歷年考研數(shù)學(xué)二歷年真題

2012年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題

一、選擇題：卜8小題,每小題4分，共32分.下列每題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)符合題目要求的,請將所選

項(xiàng)前的字母填在管孥紙指定位置上.

(1)曲線y=的漸近線條數(shù)()

x-1

(A)0(B)1(C)2(D)3

⑵設(shè)函數(shù)/3=(d-1)(62'-2>-?"-〃)，其中〃為正整數(shù)，則/(0)=()

(A)(-ir'Cn-l)!(B)(-l)n(n-l)!(0(—1)"。！(D)(-1)"?!

⑶設(shè)4>0(〃=1,2,3…),5“=《+電+%+…則數(shù)列⑸｝有界是數(shù)列｛《,｝收斂的

()

(A)充分必要條件(B)充分非必要條件

(0必要非充分條件(D)非充分也非必要

⑷設(shè)人=sinxdr,6=1,2,3),則有

()

(A)/,</,</3(B)13<12<7,(C)I2<I3<L(D)/2</,<13

(5)設(shè)函數(shù)/(x,y)為可微函數(shù)，且對任意的x,y都有義>(),如但<0,則使不等式/(為，x)>/(x,,當(dāng))成立的

dxdy

一個充分條件是

()

(A)Xj>x2,y,<y2(B)>x2,y｛>y2(C)x1<x2,y1<y2(D)x1<x2,y｝>y2

(6)設(shè)區(qū)域。由曲線)*”》=±已=1圍成，則。'(丁〉一1)(1?1)?=

D

()

(A)71(B)2(0-2(D)-7t

「0'0、-n

(7)設(shè)%=011,其中q/g/為任意常數(shù)，則下列向量組線性相關(guān)的為

a

()

(A)叫仆，叫(B)apa2,a4(C)apa3,a4(D)a2,a3,a4

'100、

(8)設(shè)A為3階矩陣，尸為3階可逆矩陣，且P"P=010.若尸=(0i1,a2，a3),Q=(ot[+(12,0(2，＜13)則。T/1Q=

、°02J

’100'」00、'200、'200、

(A)020(B)010(0010(D)020

、001,1°02,、002；、°。L

二、填空題：9-14小題,每小題4分，共24分.請將答案寫在等孥紙指定位置上.

(9)設(shè)y=y(x)是由方程一一>+1=，所確定的隱函數(shù)，則.

(10)lim/il----r+

mg+〃2+〃n+n)

(1〉dz2&

(11)設(shè)z=/Ilnx+一

，其中函數(shù)〃")可微，則“以.

1y)

(12)微分方程)dx+(x--3y2)d)，=0滿足條件)，k=1的解為y=

(13)曲線〉=/+'(％<0)上曲率為學(xué)的點(diǎn)的坐標(biāo)是

(14)設(shè)A為3階矩陣，|止3,A*為A伴隨矩陣，若交換A的第1行與第2行得矩陣則忸41=,

三、解答題：15-23小題，共94分.請將解答寫在答踵紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

(15)(本題滿分10分)

]+X1

已知函數(shù)/(冗)=「------,記

(I)求。的值；

(H)若x-0時，/(x)-Q與一是同階無窮小，求常數(shù)攵的值.

(16)(本題滿分10分)

7

求函數(shù)/(x,y)=xe2的極值.

(17)(本題滿分12分)

過(0,1)點(diǎn)作曲線L:y=lirv的切線，切點(diǎn)為力，又乙與x軸交于8點(diǎn)，區(qū)域。由L與直線AB圍成,求區(qū)域D的面

積及。繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

(18)(本題滿分10分)

計(jì)算二重積分，町d。，其中區(qū)域。為曲線r=l+cos6(0484])與極軸圍成.

D

(19)(本題滿分10分)

已知函數(shù)/(x)滿足方程f"(x)+f\x)-2/(x)=0及/"(x)+/(x)=2e',

(1)求/(x)的表達(dá)式；

(II)求曲線丫=/(/)[/(-/油的拐點(diǎn).

(20)(本題滿分10分)

[2

證明xln^^+cosxN1+土，(-1<%<1).

1—x2

(21)(本題滿分10分)

⑴證明方程Xn+X"T+…+X=](〃>1的整數(shù))，在區(qū)間(g1)內(nèi)有且僅有一個實(shí)根;

(H)記(I)中的實(shí)根為x“,證明limx,,存在，并求此極限.

