精做01 三角函數(shù)與解三角形-學(xué)易試題君之大題精做2023年高考數(shù)學(xué)（理）（解析版）

第頁(yè)精做01三角函數(shù)與解三角形1．函數(shù)．〔1〕求的最小正周期；〔2〕求在區(qū)間上的最小值．【答案】〔1〕；〔2〕.〔2〕因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，取得最小值，所以在區(qū)間上的最小值為.2．的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．〔1〕求角的大??；〔2〕假設(shè)，的面積為，求，的值．【答案】〔1〕；〔2〕或.〔2〕∵∴即∴或3．設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．〔1〕求角的大??；學(xué)！科網(wǎng)〔2〕假設(shè)，求的周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】〔1〕由得，即，又，又，〔2〕由正弦定理得，故的周長(zhǎng)的取值范圍是．4．設(shè)函數(shù)，其中.〔1〕求函數(shù)的值域；〔2〕假設(shè)在區(qū)間上為增函數(shù)，求的最大值.【答案】〔1〕；〔2〕.〔2〕因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以在上為增函數(shù).依題意知對(duì)某個(gè)成立，此時(shí)必有，于是，解得，故的最大值為.5．在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足.〔1〕求角的大?。弧?〕求的最大值，并求取得最大值時(shí)角的大?。敬鸢浮俊?〕；〔2〕最大值為2，此時(shí)【解析】〔1〕由正弦定理得因?yàn)樗詮亩炙阅敲?〔2〕由〔1〕知于是從而當(dāng)即時(shí)，取最大值2．綜上所述，的最大值為2，此時(shí)6．如圖，在中，，且，.〔1〕求的面積；〔2〕在線段上，且，求的值.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】〔1〕記，∵，且，∵，且,∴，即.在中，，解得，故的面積.〔2〕依題意,，又，所以，故.1．〔【全國(guó)百?gòu)?qiáng)校】安徽省六安市第一中學(xué)2023屆高三下學(xué)期適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)〕函數(shù)fx〔1〕求函數(shù)fx〔2〕在ΔABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且角A滿足fA=3+1，假設(shè)a=3，BC邊上的中線長(zhǎng)為3，求【答案】(1)-π3+kπ,〔2〕fA=2sin因?yàn)锳∈0,π，所以2A∈0,2π所以2A+π6=5π6，那么A=π3所以AC2+AB所以b2+由余弦定理得a2=b2由①②得：bc=27所以SΔABC【名師點(diǎn)睛】與三角形面積有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)求三角形的面積．對(duì)于面積公式S=1(2)三角形的面積解三角形．與面積有關(guān)的問(wèn)題，一般要利用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的互化．2．〔【全國(guó)百?gòu)?qiáng)?！勘本┦惺粚W(xué)校2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題〕函數(shù)fx=sin(ωx-φ)，(ω>0,0<φ<π〔1〕求函數(shù)f(x)的解析式及其在0,π〔2〕在ΔABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊，假設(shè)f(A2)+【答案】〔1〕f(x)=sin2x-π6,0,π3【解析】〔1〕由相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為π2可得其最小正周期T=2πω又的圖象過(guò)點(diǎn)π4,32，且ω>0，0<φ<π2又2kπ-π2<2x-π6<2kπ〔2〕由fA2+那么32sinA+由于0<A<π，那么πA+π6=5π【名師點(diǎn)睛】此題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，確定函數(shù)的解析式是解決此題的關(guān)鍵.3．〔【全國(guó)百?gòu)?qiáng)?！亢颖笔∈仪f二中2023屆高三三模文科數(shù)學(xué)試題〔A〕〕銳角ΔABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，sinA=32sinC，且〔1〕求B；〔2〕假設(shè)D是BC邊上的一點(diǎn)，且cos∠ADB=31010，求【答案】〔1〕B=π4；〔2〕〔2〕因?yàn)閏os∠ADB=所以sin∠ADB=又∠BAD=π故sin∠BAD=在ΔABD中，由正弦定理得ABsin即BD=2又BC=32c，所以所以BDCD【名師點(diǎn)睛】〔1〕此題主要考查正弦定理解三角形，考查三角恒等變換和三角形的面積計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力；(2)解答此題的關(guān)鍵是計(jì)算出sin∠BAD=4．〔河南省安陽(yáng)35中2023屆高三核心押題卷一數(shù)學(xué)試題〕ΔABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且bcos〔1〕求B；(2〕假設(shè)c=42,cos【答案】〔1〕B=π【解析】(1)在ΔABC中，因?yàn)閎cosA=c-2所以sinB化簡(jiǎn)可得cosB因?yàn)閟inA≠0，所以cos因?yàn)锽∈(0,π2)〔2〕因?yàn)閏osA=72所以sinA=因?yàn)锽=π所以sinC=在ΔABC中，由正弦定理可得b=c所以SΔABC故ΔABC的面積為2.