知識(shí)點(diǎn)30直角三角形勾股定理2022

第一批一、選擇題10．（2022·濱州）滿足下列條件時(shí)，△ABC不是直角三角形的為（）A．AB＝，BC＝4，AC＝5 B．AB：BC：AC＝3：4：5 C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．＝0【答案】C【解析】A中，∵4＜5＜，AC2+BC2=52+42=41，AB2=（）2=41，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形；B中，∵AB：BC：AC=3：4：5，設(shè)AB=3k，BC=4k，AC=5k，∵AB2+BC2=（3k）2+（4k）2=25k2，AC2=（5k）2=25k2，∴AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形；C中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠A=180°×=45°，∠B=180°×=60°，∠C=180°×=75°，∴△ABC不是直角三角形；D中，∵=0，又∵≥0，≥0，∴cosA=，tanB=，∴∠A=60°，∠B=30°，∴△ABC是直角三角形．故選C．13．(2022·廣元)如圖,△ABC中,∠ABC＝90°,BA＝BC＝2,將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DEC,連接BD,則BD2的值是________第13題圖【答案】【解析】連接AD,過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M,DN⊥AC于點(diǎn)N,易得△ACD是等邊三角形,四邊形BNDM是正方形,設(shè)CM＝x,則DM＝MB＝x+2,∵BC＝2,∴CD＝AC＝,∴在Rt△MCD中,由勾股定理可求得,x＝,DM＝MB＝,∴在Rt△BDM中,BD2＝MD2+MB2＝.2811．（2022·濱州）如圖，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，連接AC，BD交于點(diǎn)M，連接OM．下列結(jié)論：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】∵∠AOB=∠COD，∴∠AOC=∠BOD，又∵OA=OB，OC=OD，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD，故①正確；∵△AOC≌△BOD，∴∠MAO=∠MBO，如圖，設(shè)OA與BD相交于N，又∵∠ANM=∠BNO，∴∠AMB=∠AOB=40°，故②正確；如圖，過(guò)點(diǎn)O分別作AC和BD的垂線，垂足分別是E，F(xiàn)，∵△AOC≌△BOD，AC=BD，∴OE=OF，∴MO平分∠BMC，故④正確；在△AOC中，∵OA＞OC，∴∠ACO＞∠OAC，∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC=∠OBD，∴∠ACO＞∠OBM，在△OCM和△OBM中，∠ACO＞∠OBM，∠OMC=∠OMB，∴∠COM＜∠BOM，故③錯(cuò)誤，所以①②④正確．故選B．9．(2022·廣元)如圖,在正方形ABCD的對(duì)角線AC上取一點(diǎn)E.使得∠CDE＝15°,連接BE并延長(zhǎng)BE到F,使CF＝CB,BF與CD相交于點(diǎn)H,若AB＝1,有下列結(jié)論:①BE＝DE;②CE+DE＝EF;③S△DEC＝,④.則其中正確的結(jié)論有()A.①②③ B.①②③ ④ C.①②④ D.①③④第9題圖【答案】A【解析】①利用正方形的性質(zhì),易得△BEC≌△DEC,∴BE＝DE,①正確;②在EF上取一點(diǎn)G,使CG＝CE,∵∠CEG＝∠CBE+∠BCE＝60°,∴△CEG為等邊三角形,易得△DEC≌△FGC,CE+DE＝EG+GF＝EF,②正確;③過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AC于點(diǎn)M,S△DEC＝S△DMC－S△DME＝,③正確;④tan∠HBC＝2－,∴HC＝2－,DH＝1－HC＝－1,∴,④錯(cuò)誤.故選A.10．（2022·紹興）如圖1，長(zhǎng)、寬均為3，高為8的長(zhǎng)方體容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高為6，繞底面一棱長(zhǎng)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰好觸到容器口邊緣，圖2是此時(shí)的示意圖，則圖2中水面高度為()A.B.C.D.【答案】A【解析】如圖所示：設(shè)DM＝x，則CM＝8﹣x，根據(jù)題意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×5，解得：x＝4，∴DM＝6，∵∠D＝90°，由勾股定理得：BM＝＝5，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AH，∵∠HBA+∠ABM＝∠ABM+∠ABM＝90°，∴∠HBA+＝∠ABM，所以Rt△ABH∽△MBD，∴，即，解得BH＝，即水面高度為．7．（2022·益陽(yáng)）已知M、N是線段AB上的兩點(diǎn)，AM=MN=2，NB＝1，以點(diǎn)A為圓心，AN長(zhǎng)為半徑畫??；再以點(diǎn)B為圓心，BM長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C，連接AC、BC，則△ABC一定是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形【答案】B【解析】如圖所示，∵AM=MN=2，NB＝1，∴AB=AM=MN+NB＝2+2+1=5，AC=AN=AM+MN=2+2=4，BC=BM=BN+MN1+2=3，∴，，,∴，∴△ABC是直角三角形.1.