∴體積V＝π×12×2＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(13,6)π.答案eq\f(13,6)π三、解答題9.一個(gè)幾何體的三視圖如下圖.(1)求此幾何體的外表積；(2)如果點(diǎn)P，Q在正視圖中所示位置，P為所在線段中點(diǎn)，Q為頂點(diǎn)，求在幾何體外表上，從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的最短路徑的長(zhǎng).解(1)由三視圖知該幾何體是由一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱組成的組合體，其外表積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和圓柱的一個(gè)底面積之和.S圓錐側(cè)＝eq\f(1,2)(2πa)·(eq\r(2)a)＝eq\r(2)πa2，S圓柱側(cè)＝(2πa)·(2a)＝4πa2，S圓柱底＝πa2，所以S表＝eq\r(2)πa2＋4πa2＋πa2＝(eq\r(2)＋5)πa2.(2)沿P點(diǎn)與Q點(diǎn)所在母線剪開(kāi)圓柱側(cè)面，如圖.那么PQ＝eq\r(AP2＋AQ2)＝eq\r(a2＋〔πa〕2)＝aeq\r(1＋π2)，所以從P點(diǎn)到Q點(diǎn)在側(cè)面上的最短路徑的長(zhǎng)為aeq\r(1＋π2).10.(2022·全國(guó)Ⅱ卷)如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形.(1)在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形(不必說(shuō)明畫(huà)法和理由)；(2)求平面α把該長(zhǎng)方體分成的兩局部體積的比值.解(1)交線圍成的正方形EHGF如下圖.(2)如圖，作EM⊥AB，垂足為M，那么AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因?yàn)樗倪呅蜤HGF為正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝eq\r(EH2－EM2)＝6，AH＝10，HB＝6.故S四邊形A1EHA＝eq\f(1,2)×(4＋10)×8＝56，S四邊形EB1BH＝eq\f(1,2)×(12＋6)×8＝72.因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面α分成兩個(gè)高為10的直棱柱，所以其體積的比值為eq\f(9,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)也正確)).能力提升題組(建議用時(shí)：20分鐘)11.假設(shè)某一幾何體的正視圖與側(cè)視圖均為邊長(zhǎng)是1的正方形，且其體積為eq\f(1,2)，那么該幾何體的俯視圖可以是()解析假設(shè)俯視圖為A，那么該幾何體為正方體，其體積為1，不滿(mǎn)足條件.假設(shè)俯視圖為B，那么該幾何體為圓柱，其體積為πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×1＝eq\f(π,4)，不滿(mǎn)足條件.假設(shè)俯視圖為C，那么該幾何體為三棱柱，其體積為eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,2)，滿(mǎn)足條件.假設(shè)俯視圖為D，那么該幾何體為圓柱的eq\f(1,4)，體積為eq\f(1,4)π×1＝eq\f(π,4)，不滿(mǎn)足條件.答案C12.(2022·全國(guó)Ⅰ卷)圓柱被一個(gè)平面截去一局部后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如下圖.假設(shè)該幾何體的外表積為16＋20π，那么r＝()A.1 B.2 C.4 D.8解析該幾何體是一個(gè)半球與一個(gè)半圓柱的組合體，球的半徑為r，圓柱的底面半徑為r，高為2r，如圖.那么外表積S＝eq\f(1,2)×4πr2＋πr2＋(2r)2＋πr·2r＝(5π＋4)r2，又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，解得r＝2.答案B13.圓錐被一個(gè)平面截去一局部，剩余局部再被另一個(gè)平面截去一局部后，與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如下圖，假設(shè)r＝1，那么該幾何體的體積為_(kāi)_______.解析根據(jù)三視圖中的正視圖和俯視圖知，該幾何體是由一個(gè)半徑r＝1的半球，一個(gè)底面半徑r＝1、高2r＝2的eq\f(1,4)圓錐組成的，那么其體積為V＝eq\f(4,3)πr3×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)πr2×2r×eq\f(1,4)＝eq\f(5π,6).答案eq\f(5π,6)14.四面體ABCD及其三視圖如下圖，平行于棱AD，BC的平面分別交四面體的棱AB，BD，DC，CA于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H.(1)求四面體ABCD的體積；(2)證明：四邊形EFGH是矩形.(1)解由該四面體的三視圖可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，又BD∩DC＝D，∴