（江蘇專用）2023版高考數(shù)學大一輪復習第十四章選考部分14.1幾何證明選講第1課時相似三角形的進一步認識教師用書理蘇教版

PAGEPAGE11第1課時相似三角形的進一步認識1．平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在任一條(與這組平行線相交的)直線上截得的線段也相等．推論1：經過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰．推論2：經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊．2．平行線分線段成比例定理兩條直線與一組平行線相交，它們被這組平行線截得的對應線段成比例．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例．3．相似三角形的判定及性質(1)判定定理：內容判定定理1兩角對應相等的兩個三角形相似判定定理2兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似判定定理3三邊對應成比例的兩個三角形相似(2)性質定理：相似三角形的對應線段的比等于相似比，面積比等于相似比的平方．4．直角三角形的射影定理直角三角形一條直角邊的平方等于該直角邊在斜邊上的射影與斜邊的乘積，斜邊上的高的平方等于兩條直角邊在斜邊上射影的乘積．1．(2022·南京模擬)如圖，在四邊形ABCD中，△ABC≌△BAD.求證：AB∥CD.證明由△ABC≌△BAD得∠ACB＝∠BDA，故A，B，C，D四點共圓，從而∠CAB＝∠CDB.由△ABC≌△BAD得∠CAB＝∠DBA，因此∠DBA＝∠CDB，所以AB∥CD.2．如圖，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，求EC的長度．解在Rt△ADB中，DB＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(7)，依題意得，△ADB∽△ACE，∴eq\f(DB,EC)＝eq\f(AD,AC)，可得EC＝eq\f(DB·AC,AD)＝2eq\r(7).3．(2022·鎮(zhèn)江模擬)如圖，在△ABC中，D是AC的中點，E是BD的中點，AE交BC于點F，求eq\f(BF,FC)的值．解如圖，過點D作DG∥AF，交BC于點G，易得FG＝GC，又在△BDG中，BE＝DE，即EF為△BDG的中位線，故BF＝FG，因此eq\f(BF,FC)＝eq\f(1,2).題型一平行截割定理的應用例1如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD交于點O，過點O作AB的平行線，與AD，BC分別交于點E，F(xiàn)，與CD的延長線交于點K.求證：KO2＝KE·KF.證明延長CK，BA，設它們交于點H，因為KO∥HB，所以eq\f(KO,HB)＝eq\f(DK,DH)，eq\f(KE,HA)＝eq\f(DK,DH).因此eq\f(KO,HB)＝eq\f(KE,HA)，即eq\f(KO,KE)＝eq\f(HB,HA).因為KF∥HB，同理可得eq\f(KF,KO)＝eq\f(HB,HA).故eq\f(KO,KE)＝eq\f(KF,KO)，即KO2＝KE·KF.思維升華當條件中給出平行線時，應優(yōu)先考慮平行線分線段成比例定理，在有關比例的計算與證明題中，常結合平行線分線段成比例定理構造平行線解題．作平行線常用的方法有利用中點作中位線，利用比例線段作平行線等．(1)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD與AC相交于點O，過點O的直線分別交AB，CD于E，F(xiàn)，且EF∥BC，假設AD＝12，BC＝20，求EF的長度．(2)如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，假設BC＝3，DE＝2，DF＝1，求AB的長．解(1)∵AD∥BC，∴eq\f(OB,OD)＝eq\f(BC,AD)＝eq\f(20,12)＝eq\f(5,3)，∴eq\f(OB,BD)＝eq\f(5,8).∵OE∥AD，∴eq\f(OE,AD)＝eq\f(OB,BD)＝eq\f(5,8).∴OE＝eq\f(5,8)AD＝eq\f(5,8)×12＝eq\f(15,2)，同理可求得OF＝eq\f(3,8)BC＝eq\f(3,8)×20＝eq\f(15,2)，∴EF＝OE＋OF＝15.(2)∵DE∥BC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)＝eq\f(2,3)，eq\f(EC,AC)＝eq\f(1,3).又∵EF∥CD，∴eq\f(DF,AD)＝eq\f(EC,AC)＝eq\f(1,3).∴AD＝3.∴AB＝eq\f(3,2)AD＝eq\f(9,2).題型二相似三角形的判定與性質例2(2022·江蘇)如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，D為垂足，E是BC的中點，求證：∠EDC＝∠ABD.