（2022·湖州）在數(shù)學(xué)拓展課上，小明發(fā)現(xiàn)：若一條直線經(jīng)過(guò)平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，則這條直線平分該平行四邊形的面積．如圖是由5個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成的圖形．P是其中4個(gè)小正方形的公共頂點(diǎn)，小強(qiáng)在小明的啟發(fā)下，將該圖形沿著過(guò)點(diǎn)P的某條直線剪一刀，把它剪成了面積相等的兩部分，則剪痕的長(zhǎng)度是（）A．2B．C．D．第9題圖第9題圖【答案】D．【解析】如答圖，取左下角的小正方形的中心O，作直線OP，得線段AB，則沿折痕AB裁剪，即可將該圖形面積兩等分．過(guò)點(diǎn)A作AC⊥BD于點(diǎn)C，則∠ACB＝90°．由中心對(duì)稱的性質(zhì)可知，BD＝EF＝AG，從而BC＝1．又AC＝3，故在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝．故選D．第9題答圖第9題答圖2.(2022·寧波)勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一,在我國(guó)古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載.如圖1,以直角三角形的各邊分別向外作正方形,再把較小的兩張正方形紙片按圖2的方式放置在最大正方形內(nèi).若知道圖中陰影部分的面積,則一定能求出A.直角三角形的面積 B.最大正方形的面積C.較小兩個(gè)正方形重疊部分的面積 D.最大正方形與直角三角形的面積和【答案】C【解題過(guò)程】設(shè)圖中三個(gè)正方形邊長(zhǎng)從小到大依次為:a,b,c,則S陰影＝c2－a2－b2+b(a+b－c),由勾股定理可知,c2＝a2－b2,∴S陰影＝c2－a2－b2+S重疊＝S重疊,即S陰影＝S重疊,故選C.3.（2022·重慶B卷）如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC與點(diǎn)E，AE=1.連接DE，將△AED沿直線AE翻折至△ABC所在的平面，得△AEF，連接DF.過(guò)點(diǎn)D作DG⊥DE交BE于點(diǎn)G.則四邊形DFEG的周長(zhǎng)為()B.C.D.【答案】D【解析】∵∠ABC=45°，AD⊥BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AD=BD.∵BE⊥AC，AD⊥BD，∴∠DAC=∠DBH，∴△DBH≌△DAC（ASA）.∵DG⊥DE，∴∠BDG=∠ADE，∴△DBG≌△DAE（ASA），∴BG=AE，DG=DE，∴△DGE是等腰直角三角形，∴∠DEC=45°.在Rt△ABE中，BE=，∴GE=，∴DE=.∵D，F(xiàn)關(guān)于AE對(duì)稱，∴∠FEC=∠DEC=45°，∴EF=DE=DG=，DF=GE=，∴四邊形DFEG的周長(zhǎng)為2（+2-）=.故選D．4.5.67.8.二、填空題15．（2022·蘇州）“七巧板”是我們祖先的一項(xiàng)卓越創(chuàng)造．可以拼出許多有趣的圖形，被譽(yù)為“東方魔板”圖①是由邊長(zhǎng)為10cm的正方形薄板分為7塊制作成的“七巧板”，圖②是用該“七巧板”拼成的一個(gè)“家”的圖形該“七巧板”中7塊圖形之一的正方形邊長(zhǎng)為cm（結(jié)果保留根號(hào)）.（圖①）（圖②）（第15題）【答案】【解析】本題考查了正方形性質(zhì)、等腰直角三角形性質(zhì)的綜合，由題意可知，等腰三角形①與等腰三角形②全等，且它們的斜邊長(zhǎng)都為×10=5cm，設(shè)正方形陰影部分的邊長(zhǎng)為xcm，則=sin45°=，解得x=，故答案為.第15題答圖17．（2022·威海）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，連接AC，BD.若∠ACB＝90°，AC＝BC,AB＝BD,則∠ADC＝°【答案】105°【解析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB垂足為F，由∠ACB＝90°，AC＝BC,得△ABC是等腰直角三角形，由三線合一得CF為中線，從而推出2CF＝AB，由AB∥CD得DE＝CF，由AB＝BD得BD＝2DE，在Rt△DEB中利用三角函數(shù)可得∠ABD＝30°，再由AB＝BD得∠BAD＝∠ADB＝75°，最后由AB∥CD得∠BAD＋∠ADC＝180°求出∠ADC＝105°.18．（2022·蘇州）如圖，一塊舍有45°角的直角三角板，外框的一條直角邊長(zhǎng)為8cm，三角板的外框線和與其平行的內(nèi)框線之間的距離均為cm，則圖中陰影部分的面積為cm：（結(jié)果保留根號(hào)）．（第18題）【答案】第18題答圖解析：如圖，三角板的外框線和與其平行的內(nèi)框線之間的距離均為cm，所以△ABC與△DEF有公共內(nèi)心O，連接AD、BE、FC并延長(zhǎng)相交于點(diǎn)O，過(guò)O作OG⊥AB于G，交DE于H.則GH=，S△ABC=OG×（AB+AC+BC）=AB×AC，∴OG=，∴OH=，∵∵DE∥AB，∴△ODE∽△OAB，∴∴，解得DE=6-，S陰影=S△ABC-S△DEF=.12．（2022·江西）在平面直角坐標(biāo)系中，A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4，0)、(4，4)，(0，4)，點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)D在直線AB上，若DA＝1，CP⊥DP于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.