-新教材高中數(shù)學(xué)第11章解三角形3第2課時余弦定理正弦定理的綜合應(yīng)用學(xué)案蘇教版必修第二冊

PAGEPAGE13第2課時余弦定理、正弦定理的綜合應(yīng)用一、單選題1．瑞云塔是福清著名的歷史文化古跡．如圖，一研究小組同學(xué)為了估測塔的高度，在塔底D和A，B(與塔底D同一水平面)處進(jìn)行測量，在點A，B處測得塔頂C的仰角分別為45°，30°，且A，B兩點相距91m，由點D看A，B的張角為150°，則瑞云塔的高度CD＝()A．91m B．13eq\r(21)mC．13eq\r(7)m D．91eq\r(3)m【解析】選C.設(shè)CD＝h，因為在點A，B處測得塔頂C的仰角分別為45°，30°，所以BD＝eq\r(3)h，AD＝h，因為AB2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos150°，所以912＝7h2，即h＝13eq\r(7)(負(fù)值舍去).2．如圖所示，為了測量A，B處島嶼的距離，小明在D處觀測，A，B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛40海里至C處，觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A，B兩處島嶼間的距離為()A．20eq\r(6)海里 B．40eq\r(6)海里C．20(1＋eq\r(3))海里D．40海里【解析】選A.在△ACD中，∠ADC＝15°＋90°＝105°，∠ACD＝30°，所以∠CAD＝45°，由正弦定理可得：eq\f(CD,sin∠CAD)＝eq\f(AD,sin∠ACD)，解得AD＝eq\f(CD·sin∠ACD,sin∠CAD)＝eq\f(40×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝20eq\r(2)，在Rt△DCB中，∠BDC＝45°，所以BD＝eq\r(2)CD＝40eq\r(2)，在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，由余弦定理可得：AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝800＋3200－2×20eq\r(2)×40eq\r(2)×eq\f(1,2)＝2400，解得AB＝20eq\r(6)海里．3．如圖所示，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高是60m，則河流的寬度BC等于()A.240(eq\r(3)－1)m B．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)m D．30(eq\r(3)＋1)m【解析】選C.如圖所示，在△ACD中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60m，所以CD＝AD·tan60°＝60eq\r(3)(m).在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，所以BD＝AD·tan15°＝60(2－eq\r(3))(m)，所以BC＝CD－BD＝60eq\r(3)－60(2－eq\r(3))＝120(eq\r(3)－1)(m).4．臺風(fēng)中心從A地以20km/h的速度向東北方向移動，離臺風(fēng)中心30km內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū)，城市B在A的正東40km處，B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為()A．0.5hB．1hC．1.5hD．2h【解析】選B.設(shè)A地東北方向上點P到B的距離為30km，AP＝xkm.在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·ABcosA，即302＝x2＋402－2x·40cos45°，化簡得x2－40eq\r(2)x＋700＝0.設(shè)該方程的兩根為x1，x2，則|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，|x1－x2|＝20km，即P1P2＝20km，故t＝eq\f(P1P2,v)＝eq\f(20,20)＝1(h).二、填空題5．甲、乙兩樓相距20米，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲、乙兩樓的高分別為________米、________米．【解析】如圖，過點C作CM⊥AB，垂足為依題意有甲樓的高度為AB＝20·tan60°＝20eq\r(3)(米)，又CM＝DB＝20米，∠CAM＝60°，所以AM＝CM·eq\f(1,tan60°)＝eq\f(20\r(3),3)米，故乙樓的高度為CD＝20eq\r(3)－eq\f(20\r(3),3)＝eq\f(40\r(3),3)(米).答案：20eq\r(3)eq\f(40\r(3),3)6．如圖，要測出山上石油鉆井的井架BC的高，從山腳A測得AC＝60m，井架頂B的仰角45°，井架底的仰角15°，則井架的高BC為________m.【解析】由題意得∠BAC＝45°－15°＝30°，∠ABC＝45°，且AC＝60m.