【名師點(diǎn)睛】〔1〕有關(guān)求三角形面積或其最值的問(wèn)題，應(yīng)由三角形的面積公式求得面積；〔2〕ΔABC的邊和角，求其它的邊和角，注意正弦定理、余弦定理的運(yùn)用，對(duì)角對(duì)邊，可用余弦定理；假設(shè)知邊的平方關(guān)系，應(yīng)想到余弦定理.5．〔【全國(guó)百?gòu)?qiáng)校】湖北省黃岡中學(xué)2023屆高三5月第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題〕在ΔABC中，角A,B,C對(duì)邊分別為a,b,c，且滿足bc=1,a〔1〕求ΔABC的面積；〔2〕假設(shè)cosBcosC=【答案】〔1〕34【解析】〔1〕∵b2+c2-a∴SΔABC【名師點(diǎn)睛】解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷．如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，那么考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，那么要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．6．〔【全國(guó)市級(jí)聯(lián)考】山東省日照市2023屆高三校際聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題〕a，b，c分別為ΔABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且3a〔1〕求角A的大??；〔2〕假設(shè)b+c=5，且ΔABC的面積為3，求a的值.【答案】〔1〕A=2π3;〔2〕【解析】〔1〕由正弦定理得，3sin∵sinC≠0∴3sinA-cos∵0<A<π，∴-∴A-π6=π2〔2〕由SΔABC=3∴bc=4，∵b+c=5，∴由余弦定理得：a2∴a=21【名師點(diǎn)睛】解三角形問(wèn)題，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而到達(dá)解決問(wèn)題的目的.其根本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的和所求，在圖形中標(biāo)出來(lái)，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化.第三步：求結(jié)果.7．〔【全國(guó)百?gòu)?qiáng)?！繉幭幕刈遄灾螀^(qū)銀川一中2023屆高三考前適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題〕A為△ABC的內(nèi)角，當(dāng)x=5π12時(shí)，函數(shù)f(x)=2cosxsin(x-A)+sinA取得最大值．△ABC內(nèi)角A，B，〔1〕求A；〔2〕假設(shè)a=7，sinB+sinC=13【答案】(1)A=π3；(2)【解析】〔1〕f(x)=2=sin由題意知sin(5π6-A)=1，因?yàn)椤?〕根據(jù)正弦定理得asinA=143因?yàn)閟inB+sinC=由余弦定理得72=b因此△ABC的面積為12【名師點(diǎn)睛】〔1〕此題主要考查三角恒等變換，考查正弦定理、余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.〔2〕解答第2問(wèn)時(shí)，可以整體求bc的值，也可以分別求b和c的值，此題使用的是整體求值.8．〔【全國(guó)校級(jí)聯(lián)考】浙江省金麗衢十二校2023屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題〕函數(shù)〔1〕求的最小正周期；1〔2〕在中，，的面積為3，AB=23，求BC的長(zhǎng)．【答案】〔1〕2π；〔2〕2或13【解析】函數(shù)．化簡(jiǎn)可得：=2sinxcos+cosx=sinx+cosx=2sin〔x+〕.〔1〕的最小正周期T=；〔2〕由，即2sin〔A+〕=，∴sin〔A+〕=，∵0＜A＜π，∴＜A+<．可得：〔A+〕=或.那么A=或A=．當(dāng)那么A=時(shí)，ABC的面積為=bcsinA，AB=c=，∴b=AC=2.由余弦定理：BC2=22+〔2〕2?2×2×2×cos，解得：BC=.當(dāng)A=時(shí)，ABC的面積為=bc，AB=c=，∴b=AC=1.由直角三角形性質(zhì)可得BC2=12+〔2〕2，解得：BC=．【名師點(diǎn)睛】解三角形問(wèn)題，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而到達(dá)解決問(wèn)題的目的.1．〔2023新課標(biāo)I理〕在平面四邊形中，，，，.〔1〕求； ；.〔2〕由題設(shè)及〔1〕知，.在中，由余弦定理得所以.2．〔2023北京理〕在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–．

