高考數學一輪復習專題三函數的概念性質與基本初等函數8函數模型及函數的綜合應用綜合集訓含解析新人教A版

PAGEPAGE12函數模型及函數的綜合應用基礎篇【基礎集訓】考點函數模型及函數的綜合應用1.某市生產總值連續(xù)兩年持續(xù)增加,第一年的增長率為p,第二年的增長率為q,則該市這兩年生產總值的年平均增長率為 ()A.p+q2B.(p+1)(答案D2.(2021屆江蘇蘇州開學初調研)大西洋鮭魚每年都要逆流而上,游回到自己出生的淡水流域產卵,記鮭魚的游速為v(單位:m/s),鮭魚的耗氧量的單位數為Q.科學研究發(fā)現v與log3Q100成正比,當v=1m/s時,鮭魚的耗氧量的單位數為900.當v=2m/s時,其耗氧量的單位數為 (A.1800B.2700C.7290D.8100答案D3.某校學生社團心理學研究小組在對學生上課注意力集中情況的調查研究中,發(fā)現其注意力指數p與聽課時間t之間的關系滿足如圖所示的曲線.當t∈(0,14]時,曲線是二次函數圖象的一部分,當t∈(14,40]時,曲線是函數y=loga(t-5)+83(a>0且a≠1)圖象的一部分.根據專家研究,當注意力指數p大于等于80時聽課效果最佳.(1)試求p=f(t)的函數關系式;(2)老師在什么時段內安排核心內容能使得學生聽課效果最佳?請說明理由.[教師專用題組]【基礎集訓】考點函數模型及函數的綜合應用1.動點P從點A出發(fā),按逆時針方向沿周長為l的平面圖形運動一周,A,P兩點間的距離y與動點P所走過的路程x的關系如圖所示,則動點P所走的圖形可能是 ()答案D對于A,當點P在邊AB上運動時,y=x,不符合題意;對于B,在橢圓中,y與x的函數關系的圖象不是對稱的,不符合題意;對于C,當點P在邊AB上運動時,y=x,不符合題意;對于D,當點P運動到AP是直徑時,y最大,此時,x=l2,符合題意.故選2.(2019北京牛欄山一中期中,8)在股票買賣過程中,經常會用各種曲線來描述某一只股票的變化趨勢,其中一種曲線是即時價格曲線y=f(x),一種曲線是平均價格曲線y=g(x).例如:f(2)=3表示開始交易后2小時的即時價格為3元,g(2)=4表示開始交易后2小時內所有成交股票的平均價格為4元.下列四個圖中,實線表示y=f(x),虛線表示y=g(x).其中可能正確的是 ()答案B剛開始交易時,即時價格和平均價格應該相等,故A錯誤;開始交易后,平均價格應該跟隨即時價格變動,即時價格與平均價格同增同減,且平均價格在任何時刻的變化幅度應該小于即時價格的變化幅度,當即時價格最低時,平均價格還沒有達到最低值,平均價格的最小值大于即時價格的最小值,故C、D均錯誤,只有選項B滿足條件,故選B.評析考查函數的實際應用問題,要求學生學知識要學活,不能“僵化”的學習.本題同時重點考查識圖、認圖的能力.3.(2019北京八中10月月考,5)調查表明,酒后駕駛是導致交通事故的主要原因,交通法規(guī)規(guī)定:駕駛員在駕駛機動車時血液中酒精含量不得超過0.02mg/ml.如果某人喝了少量酒后,血液中酒精含量迅速上升到0.3mg/ml,在停止喝酒后,血液中酒精含量以每小時50%的速度減少,他至少要經過小時才可以駕駛機動車(精確到小時) ()

A.1B.2C.4D.6答案C設n小時后才可以駕駛機動車,由題意得0.3(1-50%)n≤0.02,∴12n≤115,∴n≥4,即至少要經過4小時后才可以駕駛機動車.4.(2019陜西第一次模擬聯考,16)定義在實數集R上的奇函數f(x)滿足f(x+2)+f(x)=0,且當x∈(0,1]時,f(x)=x,則下列四個命題中,正確的是(填序號).