(22)(本題滿分11分)

」400、(P

01Q0-1

設(shè)4=，（3=

001。0

001y

(I)計(jì)算行列式|山；

(II)當(dāng)實(shí)數(shù)。為何值時，方程組Ax="有無窮多解，并求其通解.

(23)(本題滿分11分)

’101、

已知A=]°,二次型〃對工2，*3）=/（A，A）x的秩為2,

、0of

（I）求實(shí)數(shù)。的值；

（ID求正交變換x=Q），將/化為標(biāo)準(zhǔn)形.

2011年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題

一、選擇題：18小題,每小題4分，共32分.下列每題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)符合題目要求的，請將所選

項(xiàng)前的字母填在等踵紙指定位置上.

1.已知當(dāng)X->0時，函數(shù)/(X)=35詁》-5足3%與(??是等價無窮小，則

Ak=l,c=4Bk=a,c=-4Ck=3,c=4Dk=3,c=-4

2.已知/'(x)在x=0處可導(dǎo)，且/(0)=0,則lim'""':2/(/)=

x->0%

A-2/,(0)B-八0)C尸(0)D0

3.函數(shù)f(x)=ln|(x-l)(x-2)(x-3)|的駐點(diǎn)個數(shù)為

A0B1C2D3

4.微分方程/-方y(tǒng)=e^+(A>0)的特解形式為

Aa(e獨(dú)+「〃)Bax(e*+e-屁)Cx(aeZl+be-Zr)Dx2(ae^+)

5設(shè)函數(shù)/(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且/(x)>0J'(0)>0,則函數(shù)z=/(x)ln/(y)在點(diǎn)(0,0)處取得極小值的

一個充分條件

A/(0)>l，r(0)>0B/(0)>l，r(0)<0c/(0)<l，r(0)>0D/(0)<l，r(0)<0

6.設(shè)/=「Insinxdx,/=「Incotxdx,K=「Incosxdx則/、人K的大小關(guān)系是

JoJoJo

AI<J<KBI<K<JCJ<KKDK<J<I

7.設(shè)A為3階矩陣，將A的第二列加到第一列得矩陣B,再交換B的第二行與第一行得單位矩陣。記

1OO-1OO

召=111戶2=。。1

OOOO1O則A二

l

A66BP「'P?CP2P}DP^P]

8設(shè)4=(%,%，%，。4)是4階矩陣，卬是A的伴隨矩陣,若(1,0],0尸是方程組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系，則=0

的基礎(chǔ)解系可為

A%%Ba”%Ca^a2,a3D%，％，%

二填空題

「1+2'J

9.lim(----)x=__________

.so2

io.微分方程y'+y=e~xcos%滿足條件y(0)=。的解y=

X71

ii.曲線y=tantdt(Si<x<一)的弧長s=

JO4

12.設(shè)函數(shù)/(無)=

oj<o°^>0則fx于QQdx—

J-OO

13.設(shè)平面區(qū)域D由y=X,圓/+y2=2y及y軸所組成，則二重積分，孫設(shè)7=

D

X22f

14.二次型/'(%],工2/3)=\+3X2+X3+2中2+2國工3+2%2%3,則的正慣性指數(shù)為

三解答題

「ln(l+〃)力

15.已知函數(shù)尸(x)=工---------，設(shè)limF(x)=limF(x)=0,試求a的取值范圍。

a

XXT+8XTO+

I33

16.設(shè)函數(shù)尸y(x)有參數(shù)方程113_z+l，求尸y(x)的數(shù)值和曲線尸y(x)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。

I33

17.設(shè)z=/(盯,)％(外)，其中函數(shù)f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g(x)可導(dǎo)，旦在x=l處取得極值g(l)=l,求

擠Z

dxdyx=l,y=l

18.設(shè)函數(shù)y(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且曲線l:y=y(x)與直線y=x相切于原點(diǎn)，記a是曲線1在點(diǎn)(x,y)外切線的傾角

也=◎,求y(x)的表達(dá)式。

dxdx

19.證明：1)對任意正整數(shù)n,都有一!一<ln(l+!)<L

〃+1nn

2)設(shè)〃〃=1H----…T---Inn(n=1,2,...),證明｛〃〃｝收斂。

2n

1.-1

20.一容器的內(nèi)側(cè)是由圖中曲線繞y旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面，該曲面由/+丁=2義Z3),x2+y2=l(y4/)連接