證明由BD⊥AC，可得∠BDC＝90°，由E為BC中點，可得DE＝CE＝eq\f(1,2)BC，那么∠EDC＝∠C，由∠BDC＝90°，得∠C＋∠DBC＝90°，又∠ABC＝90°，那么∠ABD＋∠DBC＝90°，∴∠ABD＝∠C，又∵∠EDC＝∠C，∴∠EDC＝∠ABD.思維升華(1)判定兩個三角形相似要注意結合圖形的性質特點，靈活選擇判定定理．在一個題目中，相似三角形的判定定理和性質定理可能屢次用到．(2)相似三角形的性質可用來證明線段成比例、角相等，也可間接證明線段相等．(1)如圖，AB與CD相交于點E，過E作BC的平行線與AD的延長線相交于點P.∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，求PE的長．(2)如圖，四邊形ABCD中，DF⊥AB，垂足為F，DF＝3，AF＝2FB＝2，延長FB到E，使BE＝FB，連結BD，EC.假設BD∥EC，求四邊形ABCD的面積．解(1)∵BC∥PE，∴∠PED＝∠C＝∠A，∴△PDE∽△PEA，∴eq\f(PE,PA)＝eq\f(PD,PE)，那么PE2＝PA·PD，又∵PD＝2DA＝2，∴PA＝PD＋DA＝3.∴PE＝eq\r(PA·PD)＝eq\r(6).(2)如圖，過點E作EN⊥DB交DB的延長線于點N，在Rt△DFB中，DF＝3，F(xiàn)B＝1，那么BD＝eq\r(10)，由Rt△DFB∽Rt△ENB，知eq\f(EN,DF)＝eq\f(BE,BD)，所以EN＝eq\f(3\r(10),10)，又BD∥EC，所以EN為△BCD底邊BD上的高，故S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝eq\f(1,2)AB·DF＋eq\f(1,2)BD·EN＝eq\f(1,2)×3×3＋eq\f(1,2)×eq\r(10)×eq\f(3\r(10),10)＝6.題型三射影定理的應用例3(2022·蘇州調研)如圖，在△ABC中，D、F分別在AC、BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求AC的長．解在△ABC中，設AC為x，∵AB⊥AC，AF⊥BC.又FC＝1，根據(jù)射影定理，得AC2＝FC·BC，即BC＝x2.再由射影定理，得AF2＝BF·FC＝(BC－FC)·FC，即AF2＝x2－1，∴AF＝eq\r(x2－1).在△BDC中，過D作DE⊥BC于E.∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC＝eq\f(1,2)x2.又∵AF⊥BC，∴DE∥AF，∴eq\f(DE,AF)＝eq\f(DC,AC)，∴DE＝eq\f(DC·AF,AC)＝eq\f(\r(x2－1),x).在Rt△DEC中，∵DE2＋EC2＝DC2，即(eq\f(\r(x2－1),x))2＋(eq\f(1,2)x2)2＝12，∴eq\f(x2－1,x2)＋eq\f(x4,4)＝1.整理得x6＝4，∴x＝eq\r(3,2)，即AC＝eq\r(3,2).思維升華(1)在使用直角三角形射影定理時，要學會將“乘積式〞轉化為相似三角形中的“比例式〞．(2)證題時，作垂線構造直角三角形是解直角三角形常用的方法．(1)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且AD∶BD＝9∶4，求AC∶BC.(2)圓的直徑AB＝13，C為圓上一點，過C作CD⊥AB于D(AD>BD)，假設CD＝6，求AD的長．解(1)∵AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴AC2∶BC2＝AD∶BD＝9∶4，∴AC∶BC＝3∶2.(2)如圖，連結AC，CB，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.設AD＝x，∵CD⊥AB于D，∴由射影定理得CD2＝AD·DB，即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9.∵AD>BD，∴AD＝9.1．(2022·蘇州一模)如圖，△OAB是等腰三角形，P是底邊AB延長線上一點，且PO＝3，PA·PB＝4，求腰長OA的長度．解如圖，作OD⊥AP，垂足為D，那么PO2－PD2＝OB2－BD2，所以PO2－OB2＝PD2－BD2，因為AD＝BD，所以PD2－BD2＝PD2－AD2＝(PD＋AD)(PD－AD)＝PA·PB＝4，所以PO2－OB2＝4，所以OB2＝9－4＝5，所以OB＝eq\r(5)，所以OA＝eq\r(5).2．(2022·徐州模擬)如圖，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，求AE的長．解由于∠ACD＝∠AEB＝90°，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(AE,AC).又AC＝4，AD＝12，AB＝6，∴AE＝eq\f(AB·AC,AD)＝eq\f(6×4,12)＝2.3.如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高，假設AB∶AC＝2∶1，求AD∶BC.