【答案】（，0）或（，0）【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0），（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，如圖所示：∵DA=1，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）.∴，，.∵CP⊥DP于點(diǎn)P，∴，∴，即，∵△==＜0，∴原方程無(wú)解，即符合要求的點(diǎn)P不存在.（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BA的延長(zhǎng)線上，如圖所示：∵DA=1，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）.∴，，.∵CP⊥DP于點(diǎn)P，∴，∴，即，∵△==＞0，∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，0）.（2022·株洲）如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜邊AB上的中線，E、F分別為MB、BC的中點(diǎn)，若EF＝1，則AB＝．【答案】4【解析】因?yàn)镽t△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜邊AB上的中線，所以AB=2CM,又因?yàn)镋、F分別為MB、BC的中點(diǎn)，所以EF為中位線，所以CM=2EF,從而AB=4EF=4。1.(2022·棗莊)把兩個(gè)同樣大小含45°的三角尺按如圖所示的方式放置,其中一個(gè)三角尺的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)三角尺的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)A,且另外三個(gè)銳角頂點(diǎn)B,C,D在同一直線上,若AB＝2,則CD＝________.【答案】－【解析】在等腰直角△ABC中,∵AB＝2,∴BC＝,過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BD于點(diǎn)M,則AM＝MC＝BC＝,在Rt△AMD中,AD＝BC＝,AM＝,∴MD＝,∴CD＝MD－MC＝－.2.(2022·巴中)如圖,等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,分別連接AP,BP,CP,若AP＝6,BP＝8,CP＝10,則S△ABP+S△BPC＝________.【答案】16+24【解析】將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△CBP',連接PP',所以BP＝BP',∠PBP'＝60°,所以△BPP'是等邊三角形,其邊長(zhǎng)BP為8,所以S△BPP'＝16,因?yàn)镻P'＝8,P'C＝PA＝6,PC＝10,所以PP'2+P'C2＝PC2,所以△PP'C是直角三角形,S△PP'C＝24,所以S△ABP+S△BPC＝S△BPP'+S△PP'C＝16+24..3.4.5.67.8.910.11.12.13.14.15.1617.18.1920.21.22.23.24.25.2627.28.2930.31.32.33.34.35.3637.38.39三、解答題1.(2022·巴中)如圖,等腰直角三角板如圖放置,直角頂點(diǎn)C在直線m上,分別過(guò)點(diǎn)A,B作AE⊥直線m于點(diǎn)E,BD⊥直線m與點(diǎn)D.（1）求證:EC＝BD;（2）若設(shè)△AEC三邊分別為a,b,c,利用此圖證明勾股定理.證明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠ACB＝90°,AC＝BC,∴∠ACE+∠BCD＝90°,∵AE⊥EC,∴∠EAC+∠ACE＝90°,∴∠BCD＝∠CAE,∵BD⊥CD,∴∠AEC＝∠CDB＝90°,∴△AEC≌△CDB(AAS),∴EC＝BD.（2）∵△AEC≌△CDB,△AEC三邊分別為a，b，c,，∴BD＝EC＝a,CD＝AE＝b,BC＝AC＝c,∴S梯形＝(AE+BD)ED＝(a+b)(a+b),S梯形＝ab+c2+ab，

∴(a+b)(a+b)＝ab+c2+ab,整理可得a2+b2＝c2,故勾股定理得證.2.3.4.5.67.8.910.11.12.13.14.15.1617.18.1920.21.22.23.24.25.2627.28.2930.31.32.33.34.35.3637.38.39第二批一、選擇題12．(2022·海南)如圖,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝5,BC＝4,點(diǎn)P是邊AC上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB交BC于點(diǎn)Q,D為線段PQ的中點(diǎn),當(dāng)BD平分∠ABC時(shí),AP的長(zhǎng)度為()A. B. C. D.第12題圖【答案】B【解題過(guò)程】在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝5,BC＝4,∴AC＝3,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E,易證△ABC∽△DQE,∵BD平分∠ABC,PQ∥AB,∴BQ＝QD,設(shè)QD＝BQ＝4x,則AP＝3x,DP＝4x,∴PQ＝8x,CP＝x,∴AC＝x＝3,∴x＝,AP＝3x＝,故選B.EE第12題答圖【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形,相似三角形,一元一次方程8．