而成。

(1)求容器的容積。

(2)若從容器內(nèi)將容器的水從容器頂部全部抽出，至少需要多少功？(長度單位:m；重力加速度為gm/s'水

的密度為lO'Ag/m')

21.已知函數(shù)f(x,y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f(1,y)=0,f(x,1)=0,j|f(x,y)dxdy=a,其中

D

ff

￡)={(%,y)|0<x<l,0<y<l},計(jì)算二重積分/=JJ砂J乃&，y)dxdy。

D

（22）（本題滿分II分）

r

設(shè)向量組%=（1,0,1）。a2=（0,1,l）,%=（1，3,5）,不能由向量組4=（覃?,

A=（123）丁,.=（3,4,a）7線性表示。

⑴求。的值;

（II）將瓦夕2,03用%以3線性表示。

’1P-ir

23.A為三階實(shí)矩陣，R(A)=2,且A00oo

「11,

求A的特征值與特征向量；(2)求A

2010年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題

一、選擇題：上8小題,每小題4分，共32分.下列每題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)符合題目要求的,請將所選

項(xiàng)前的字母填在寫題紙指定位置上.

(1)函數(shù)/(*)==￡Ji+與的無窮間斷點(diǎn)數(shù)為

x*-lVx23

(A)O.(B)l.(C)2.(D)3.[]

|(2)設(shè)M，”是一階線性非齊次微分方程)，'皿),=虱》)的兩個特解一若常數(shù)使/?+

〃乃是每方程的解，小】-〃”是對應(yīng)的會次方瘟的解、則

小“11E、.11

(A)(B)2=——.//=——.

212

(C).(D)?!=一?〃=二.[]

3333

(3)曲線y=./與曲線y=alnx(。/0)相切，則。=

(A)4e(B)3e(C)2e(D)e[]

(4)設(shè)是正整數(shù).則反常積分二吸土之比的收斂性:

(A)儀泡與值有關(guān)一(B)儀”與值有關(guān).

(C)與n"值都有關(guān).(D)與"1、"值都無關(guān)一

(5)設(shè)函數(shù)二=二8了)由方程F(工.三)=0確定，其中產(chǎn)為可微函數(shù)，11乃過.則

(A)X.(B)z.(C)-x.(D)-z.

n

⑹岑(n+i)(n2+j2)

(A)f'dvf1-----------(B)[drl-----------<h'.

JoJo(i+x)(l+y*)-J。Jo(l+x)(l+y)

(C)-----------dv.(D)fdxf1-----------

J。Jo(l+x)(l+y)-J。Jo(l+x)(l+y2)-

(7)一向)-1：的,理,…，如可由向量組五A，4，…,瓦線性表示,則列命題正確的是

(A)若向晶組I線性無關(guān)，則(B)若向員組I線性相關(guān)，則

(C)若向盤組II線性無關(guān)，則於s.(D)若向量組D線性相關(guān)，則「＞工[]

(8)設(shè)4為4階實(shí)對稱矩陣，1L4：\1=O一若a的秩為3,則a與相似于

二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答留紙指定位置上.

(9)3階常系數(shù)線性齊次澈分方程V-2/+y'-2y=0的通解為y=.

,X3

(10)曲線y=T—的漸近線方程為_____________.

X4-1

(11)函數(shù)y=In(1—2x)在x=0處的〃階導(dǎo)數(shù)ytni(0)=.

(12)當(dāng)好84萬時，對數(shù)螺線r=J的弧長為.

(13)已知一個長方形的長/以2cmis的速率增加，寬w以3cm/s的速率增加，則當(dāng)/=12cm,

w=5cm時，它的對角線增加的速率為.

(14)設(shè)4,5為3階矩陣,且|=3,|B|=2J4T鉆｝=2,則只+尸尸.

三、解答題：1J23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、

證明過程或演算步驟.

(15)(本題滿分10分)

求函數(shù)〃工)=「(/-"0城中的單調(diào)區(qū)間與極值.

(16)(本題滿分10分)

①比較口lnH[ln(l+r)]"dt與。”|111「的(”=1.2,7的大小，說明理由;

(II)記|lnr|[ln(l+r)]"dt(n=1,2,-),求極限linu/?.