①f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)=0;②方程f(x)=log5|x|有5個根;③f(x)=x④函數y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱.答案①②③④解析定義在實數集R上的奇函數f(x)滿足f(x+2)+f(x)=0,可得f(x+2)=-f(x)=f(-x),即有函數f(x)的圖象關于直線x=1對稱,故④正確;又f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故可得f(x)的周期為4,由x∈(0,1]時,f(x)=x,可得f(1)=1,又f(0)=0,f(2)=0,f(3)=-f(1)=-1,f(4)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)=504×(1+0-1+0)+1+0-1=0,故①正確;當x∈[-1,0)時,-x∈(0,1],所以f(-x)=-x=-f(x),故f(x)=x(-1≤x<0),所以f(x)=x(-1≤x≤1),由f(x)的圖象關于直線x=1對稱可得f(x)=2-x(1≤x≤3),如圖,作出y=f(x)的圖象和y=log5|x|的圖象,可得它們有五個交點,即方程f(x)=log5|x|有5個根,故②正確;由f(x)的周期為4,且-1≤x≤1時,f(x)=x,1≤x≤3時,f(x)=2-x,可得當-1+4k≤x≤4k+1,k∈Z時,f(x)=x-4k,1+4k≤x≤4k+3,k∈Z時,f(x)=2-x+4k,故③正確.故答案為①②③④.5.(1)某人根據經驗繪制了2019年春節(jié)前后,從12月21日至1月8日自己種植的西紅柿的銷售量y(千克)隨時間x(天)變化的函數圖象,如圖所示,則此人在12月26日大約賣出了西紅柿千克.

(2)牧場中羊群的最大蓄養(yǎng)量為m只,為保證羊群的生長空間,實際蓄養(yǎng)量不能達到最大蓄養(yǎng)量,必須留出適當的空閑量.已知羊群的年增長量y只和實際蓄養(yǎng)量x只與空閑率的乘積成正比,比例系數為k(k>0).①寫出y關于x的函數關系式,并指出這個函數的定義域;②求羊群年增長量的最大值;③當羊群的年增長量達到最大值時,求k的取值范圍.答案(1)190解析(1)前10天滿足一次函數關系,設為y=kx+b,k≠0,將點(1,10)和點(10,30)代入函數解析式得10=k+b,30=10k+b,解得k=209,b=709,所以y=209x(2)①根據題意,由于最大蓄養(yǎng)量為m只,實際蓄養(yǎng)量為x只,則蓄養(yǎng)率為xm,故空閑率為1-xm,由此可得y=kx1-xm②由①,得y=-km(x2-mx)=-kmx即當x=m2時,y取得最大值km③由題意知為給羊群留有一定的生長空間,則有實際蓄養(yǎng)量與年增長量的和小于最大蓄養(yǎng)量,即0<x+y<m.因為當x=m2時,ymax=km4,所以0<m2+km4<m,解得-2<k<2.又因為k>0,所以綜合篇【綜合集訓】考法一解函數應用題的方法1.(2019河南鄭州模擬,7)某電動汽車“行車數據”的兩次記錄如下表:記錄時間累計里程(單位:千米)平均耗電量(單位:kW·h/千米)剩余續(xù)航里程(單位:千米)2019年1月1日40000.1252802019年1月2日41000.126146注:累計里程指汽車從出廠開始累計行駛的路程,累計耗電量指汽車從出廠開始累計消耗的電量,平均耗電量=累計耗電量累計里程,剩余續(xù)航里程=剩余電量平均耗電量下面對該車在兩次記錄時間段內行駛100千米的耗電量估計正確的是 ()A.等于12.5B.在12.5到12.6之間C.等于12.6D.大于12.6答案D2.(2021屆湖南9月份百校聯考,8)太陽是位于太陽系中心的恒星,其質量M大約是2×1030千克,地球是太陽系八大行星之一,其質量m大約是6×1024千克.下列各數中與mM最接近的是(參考數據:lg3≈0.4771,lg6≈0.7782) (A.10-5.519B.10-5.521C.10-5.523D.10-5.525答案C3.(2020河南南陽一中第一次月考,22)某廠生產某種產品的年固定成本為250萬元,每生產x千件,需另投入成本為C(x)萬元,當年產量不足80千件時,C(x)=13x2+10x;當年產量不小于80千件時,C(x)=51x+10000x-1450.每件商品的售價為0.05萬元.通過市場分析,(1)寫出年利潤L(x)(萬元)關于年產量x(千件)的函數解析式;(2)年產量為多少千件時,該廠在這一產品的生產中所獲利潤最大,最大利潤是多少?考法二函數的綜合應用4.(多選題)(2021屆廣東云浮郁南蔡朝焜紀念中學9月月考,11)下列函數中,既是奇函數又在區(qū)間(0,1)上單調遞增的是 ()A.y=2x3+4xB.y=x+sin(-x)C.y=log2|x|D.y=2x+2-x答案AB5.(2019福建漳州模擬,16)中國傳統文化中很多內容體現了數學的對稱美,如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案,充分展現了相互轉化、對稱統一的形式美、和諧美.給出定義:能夠將圓的周長和面積同時平分的圖象對應的函數稱為這個圓的“優(yōu)美函數”,給出下列命題:①對于任意一個圓O,其“優(yōu)美函數”有無數個;②函數f(x)=ln(x2+x2+1)③函數y=1+sinx可以同時是無數個圓的“優(yōu)美函數”;④函數y=2x+1可以同時是無數個圓的“優(yōu)美函數”;⑤函數y=f(x)是“優(yōu)美函數”的充要條件為函數y=f(x)的圖象是中心對稱圖形.其中正確的命題是.