（2022·畢節(jié)）如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面積為（）A． B．3 C． D．5【答案】B【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3，∴正方形ABCD的面積＝BC2＝3．故選：B．【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理．6．（2022·陜西）如圖，在Rt△ABC中，，，，垂足為D，E是BC的中點(diǎn)，連接ED，則的度數(shù)是（）．A．B．C．D．第6題圖第6題圖【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)樵赗t△CDB中，E是BC的中點(diǎn)，所以，所以．【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、直角三角形的性質(zhì)．10.（2022·黔三州）如右圖,在一斜邊長(zhǎng)30cm的直角三角形木板(即Rt△ACB)中截取一個(gè)正方形CDEF，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E在斜邊AB上，點(diǎn)F在邊AC上，若AF:AC=1:3，則這塊木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面積為（）A.200cm2B.170cm2C.150cm2cm2【答案】D.【解答過(guò)程】∵AF:AC=1:3，∴設(shè)AF=x，則AC=3x，CF=2x.∵四邊形CDEF是正方形，∴DE∥AC，DE=2x，∴△BDE∽△BCA，∴，∴BD=4x，BC=6x，在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2，∴9x2+36x2=900，∴x2=20，∴S剩余=S△ABC-S正方形CDEF=，故選D.【知識(shí)點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理.10.（2022·綿陽(yáng)）公元三世紀(jì)，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果大正方形的面積是125，小正方形面積是25，則（sinθ﹣cosθ）2＝（）A．15 B．55 C．35【答案】A【解析】∵大正方形的面積是125，小正方形面積是25，∴大正方形的邊長(zhǎng)為55，小正方形的邊長(zhǎng)為5，∴55cosθ﹣55sinθ＝5，∴cosθ﹣sinθ=5∴（sinθ﹣cosθ）2=1故選A．【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)學(xué)常識(shí)；勾股定理的證明；解直角三角形的應(yīng)用二、填空題12.（2022·宜賓）如圖，已知直角中，是斜邊上的高，，，則．【答案】【解析】在中，，由射影定理得，，，故答案為：．【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；射影定理15.（2022·南京）如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線MN交AB于點(diǎn)D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，則AC的長(zhǎng)．【答案】10．【解析】解：作AM⊥BC于E，如圖所示：∵CD平分∠ACB，∴ACBC設(shè)AC＝2x，則BC＝3x，∵M(jìn)N是BC的垂直平分線，∴MN⊥BC，BN＝CN=3∴MN∥AE，∴ENBN∴NE＝x，∴BE＝BN+EN=52x，CE＝CN﹣EN由勾股定理得：AE2＝AB2﹣BE2＝AC2﹣CE2，即52﹣（52x）2＝（2x）2﹣（1解得：x=10∴AC＝2x=10故答案為：10．（2022·宿遷）如圖，∠MAN＝60°，若△ABC的頂點(diǎn)B在射線AM上，且AB＝2，點(diǎn)C在射線AN上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，BC的取值范圍是．【答案】3＜BC【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BC1⊥AN，垂足為C1，BC2⊥AM，交AN于點(diǎn)C2在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60°∴∠ABC1＝30°∴AC1=12AB＝1，由勾股定理得：BC1在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60°∴∠AC2B＝30°∴AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝23，當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，點(diǎn)C在C1C2上移動(dòng)，此時(shí)3＜BC＜23故答案為：3＜BC＜23【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；解直角三角形12.（2022·南京）無(wú)蓋圓柱形杯子的展開圖如圖所示．將一根長(zhǎng)為20cm的細(xì)木筷斜放在該杯子內(nèi)，木筷露在杯子外面的部分至少有cm．【答案】5【解析】解：由題意可得：杯子內(nèi)的筷子長(zhǎng)度為：12則筷子露在杯子外面的筷子長(zhǎng)度為：20﹣15＝5（cm）．