JO

(17)(本題滿分11分)

F="+’所確定,

設(shè)函數(shù)y=/(*)由參數(shù)方程其中少?)具有2階導(dǎo)數(shù),

Iy="(f)

ci2y_3

11^(1)=^.沙'(1)=6.已知.求函數(shù)3⑴.

dx'4(1+/)

（18）（本題滿分10分）

一個高為/的柱體形貯油罐,底面是長軸為2。，短軸為"的橢圓，現(xiàn)將JT油罐平放,

當(dāng)油罐中油而高度為:b時（如圖），計(jì)算油的質(zhì)民

（長度單位為小質(zhì)顯單位為杷,油的密度為常數(shù)p袍/陽3）

【分析】先求油的體積，實(shí)際只需求橢圓的部分面積.

【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.則油罐底面橢圓

（19）（本題滿分11分）

F-〃尸一〃11

設(shè)函數(shù)〃=/（X..V）具有：階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足等式工了"+12意：+5彳"=0,確

c^u

定。.b的值，使等式在變換J=x+nv.〃=x+&y下化簡為-----=0.

(20)(本題滿分10分)

計(jì)算：取積分11r-sin8《1-產(chǎn)cos26drd6.其中D={(r.8)104r4sec80464.

(21)(本題滿分10分)

設(shè)函如㈤在閉區(qū)間［0,1］上連續(xù)，在開區(qū)間(0.1)內(nèi)可導(dǎo)，W)=0.證明：存在

gG(0.；).〃e4J),使得f'⑶f5AAj.

(22)(本題滿分11分)

fA1n"、

設(shè)4=0A—\Q.b=1.

J141

已知線性方程組4V=8存在2個不同的解,

(I)求加。:

(II)求方程組一的通解.

(23)(本題滿分11分)

'0-14'

設(shè)/=-13a,正交矩陣2使得0^。為對角矩陣，若。的第1列為求a

4a07

Q

2009年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題

一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選

項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).

(1)函數(shù)〃x)=土/一的可去間斷點(diǎn)的個數(shù)，則()

sinnx

(A)l.(8)2.(C)3.(Q)無窮多個.

(2)當(dāng)xr0時，/(力=工-51110%與8(元)=/111(1-/?氏)是等價無窮小，則()

a=1,/?=—.(fi)6Z=1,/?=—.(C)a=—l,b=—.(D)a=—l,b=—.

6666

(3)設(shè)函數(shù)z=/(x,y)的全微分為dz=Mx+〉Uy,則點(diǎn)(0,0)()

(A)不是〃x,y)的連續(xù)點(diǎn).(B)不是/.(x,y)的極值點(diǎn).

(C)是/(x,y)的極大值點(diǎn).(D)是/(x,y)的極小值點(diǎn).

(4)設(shè)函數(shù)連續(xù)，則J；dxJ"(x,y)cfy+［dy/'/(x,y)dx=()

(A)J/xJ：(B)J：公J：協(xié).

(C)粒.(。)

(5)若/"(x)不變號，且曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,1)上的曲率圓為尤2+),2=2,則“X)在區(qū)間(1,2)內(nèi)()

(A)有極值點(diǎn)，無零點(diǎn).(8)無極值點(diǎn)，有零點(diǎn).

(C)有極值點(diǎn)，有零點(diǎn).(。)無極值點(diǎn)，無零點(diǎn).

(6)設(shè)函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［-1,3］上的圖形為:

則函數(shù)f=力的圖形為()

0

（7）設(shè)A、B均為2階矩陣,A*,B*分別為A、B的伴隨矩陣。若|A|=2,|B|=3,則分塊矩陣的伴隨

Boj

矩陣為（)

035*、〈02B,、

(力).[f2A*

0,、3A*0>

「°3A*、f°2A*'

(0.