答案①③④[教師專用題組]【綜合集訓】考法一解函數應用題的方法1.(2020北京延慶一模,9)某企業(yè)生產A,B兩種型號的產品,每年的產量分別為10萬支和40萬支,為了擴大再生產,決定對兩種產品的生產線進行升級改造,預計改造后的A,B兩種產品的年產量的增長率分別為50%和20%,那么至少經過多少年后,A產品的年產量會超過B產品的年產量?(取lg2=0.3010)()A.6年B.7年C.8年D.9年答案B本題考查函數的實際應用問題,考查學生靈活運用所學的函數知識分析、解決問題的能力,滲透數學建模與數學運算的核心素養(yǎng),體現數學應用性的特點.A型號的產品年產量為10萬支,年產量的增長率為50%,經過n年后產量為10(1+50%)n萬支,B型號的產品年產量為40萬支,年產量的增長率為20%,經過n年后產量為40(1+20%)n萬支,A產品的年產量超過B產品的年產量,則有10(1+50%)n>40(1+20%)n,整理得nlg5>(n+1)lg4,解得n>6,因而經過7年后,A產品的年產量超過B產品的年產量,故選B.2.(2020四川綿陽模擬,8)2020年3月,國內新冠肺炎疫情得到有效控制,人們開始走出家門享受春光.某旅游景點為吸引游客,推出團體購票優(yōu)惠方案如表:購票人數1~5051~100100以上門票價格13元/人11元/人9元/人兩個旅游團隊計劃游覽該景點,若分別購票,則共需支付門票費1290元;若合并成一個團隊購票,則需支付門票費990元,那么這兩個旅游團隊的人數之差為 ()A.20B.30C.35D.40答案B設兩個旅游團隊的人數分別為a,b,且a,b∈N*,不妨令a≥b.∵1290不能被13整除,∴a+b≥51.若51≤a+b≤100,則11(a+b)=990,得a+b=90,①由共需支付門票費為1290元可知,11a+13b=1290,②聯立①②解得b=150,a=-60,不符合題意;若a+b>100,則9(a+b)=990,得a+b=110,③由共需支付門票費為1290元可知,1≤b≤50,51≤a≤100,得11a+13b=1290,④聯立③④解得a=70,b=40.∴這兩個旅游團隊的人數之差為70-40=30.故選B.3.(2020江西南昌模擬,7)衡東土菜辣美鮮香,享譽三湘.某衡東土菜館為實現100萬元年經營利潤目標,擬制訂員工的獎勵方案:在經營利潤超過6萬元的前提下獎勵,且獎金y(單位:萬元)隨經營利潤x(單位:萬元)的增加而增加,但獎金總數不超過3萬元,同時獎金不能超過利潤的20%.下列函數模型中,符合該要求的是 ()(參考數據:1.015100≈4.432,lg11≈1.041)A.y=0.04xB.y=1.015x-1C.y=tanx19-1D.y=log11答案D本題結合現實生活情境,考查了函數模型的應用,考查了數學建模的核心素養(yǎng).對于函數y=0.04x,當x=100時,y=4>3,不符合題意;對于函數y=1.015x-1,當x=100時,y=3.432>3,不符合題意;對于函數y=tanx19-1,不滿足在x∈(6,100]上遞增,不符合題意;對于函數y=log11(3x-10),滿足在x∈(6,100]上是增函數,且y≤log11(3×100-10)=log11290<log111331=3,畫出y=15x與y=log11(3x-10)的圖象如圖所示,符合題意4.(2017北京房山一模,14)《中華人民共和國個人所得稅法》規(guī)定:從2011年9月1日開始,個人所得稅起征點由原來的2000元提高到3500元,也就是說原來月收入超過2000元的部分需要納稅,從2011年9月1日開始,超過3500元的部分需要納稅,若稅法修改前后超過部分的稅率相同,按下表分段計稅:級數全月應納稅所得額稅率(%)1不超過1500元的部分32超過1500元不超過4500元的部分103超過4500元不超過9000元的部分20某職工2011年5月繳納個人所得稅295元,在收入不變的情況下,2011年10月該職工需繳納個人所得稅元.