解設AC＝k，那么AB＝2k，BC＝eq\r(5)k，∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴AC2＝CD·BC，∴k2＝CD·eq\r(5)k，∴CD＝eq\f(\r(5),5)k，又BD＝BC－CD＝eq\f(4\r(5),5)k，∴AD2＝CD·BD＝eq\f(\r(5),5)k·eq\f(4\r(5),5)k＝eq\f(4,5)k2，∴AD＝eq\f(2\r(5),5)k，∴AD∶BC＝2∶5.4．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3，求△ACD與△CBD的相似比．解如下圖，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得：CD2＝AD·BD，又∵AD∶BD＝2∶3，令AD＝2x.那么BD＝3x(x>0)，∴CD2＝6x2，∴CD＝eq\r(6)x.又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ACD∽△CBD.易知△ACD與△CBD的相似比為eq\f(AD,CD)＝eq\f(2x,\r(6)x)＝eq\f(\r(6),3).即相似比為eq\r(6)∶3.5．如下圖，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于點D，BE是∠ABC的角平分線，交AD于點F，求證：eq\f(DF,AF)＝eq\f(AE,EC).證明∵BE是∠ABC的角平分線，∴eq\f(DF,AF)＝eq\f(BD,AB)， ①eq\f(AE,EC)＝eq\f(AB,BC). ②在Rt△ABC中，由射影定理知，AB2＝BD·BC，即eq\f(BD,AB)＝eq\f(AB,BC). ③由①③得eq\f(DF,AF)＝eq\f(AB,BC)， ④由②④得eq\f(DF,AF)＝eq\f(AE,EC).6.如下圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是BC的中點，CN⊥AM，垂足是N，求證：AB·BM＝AM·BN.證明∵CM2＝MN·AM，又∵M是BC的中點，∴BM2＝MN·AM，∴eq\f(BM,AM)＝eq\f(MN,BM)，又∵∠BMN＝∠AMB，∴△AMB∽△BMN，∴eq\f(AB,BN)＝eq\f(AM,BM)，∴AB·BM＝AM·BN.7.如下圖，平行四邊形ABCD中，E是CD延長線上的一點，BE與AD交于點F，DE＝eq\f(1,2)CD.(1)求證：△ABF∽△CEB；(2)假設△DEF的面積為2，求平行四邊形ABCD的面積．(1)證明∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，AB∥CD.∴∠ABF＝∠CEB.∴△ABF∽△CEB.(2)解∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD.∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.∵DE＝eq\f(1,2)CD，∴eq\f(S△DEF,S△CEB)＝(eq\f(DE,CE))2＝eq\f(1,9)，eq\f(S△DEF,S△ABF)＝(eq\f(DE,AB))2＝eq\f(1,4).∵S△DEF＝2，∴S△CEB＝18，S△ABF＝8.∴S四邊形BCDF＝S△CEB－S△DEF＝16.∴S四邊形ABCD＝S四邊形BCDF＋S△ABF＝16＋8＝24.8.如圖，在平行四邊形ABCD中，過點B作BE⊥CD，垂足為E，連結AE，F(xiàn)為AE上一點，且∠BFE＝∠C.(1)求證：△ABF∽△EAD.(2)假設∠BAE＝30°，AD＝3，求BF的長．(1)證明∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AED.又∵∠BFE＝∠C，∠BFE＋∠BFA＝∠C＋∠ADE，∴∠BFA＝∠ADE.∴△ABF∽△EAD.(2)解∵∠BAE＝30°，∴∠AEB＝60°，∴eq\f(AB,AE)＝sin60°＝eq\f(\r(3),2)，又△ABF∽△EAD，∴eq\f(BF,AD)＝eq\f(AB,AE)，∴BF＝eq\f(AB,AE)·AD＝eq\f(3\r(3),2).9.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E、F分別是AB、BC的中點，EF與BD相交于點M.(1)求證：△EDM∽△FBM；(2)假設DB＝9，求BM.(1)證明∵E是AB的中點，∴AB＝2EB.∵AB＝2CD，∴CD＝EB.又∵AB∥CD，∴四邊形CBED是平行四邊形．∴CB∥DE，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠DEM＝∠BFM，,∠EDM＝∠FBM，))∴△EDM∽△FBM.(2)解∵△EDM∽△FBM，∴eq\f(DM,BM)＝eq\f(DE,BF).∵F是BC的中點，∴DE＝2BF.∴DM＝2BM，∴BM＝eq\f(1,3)DB＝3.10．如圖