12B*⑵.(3B*

0，o>

(100)

(8)設(shè)A,P均為3階矩陣，P「為P的轉(zhuǎn)置矩陣，且P'AP=010,若

02,

則、人（^為（）

P=C匕2，?3),Q=(a{+a2,a2,%),

(210]<110、

110(6).120

2j

、°o02,

’20O'’100、

(O010(p).020

2j

、°o02,

二、填空題：9T4小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.

x=P"e-"'dM

(9)曲線|J0在(0,0)處的切線方程為

y=rln(2-r2)

(10)已知f+°°濟(jì)缶=1,則k=_______________

J—00

(11)limfsinnxdx=_______________

n-?coJ0

d2yl

(12)設(shè)丁二＞。)是由方程xy+"=冗+1確定的隱函數(shù)，則Tx_o=_______________

dx

(13)函數(shù)y=/在區(qū)間(0,1]上的最小值為

'200'

(14)設(shè)，為3維列向量，夕T為￡的轉(zhuǎn)置，若矩陣的丁相似于000,則

、000?

三、解答題：15—23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

(15)(本題滿分9分)求極限lim(i°sx)[x=(l+tanx)]

sinx

(16)(本題滿分10分)(x>0)

x

(17)(本題滿分10分)設(shè)z=/(x+y,x-y,孫)，其中,具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求廢與一-

dxdy

(18)(本題滿分10分)

設(shè)非負(fù)函數(shù)y=y(x)(x20)滿足微分方程盯"—y'+2=0,當(dāng)曲線y=y(x)過原點(diǎn)時，其與直線x=I及y=0

圍成平面區(qū)域。的面積為2,求。繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積。

(19)(本題滿分10分)求二重積分JJ(x-)，)及力，

D

其中。

(20)(本題滿分12分)

設(shè)＞=y（X）是區(qū)間（小，萬）內(nèi)過（一T云T，金7T）的光滑曲線，當(dāng)-乃＜X＜0時，曲線上任一點(diǎn)處的法線都過原點(diǎn)，當(dāng)

（）＜x＜萬時，函數(shù)y（x）滿足y"+y+x=O。求y（x）的表達(dá)式

（21）（本題滿分11分）

（I）證明拉格朗日中值定理：若函數(shù)“X）在［a,目上連續(xù)，在（a⑼可導(dǎo)，則存在使得

/伍）—〃a）=r（）Q—a）（II）證明：若函數(shù)〃x）在x=0處連續(xù)，在（0?）伍〉0）內(nèi)可導(dǎo)，且

lim/'（x）=A,則/（0）存在，且九'（O）=A。

"1-1-1、

（22）（本題滿分11分）設(shè)4=—111

,0-4—2,

（I）求滿足4。2=。，4、3=。的所有向量$，芻

（H）對（I）中的任一向量$,芻，證明：2片3線性無關(guān)。

（23）（本題滿分11分）設(shè)二次型/（/,々,％3）="苫：+0＜；+（0-1）4+2%%3-2%2%3

（I）求二次型/的矩陣的所有特征值；

（U）若二次型/的規(guī)范形為y：+￡,求。的值。

2008年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題

一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選

項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).

(1)設(shè)/(x)=/(%-l)(x-2),則/,(X)的零點(diǎn)個數(shù)為()

⑷0⑻L(C)2(D)3

(2)曲線方程為y=/(x)函數(shù)在區(qū)間［0,。］上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則定積分礦'(％心()

(A)曲邊梯形AB0D面積.

(8)梯形AB0D面積.

(C)曲邊三角形力面積.

(。)三角形ACO面積.

(3)在下列微分方程中，以)，=q/+C2cos2x+Gsin2x(為任意常數(shù))為通解的是()

(A)y"+y--4y-4)，=0⑻y”+y+4y+4y=0

(C)y"-y-4y+4y=0(￡>)y'-y+4y-4y=0

(5)設(shè)函數(shù)/(x)在(-8,+8)內(nèi)單調(diào)有界，｛%｝為數(shù)列，下列命題正確的是()

(A)若｛%｝收斂,則｛/*,,)｝收斂.(5)若｛%“｝單調(diào),則｛/(%)｝收斂.

(C)若｛/(%)｝收斂，則｛七｝收斂.(。)若｛/*.)｝單調(diào)，則｛當(dāng)｝收斂.

(6)設(shè)函數(shù)/連續(xù)，若產(chǎn)(〃#)=|W+)")dMy,其中區(qū)域03為圖中陰影部分，則竺=

出舊+y2加

(A)vf(u2)(5)-/(w2)八

U

(c)vf(u)(D)-f(u)產(chǎn)"2

u9+產(chǎn)1\

(7)設(shè)A為”階非零矩陣，E為〃階單位矩陣.若4=0,則()/

~~OX

(A)E—力不可逆，E+A不可逆.(8)E—A不可逆，E+A可逆.