答案145解析調整前,月收入為2000+1500=3500元時,需納稅1500×0.03=45元,月收入為3500+3000=6500元時,需納稅45+3000×0.1=345元,∵45<295<345,∴該職工的月收入超過3500元且不超過6500元,∴該職工在超過1500元不超過4500元的部分納稅295-45=250元,故超過1500不超過4500元的部分為250÷0.1=2500元,∴該職工的月收入為3500+2500=6000元.∴2011年10月該職工需繳納個人所得稅1500×0.03+(6000-3500-1500)×0.1=145元.5.(2016北京西城期末,14)某食品的保鮮時間t(單位:小時)與儲藏溫度x(單位:℃)滿足函數關系t=64,x≤0,2kx已知甲在某日上午10時購買了該食品,并將其遺放在室外,且此日的室外溫度隨時間的變化如圖所示.給出以下四個結論:①該食品在6℃的保鮮時間是8小時;②當x∈[-6,6]時,該食品的保鮮時間t隨著x增大而逐漸減少;③到了此日13時,甲所購買的食品還在保鮮時間內;④到了此日14時,甲所購買的食品已然過了保鮮時間.其中,所有正確結論的序號是.

答案①④解析∵該食品的保鮮時間t(單位:小時)與儲藏溫度x(單位:℃)滿足函數關系t=64且該食品在4℃的保鮮時間是16小時,∴24k+6=16,即4k+6=4,解得k=-12,∴t=當x=6時,t=8,故①該食品在6℃的保鮮時間是8小時,正確;②當x∈[-6,0]時,保鮮時間恒為64小時,當x∈(0,6]時,該食品的保鮮時間t隨著x的增大而逐漸減小,故錯誤;③到了此日10時,溫度超過8℃,此時保鮮時間不超過4小時,故到了此日13時,甲所購買的食品不在保鮮時間內,故錯誤;④到了此日14時,甲所購買的食品已然過了保鮮時間,故正確.故正確結論的序號為①④.考法二函數的綜合應用1.(2017四川綿陽一診,9)已知定義在[0,+∞)上的函數f(x)滿足f(x+1)=2f(x),當x∈[0,1)時,f(x)=-x2+x,設f(x)在[n-1,n)上的最大值為an(n∈N*),則a3+a4+a5= ()A.7B.78C.54答案A由題意知,當x∈[0,1)時,f(x)=-x2+x=-x-122+14;當x∈[1,2)時,x-1∈[0,1),f(x)=2f(x-1)=-2(x-1)2+2(x-1)=-2x-322+12,由函數的圖象與性質可知,f(x)在[1,2)上的圖象可由f(x)在[0,1)上的圖象向右平移一個單位長度,并沿y軸正方向向上拉伸為原來的2倍得到,以此類推,再根據f(x)在[n-1,n)上的最大值為an(n∈N*),結合圖象,可知{an}是以14為首項,2為公比的等比數列,所以a3+a4+a5=1+2+4=7.故選A2.(2019山西呂梁模擬,12)記函數f(x)=12|x-1|+cosπx在區(qū)間(-2,4)上的零點分別為x=xi(i=1,2,…,n),則∑A.5B.6C.7D.8答案C由f(x)=12|x-1|+cosπx=0得-12|x-1|=cosπx,設g(x)=-12|x-1|,h(x)=cosπx,則g(x)的圖象關于直線x=1對稱,h(x)的圖象也關于直線x=1對稱,作出兩個函數的圖象,如圖,由圖象知在(-2,4)上兩個函數圖象有7個交點,其中6個交點兩兩關于直線x=1對稱,第7個交點的橫坐標為1,設關于直線x=1對稱的6個交點的橫坐標從小到大為a,b,c,d,3.(多選題)有一組實驗數據如下表所示:x12345y1.55.913.424.137則下列所給函數模型較不適合的是 ()A.y=logax(a>1)B.y=ax+b(a>1)C.y=ax2+b(a>0)D.y=logax+b(a>1)答案ABD由所給數據可知y隨x的增大而增大,且增長速度越來越快,而A,D中的函數的增長速度越來越慢,B中的函數增長速度保持不變.故選ABD.4.(多選題)某單位準備印制一批證書,現有兩個印刷廠可供選擇,甲廠費用分為制版費和印刷費兩部分,先收取固定的制版費,再按印刷數量收取印刷費,乙廠直接按印刷數量收取印刷費,甲廠的總費用y1(千元),乙廠的總費用y2(千元)與印制證書數量x(千個)的函數關系圖象分別如圖中甲、乙所示,則 ()A.甲廠的制版費為1千元,印刷費平均每個為0.5元B.甲廠的總費用y1與印制證書數量x之間的函數關系式為y1=0.5x+1C.當印制證書數量不超過2千個時,乙廠的印刷費平均每個為1.5元D.當印制證書數量超過2千個時,乙廠的總費用y2與印制證書數量x之間的函數關系式為y2=14x+E.若該單位需印制證書數量為8千個,則該單位選擇甲廠更節(jié)省費用答案ABCD由題圖知甲廠的制版費為1千元,印刷費平均每個為0.5元,故A正確;甲廠的總費用y1與印制證書數量x滿足的函數關系式為y1=0.5x+1,故B正確;當印制證書數量不超過2千個時,乙廠的印刷費平均每個為3÷2=1.5