故答案為5．【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用14．（2022·陜西）如圖，在Rt△ABC中，，，BD是△ABC的角平分線，過(guò)點(diǎn)D作交邊于點(diǎn)E．若，則圖中陰影部分面積為．第14題答圖第14題答圖【答案】1【思路分析】利用角平分線的定義求得，所以△DBE是直角三角形，過(guò)點(diǎn)D作AB,CD的垂線，然后利用三角形相似得到邊的比例關(guān)系，通過(guò)勾股定理，即可求出需要的邊的長(zhǎng)度，利用面積公式，可以求得最終答案．【解題過(guò)程】過(guò)點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)G，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，，，所以，所以四邊形DFBG為矩形，因?yàn)锽D是△ABC的角平分線，所以，又因?yàn)?，所以是等腰直角三角形?又因?yàn)?所以（等腰三角形三線合一），所以（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），因?yàn)樗倪呅蜠FBG為矩形，，所以矩形DFBG為正方形，所以，，所以∽，∽所以，，設(shè)，則，所以，在Rt△ABC中，由勾股定理得，，即，解得或（舍去），所以，，，所以陰影部分的面積等于

【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的定義、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、用割補(bǔ)法求不規(guī)則幾何圖形的面積．19．（2022·畢節(jié)）三角板是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好幫手．將一對(duì)直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在FD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，則CD的長(zhǎng)度是．【答案】15﹣5．【解析】過(guò)點(diǎn)B作BM⊥FD于點(diǎn)M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10，∵AB∥CF，∴BM＝BC×sin30°＝＝5，CM＝BC×cos30°＝15，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝5，∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5．故答案是：15﹣5．【知識(shí)點(diǎn)】含30度角的直角三角形；勾股定理．15．（2022浙江舟山，15，3分）在△ABC中，若∠A=45°，AC2-BC2=53AB2，則tanC=【答案】5【解析】【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理，解直角三角形，等腰直角三角形的判定與性質(zhì).20.（2022·黔東南）三角板是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好幫手．將一對(duì)直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在FD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，則CD的長(zhǎng)度是．【答案】15﹣53【解析】解：過(guò)點(diǎn)B作BM⊥FD于點(diǎn)M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝103，∵AB∥CF，∴BM＝BC×sin30°=103×1CM＝BC×cos30°＝15，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝53，∴CD＝CM﹣MD＝15﹣53．故答案是：15﹣53．【知識(shí)點(diǎn)】含30度角的直角三角形；勾股定理15.（2022·鄂州）如圖，已知線段AB＝4，O是AB的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，∠1＝60°，P點(diǎn)是直線l上一點(diǎn)，當(dāng)△APB為直角三角形時(shí)，則BP＝．【答案】2或23【解析】∵AO＝OB＝2，∴當(dāng)BP＝2時(shí)，∠APB＝90°，當(dāng)∠PAB＝90°時(shí)，∵∠AOP＝60°，∴AP＝OA?tan∠AOP＝23，∴BP=AB2當(dāng)∠PBA＝90°時(shí)，∵∠AOP＝60°，∴BP＝OB?tan∠1＝23，故答案為：2或23或27．【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理三、解答題第三批一、選擇題8．（2022·郴州）古數(shù)學(xué)劉將勾（人稱角角形勾形割成個(gè)正形對(duì)全等的三角形，如圖所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，則正方形F邊長(zhǎng)是A． B．2 C． D．4答案：B（第8題圖）（第8題圖）解析：本題考查了勾股定理和解一元二次方程，設(shè)正方形ADOF的邊長(zhǎng)為x，則AB＝4＋x，AC＝6＋x，BC＝10，由于∠A＝90°，所以BC2＝AB2＋AC2，即100＝16＋8x＋x2＋36＋12x＋x2，解得x＝2或x＝－12（不合題意，舍去），因此本題選B．二、填空題12．