(C)E—A可逆，E+A可逆.(O)E—A可逆，E+A不可逆.

(12、

(8)設(shè)4=，則在實(shí)數(shù)域上與A合同的矩陣為()

21

二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.

(9)已知函數(shù)/(x)連續(xù)，且lim'cos?(刈=],則/(())=____.

-0(e*-1)/(%)

(10)微分方程(>+%2"")公一》。=0的通解是>=.

(11)曲線sin(孫)+ln(y—x)=x在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為

2

(12)曲線y=(x-5)戶的拐點(diǎn)坐標(biāo)為.

(⑶設(shè)H.則孤尸一

(14)設(shè)3階矩陣A的特征值為2,34.若行列式12Al=-48,則4=—

三、解答題：15—23題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

[sinx-sin(sinx)]sinx

(15)(本題滿分9分)求極限lim

x->0x4

(16)(本題滿分10分)

JC2

八一—~2te~=0dy

設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程<確定，其中x(f)是初值問題〈力的解.求匕二.

}=)>(1+加，乩_。=0%

?Ixarcsinx,

(17)(本題滿分9分)求積分，0—,ax.

(18)(本題滿分11分)

求二重積分||max(iy,l)dxdy,其中￡)={(x,y)[0<x<2,0<y<2}

D

(19)(本題滿分11分)

設(shè)/(x)是區(qū)間[0,+oo)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增加函數(shù)，且/(0)=1.對任意的fe[0,+8),直線

x=0,x=f,曲線y=/(x)以及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周生成一旋轉(zhuǎn)體.若該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積在數(shù)值

上等于其體積的2倍，求函數(shù)/(x)的表達(dá)式.

(20)(本題滿分11分)

(1)證明積分中值定理：若函數(shù)/(x)在閉區(qū)間加上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)〃6[。,切，使得

rbp3

[/(x)公=/(〃)(〃—a)⑵若函數(shù)°(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足夕(2)>夕⑴,夕(2)>f(p(x)dx,證明至少存在一

JaJ2

點(diǎn)火(1,3),使得“@<0

(21)(本題滿分11分)

求函數(shù)〃=V+>2+/在約束條件Z=f+y2和x+y+z=4下的最大值與最小值.

(22)(本題滿分12分)

，2a1、

設(shè)矩陣A=0,現(xiàn)矩陣A滿足方程AX=B,其中X=(x”…,J，,8=(1,0,…,0),

、6r2。人.

(1)求證同=(〃+1””；

(2)。為何值，方程組有唯一解，并求玉；

(3)。為何值，方程組有無窮多解，并求通解.

(23)(本題滿分10分)

設(shè)A為3階矩陣，為4的分別屬于特征值-1」特征向量，向量%滿足A%=。2+。3，

(1)證明里,。2，。3線性無關(guān);

(2)令尸=，求尸-AP.

2007年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題

一、選擇題：1?10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選

項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).

(1)當(dāng)xf0+時，與五等價的無窮小量是

1+x

(A)l-e"(B)In(C)+y[x—1(D)1—COS'J~X]

1—y/x

(2)函數(shù)/(x)=4卑理『在[-萬,句上的第一類間斷點(diǎn)是工=[]

xex-e

k

7171

(A)0(B)1(C)——(D)—

22

(3)如圖，連續(xù)函數(shù)y=/(x)在區(qū)間[-3,-2],[2,3]上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間[-2,0],[0,2]

(4)設(shè)函數(shù)/(x)在x=0處連續(xù)，下列命題錯誤的是：

(A)若存在，則/(0)=0(B)若lim叢小上也存在，則/(0)=0.

x->0%XTOx

(C)若lim/^存在，則/'(0)=0(D)若lim'(x)一，(r)存在,則廣⑼二。

Xx->0%

[]

(5)曲線>=,+111(1+6*)的漸近線的條數(shù)為

(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.[]

(6)設(shè)函數(shù)/(x)在(0,+8)上具有二階導(dǎo)數(shù)，且/"(x)>0,令%,=/(〃)，則下列結(jié)論正確的是:

(A)若%>〃2，則｛4｝必收斂.(B)若%>的，則｛〃“｝必發(fā)散

(0若/<%，則｛〃“｝必收斂.⑻若/<的，則｛〃.｝必發(fā)散.[]

(7)二元函數(shù)/(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微的一個充要條件是[]

(A)limff(x,y)-f(O,O)]^O.