〔1〕求∠A；〔2〕求AC邊上的高．【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】〔1〕在△ABC中，∵cosB=–，∴B∈〔，π〕，∴sinB=．由正弦定理得=，∴sinA=．∵B∈〔，π〕，∴A∈〔0，〕，∴∠A=．〔2〕在△ABC中，∵sinC=sin〔A+B〕=sinAcosB+sinBcosA==．如下圖，在△ABC中，∵sinC=，∴h==，∴AC邊上的高為．3．〔2023天津理〕在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c..〔1〕求角B的大小；〔2〕設(shè)a=2，c=3，求b和的值.【答案】〔1〕；〔2〕b=，=.【解析】〔1〕在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因?yàn)?，可得B=．〔2〕在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因?yàn)閍<c，故．因此，所以，【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的根本關(guān)系，兩角差的正弦與余弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等根底知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．4．〔2023浙江〕角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn)P〔〕．〔1〕求sin〔α+π〕的值；〔2〕假設(shè)角β滿足sin〔α+β〕=，求cosβ的值．【答案】〔1〕；〔2〕或.【解析】〔1〕由角的終邊過(guò)點(diǎn)得，所以.〔2〕由角的終邊過(guò)點(diǎn)得，由得.由得，所以或.5．〔2023·浙江卷〕函數(shù)．〔1〕求的值．〔2〕求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】〔1〕2；〔2〕最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為．【解析】〔1〕由，，．得．〔2〕由與得．所以的最小正周期是．由正弦函數(shù)的性質(zhì)得解得所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是．【名師點(diǎn)睛】此題主要考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，以及函數(shù)的性質(zhì)，是高考中的?？贾R(shí)點(diǎn)，屬于根底題，強(qiáng)調(diào)根底的重要性；三角函數(shù)解答題中，涉及到周期，單調(diào)性，單調(diào)區(qū)間以及最值等考點(diǎn)時(shí)，都屬于考查三角函數(shù)的性質(zhì)，首先應(yīng)把它化為三角函數(shù)的根本形式即，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解．6．〔2023·山東卷理〕設(shè)函數(shù)，其中..〔1〕求；〔2〕將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍〔縱坐標(biāo)不變〕，再將得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求在上的最小值.【答案】〔1〕；〔2〕最小值為.【解析】〔1〕因?yàn)?，所以由題設(shè)知，所以.故，，又，所以.〔2〕由〔1〕得.所以.因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，取得最小值.【名師點(diǎn)睛】此類題目是三角函數(shù)問(wèn)題中的典型題目，可謂相當(dāng)經(jīng)典.解答此題，關(guān)鍵在于能利用三角公式化簡(jiǎn)函數(shù)、進(jìn)一步討論函數(shù)的性質(zhì)，此題易錯(cuò)點(diǎn)在于一是圖象的變換與解析式的對(duì)應(yīng)，二是忽略設(shè)定角的范圍.難度不大，能較好地考查考生的根本運(yùn)算求解能力及復(fù)雜式子的變形能力等.7．〔2023·天津卷理〕函數(shù)=4tanxsin()cos().〔1〕求f(x)的定義域與最小正周期；〔2〕討論f(x)在區(qū)間[]上的單調(diào)性.【答案】〔1〕，；〔2〕在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.【解析】〔1〕的定義域?yàn)?所以,的最小正周期〔2〕令函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是由,得設(shè)，易知.所以,當(dāng)時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此解三角函數(shù)題，首先從角進(jìn)行分析，善于用角表示所求角，即注重角的變換.角的變換涉及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)根本關(guān)系式、兩角和與差的正、余弦公式、二倍角公式、輔助角公式等，選用恰當(dāng)?shù)墓?，是解決三角問(wèn)題的關(guān)鍵，明確角的范圍，開(kāi)方時(shí)正負(fù)取舍是解題正確的保證.對(duì)于三角函數(shù)來(lái)說(shuō)，常常是先化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解．三角恒等變換要堅(jiān)持結(jié)構(gòu)同化原那么，即盡可能地化為同角函數(shù)、同名函數(shù)、同次函數(shù)等，其中切化弦也是同化思想的表達(dá)；降次是一種三角變換的常用技巧，要靈活運(yùn)用降次公式．8．〔2023·新課標(biāo)Ⅰ卷理〕的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，的面積為.〔1〕求sinBsinC;〔2〕假設(shè)6cosBcosC=1，a=3，求的周長(zhǎng).【答案】〔1〕；〔2〕．【解析】〔1〕由題設(shè)得，即.由正弦定理得.故.