（2022·北京）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則＝____________°（點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格線交點(diǎn)）.【答案】45°【解析】如圖12-1，延長(zhǎng)AP至C，連結(jié)BC.設(shè)圖中小正方形的邊長(zhǎng)為1，由勾股定理得，，；∴.即△PBC為等腰直角三角形，∴∠BPC=45°.由三角形外角的性質(zhì)得.【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理及逆定理、三角形外角的性質(zhì).16．（2022·襄陽(yáng)）如圖，兩個(gè)火小不同的三角板放在同一平面內(nèi)，直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)C，點(diǎn)D在AB上，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC與DE交于點(diǎn)F，連接AE，若BD＝1，AD＝5，則eq\f(CF,EF)＝________.答案：316（2022·瀘州）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，點(diǎn)E在邊CB上，CE＝2EB，點(diǎn)D在邊AB上，CD⊥AE，垂足為F，則AD的長(zhǎng)為．【答案】92【解析】過(guò)D作DH⊥AC于H，∵在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，∴AC＝BC＝15，∴∠CAD＝45°，∴AH＝DH，∴CH＝15﹣DH，∵CF⊥AE，∴∠DHA＝∠DFA＝90°，∴∠HAF＝∠HDF，∴△ACE∽△DHC，∴DHAC∵CE＝2EB，∴CE＝10，∴DH15=15-DH10，∴DH＝9，∴故答案為：92．【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定與性質(zhì)17．（2022·安順）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，點(diǎn)D為斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D分別作DM⊥AB于點(diǎn)M，作DN⊥AC于點(diǎn)N，連接MN，則線段MN的最小值為.【答案】【解析】連接AD，如圖所示：∵DM⊥AB，DN⊥AC，BDMNCA第17題答圖∴∠ABDMNCA第17題答圖又∵∠BAC＝90°，∴四邊形AMDN是矩形；∴MN＝AD.∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝5，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD最短，此時(shí)△ABC的面積＝BC?AD＝AB?AC，∴AD的最小值＝，∴線段MN的最小值為；【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形面積的計(jì)算方法16．(2022·大慶)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的"勾股方圓圖"是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖所示).如果大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a,b,那么(a－b)2的值是______.第16題圖【答案】1【解析】(a－b)2＝a2+b2－2ab,其中,由勾股定理可得,a2+b2＝13,直角三角形面積＝(13－1)÷4＝3,即,所以ab＝6所以(a－b)2＝a2+b2－2ab＝13－12＝1.【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理,完全平方公式9．（2022·龍東地區(qū)）一張直角三角形紙片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，點(diǎn)D為BC邊上的任一點(diǎn)，沿過(guò)點(diǎn)D的直線折疊，使直角頂點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處，當(dāng)△BDE是直角三角形時(shí)，則CD的長(zhǎng)為________．【答案】3或.【解析】如圖1，∠DEB是直角時(shí)，∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，∴BC==8,設(shè)CD=x，則BD=8-x，由折疊知CD=ED=x，∵∠ACB＝∠DEB=90°，∴△BED∽△BCA，∴，即，解得x=3;如圖2，∠EDB是直角時(shí)，ED∥AC，∴△BED∽△BAC，∴,即，解得x=，綜上，CD的長(zhǎng)為3或. 圖1 圖2【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱；勾股定理；相似三角形三、解答題18.（2022·呼和浩特）如圖，在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c.（1）若a=6，b=8，c=12，請(qǐng)直接寫出∠A與∠B的和與∠C的大小關(guān)系；（2）求證：△ABC的內(nèi)角和等于180°；（3）若，求證：△ABC是直角三角形.解：（1）∠C＞∠A+∠B；（2）證明：過(guò)點(diǎn)B作直線DE∥AC，∴∠A=∠ABD，∠C=∠CBE，又∵∠ABD+∠ABC+∠CBE=180°，∴△ABC的內(nèi)角和等于180°（3）證明：原式可變形為∴(a+c)2-b2=2ac，即a2+