(內(nèi))T(0,0)L」

(B)]而〃羽°)一且礴/(°'/一△也=0.

x->0,v->0y

(C)lim小廠。，％.

(x.y)-^O.O)Jx2+y2

，

(D)lim[/v(x,0)-f：(0,0)]=0,且lim(0,y)-f；(0,0)]=0.

(8)設(shè)函數(shù)/(x,y)連續(xù)，則二次積分/(x,y)dy等于

J—Jsinx

(A)fdy「/(x,y)dx⑻fdy「./(x,y)dr

JOJ”+arcsinyJOJ^-arcsiny

pIf乃+arc$iny^-arc$iny

(C)[dyLf(x,y)dx三f(x,y)dx

2W2

(9)設(shè)向量組4,。2，。3線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是

線性相關(guān)，則

(A)ax-a2,a1—a3,ai-ay(B)ai+a2,a2+a3,a3+a.

(C)/一2a2，%—2%,a,—2al.(D)a]+2a2,a2+2a3,a3+2at.

'2-1-r'100、

(10)設(shè)矩陣A=-12-1,B=010,則A與8

、一1-12)、000,

(A)合同且相似(B)合同，但不相似.

(C)不合同，但相似.(D)既不合同也不相似[]

二、填空題：11?16小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.

,、arctanx-sinx

(11)hm---------------------=___________.

iox

~2

(12)曲線(*=cost+cos-'上對應(yīng)于『=￡的點(diǎn)處的法線斜率為________.

y=1+sinr4

(13)設(shè)函數(shù)y=—,則嚴(yán)＞(0)=_______.

2x+3

(14)二階常系數(shù)非齊次微分方程y"-4y'+3y=2e2x的通解為y=

(15)設(shè)是二元可微函數(shù)，z=f，則x絲一=

(xy)dxdy

‘0100、

0010

(16)設(shè)矩陣A=則的秩為

0001

、0000,

三、解答題：17?24小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

7T

(17)(本題滿分10分)設(shè)/(x)是區(qū)間0,-上單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)'且滿足事”

4C4

其中/T是/的反函數(shù)，求/(X).

(18)(本題滿分11分)

X

設(shè)。是位于曲線y=&-%(a〉l,04x<+oo)下方、x軸上方的無界區(qū)域.(I)求區(qū)域。繞x軸旋轉(zhuǎn)一

周所成旋轉(zhuǎn)體的體積K(a)；(II)當(dāng)。為何值時，V(a)最??？并求此最小值.

(19)(本題滿分10分)求微分方程)，"(x+y'2)=y’滿足初始條件y(l)=y'(l)=l的特解.

(20)(本題滿分11分)已知函數(shù)/(〃)具有二階導(dǎo)數(shù)，且/'(0)=1,函數(shù)y=y(x)由方程y—xe'T=1所確定,

dzd2z

設(shè)z=/(lny-sinx),求瓦x=0.

(21)(本題滿分11分)設(shè)函數(shù)/(x),g(尤)在可上連續(xù)，在他力)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值,

f\a)=g(a),f(b)=g(b),證明：存在欠Qb),使得/C)=g"G).

lxl+lyl<l

(22)(本題滿分11分)設(shè)二元函數(shù)f(x,y)1<g+1小2,計(jì)算二重積分y(x，y)db，其

中。={(x,y)|lxl+lyl?2).

(23)(本題滿分11分)

%1+x2+x3=0

設(shè)線性方程組《

%1+2X2+axy=Q與方程％+2々+芻=。-1有公共解，求a的值及所有公共解.

2

%+4X2+ax3=0

(24)(本題滿分11分)

設(shè)三階對稱矩陣A的特征向量值4=1,4=2,4=-2,4=(1,—IJ)1是A的屬于4的一個特征向量，記

J8=A5-4A3+￡,其中E為3階單位矩陣.

(I)驗(yàn)證四是矩陣8的特征向量，并求8的全部特征值與特征向量；

(II)求矩陣8.

2006年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題

一、填空題：1一6小題，每