【名師點(diǎn)睛】在處理解三角形問(wèn)題時(shí)，要注意抓住題目所給的條件，當(dāng)題設(shè)中給定三角形的面積，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，有時(shí)需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系；解三角形問(wèn)題常見(jiàn)的一種考題是“一條邊的長(zhǎng)度和它所對(duì)的角，求面積或周長(zhǎng)的取值范圍〞或者“一條邊的長(zhǎng)度和它所對(duì)的角，再有另外一個(gè)條件，求面積或周長(zhǎng)的值〞，這類問(wèn)題的通法思路是：全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，如，從而求出范圍，或利用余弦定理以及根本不等式求范圍；求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可.9．〔2023·新課標(biāo)III卷理〕的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.，a=2,b=2.〔1〕求c；〔2〕設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且ADAC,求△ABD的面積.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】〔1〕由可得，所以.在中，由余弦定理得，即，解得(舍去)，.〔2〕由題設(shè)可得，所以.故面積與面積的比值為.又的面積為，所以的面積為.【名師點(diǎn)睛】在解決三角形問(wèn)題中，面積公式最常用，因?yàn)楣街屑扔羞呌钟薪?，容易和正弦定理、余弦定理?lián)系起來(lái).正、余弦定理在應(yīng)用時(shí)，應(yīng)注意靈活性，兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷.10．〔2023·北京卷理〕在中，=60°，c=a.〔1〕求sinC的值；1〔2〕假設(shè)a=7，求的面積.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】〔1〕在中，因?yàn)?，，所以由正弦定理?〔2〕因?yàn)?，所?由余弦定理得，解得或〔舍〕.所以的面積.【名師點(diǎn)睛】高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識(shí)綜合起來(lái)命題，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，那么考慮用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化；以上特征都不明顯時(shí)，那么要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．而三角變換中主要是“變角、變函數(shù)名和變運(yùn)算形式〞，其中的核心是“變角〞，即注意角之間的結(jié)構(gòu)差異，彌補(bǔ)這種結(jié)構(gòu)差異的依據(jù)就是三角公式.11．〔2023·山東卷理〕在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，〔1〕證明：a+b=2c；〔2〕求cosC的最小值.【答案】〔1〕證明見(jiàn)解析；〔2〕.【解析】〔1〕由題意知，化簡(jiǎn)得，即.因?yàn)?所以.從而.由正弦定理得.〔2〕由〔1〕知,所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故的最小值為.【名師點(diǎn)睛】此類題目是解三角形問(wèn)題中的典型題目，可謂相當(dāng)經(jīng)典.解答此題，關(guān)鍵在于能利用三角公式化簡(jiǎn)三角恒等式，利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，到達(dá)證明目的．三角形中的求角問(wèn)題，往往要利用余弦定理用邊表示角的函數(shù).此題覆蓋面較廣，能較好地考查考生的運(yùn)算求解能力及對(duì)復(fù)雜式子的變形能力等.12．〔2023·四川卷理〕在中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且.〔1〕證明：；〔2〕假設(shè)，求.【答案】〔1〕證明見(jiàn)解析；〔2〕4.【解析】〔1〕根據(jù)正弦定理，可設(shè)===k(k>0)．那么a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC．代入+=中，有+=，變形可得sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)．在中，由A+B+C=π，得sin(A+B)=sin(π–C)=sinC，所以sinAsinB=sinC．【名師點(diǎn)睛】此題考查正弦定理、余弦定理等根底知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題的能力和計(jì)算能力.在解三角形時(shí)，但凡遇到等式中有邊又有角，可用正弦定理進(jìn)行邊角互化，一種是化為三角函數(shù)問(wèn)題，一種是化為代數(shù)式的變形問(wèn)題．在角的變化過(guò)程中注意三角形的內(nèi)角和為這個(gè)定理，否那么難以得出結(jié)論．13．〔2023·浙江卷理〕在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.b+c=2acosB.〔1〕證明：A=2B；〔2〕假設(shè)的面積，求角A的大小.【答案】〔1〕證明見(jiàn)解析；〔2〕或.【解析】〔1〕由正弦定理得，故，于是．又，，故，所以或，因此〔舍去〕或，所以，．〔2〕由得，故有，因?yàn)?，所以．又，，所以．?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．綜上，或．【思路點(diǎn)睛】〔1〕用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，進(jìn)而用兩角和的正弦公式轉(zhuǎn)化為含有，的式子，根據(jù)角的范圍可證；〔2〕先由三角形的面積公式及二倍角公式可得含有，的式子，再利用三