在△ABC中，由正弦定理得eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AC,sinB)，即eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(60,sin45°)，解得BC＝30eq\r(2).答案：30eq\r(2)7．如圖，一棟建筑物AB高(30－10eq\r(3))m，在該建筑物的正東方向有一個通信塔CD.在它們之間的地面M點(B，M，D三點共線)測得對樓頂A、塔頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測得對塔頂C的仰角為30°，則通信塔CD的高為________m.【解析】由題意可知∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，由三角形內(nèi)角和定理可知∠ACM＝30°.在Rt△ABM中，sin∠AMB＝eq\f(AB,AM)?AM＝eq\f(AB,sin15°).在△ACM中，由正弦定理可知：eq\f(AM,sin∠ACM)＝eq\f(CM,sin∠CAM)，所以CM＝eq\f(AM·sin45°,sin30°)＝eq\f(AB·sin45°,sin15°·sin30°).在Rt△DCM中，sin∠CMD＝eq\f(CD,CM)，所以CD＝CM·sin60°＝eq\f(AB·sin45°,sin15°·sin30°)·sin60°＝60.答案：608．如圖，為了測量山坡上燈塔CD的高度，某人從高為h＝40的樓AB的底部A處和樓頂B處分別測得仰角為β＝60°，α＝30°，若山坡高為a＝32，則燈塔的高度是________．【解析】如圖，BN⊥DC于N，DC延長線交地面于M，則DN＝BNtanα，DM＝AMtanβ，而BN＝AM，所以BNtanβ－BNtanα＝h，即BN(tan60°－tan30°)＝40，BN＝eq\f(40,tan60°－tan30°)＝20eq\r(3)，所以DC＝DM－CM＝BNtan60°－32＝20eq\r(3)×eq\r(3)－32＝28.答案：28三、解答題9．為保障高考的公平性，高考時每個考點都要安裝手機(jī)屏蔽儀，要求在考點周圍1千米處不能收到手機(jī)信號，檢查員抽查某市一考點，在考點正西eq\r(3)千米有一條北偏東60°方向的公路，在此處檢查員用手機(jī)接通電話，以每小時12千米的速度沿公路行駛，問最長需要多少分鐘檢查員開始收不到信號，并至少持續(xù)多長時間該考點才算合格？【解析】如圖所示，考點為A，檢查開始處為B.設(shè)檢查員行駛到公路上C，D兩點之間時收不到信號，即公路上C，D兩點到考點的距離均為1千米．在△ABC中，AB＝eq\r(3)千米，AC＝1千米，∠ABC＝30°，由正弦定理得sin∠ACB＝eq\f(sin30°,AC)×AB＝eq\f(\r(3),2)，所以∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合題意)，所以∠BAC＝30°，所以BC＝AC＝1千米．在△ACD中，AC＝AD＝1千米，∠ACD＝60°，所以△ACD為等邊三角形，所以CD＝1千米．因為eq\f(BC,12)×60＝5，所以在BC上需5分鐘，CD上需5分鐘．所以最長需要5分鐘檢查員開始收不到信號，并持續(xù)至少5分鐘才算合格．10．根據(jù)國際海洋安全規(guī)定：兩國軍艦正常狀況下(聯(lián)合軍演除外)，在公海上的安全距離為20nmile(即距離不得小于20nmile)，否則違反了國際海洋安全規(guī)定．如圖，在某公海區(qū)域有兩條相交成60°的直航線XX′，YY′，交點是O，現(xiàn)有兩國的軍艦甲、乙分別在OX，OY上的A，B處，起初OA＝30nmile，OB＝10nmile，后來軍艦甲沿XX′的方向，乙軍艦沿Y′Y的方向，同時以40nmile/h的速度航行．(1)起初兩軍艦的距離為多少？(2)試判斷這兩艘軍艦是否會違反國際海洋安全規(guī)定？并說明理由．【解析】(1)連接AB，在△ABO中，由余弦定理得AB＝eq\r(100＋900－2×10×30×cos60°)＝10eq\r(7).所以起初兩軍艦的距離為10eq\r(7)nmile.(2)設(shè)t小時后，甲、乙兩軍艦分別運動到C，D，連接CD，當(dāng)0<t≤eq\f(3,4)時，CD＝eq\r(（30－40t）2＋（10＋40t）2－2（30－40t）（10＋40t）cos60°)＝10eq\r(48t2－24t＋7)，當(dāng)t>eq\f(3,4)時，CD＝eq\r(（40t－30）2＋（10＋40t）2－2（40t－30）（10＋40t）cos120°)＝10eq\r(48t2－24t＋7)，所以經(jīng)過t小時后，甲、乙兩軍艦距離CD＝10eq\r(48t2－24t＋7)(t>0)，因為CD＝10eq\r(48t2－24t＋7)＝10eq\r(48\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,4)))2＋4)，因為t>0，所以當(dāng)t＝eq\f(1,4)時，甲、乙兩軍艦距離最小為20nmile.所以甲、乙這兩艘軍艦不會違法國際海洋安全規(guī)定．一、選擇題1．小華想測出操場上旗桿OA的高度，在操場上選取了一條基線BC，請從測得的數(shù)據(jù)①BC＝12m，②B處的仰角為60°，③C處的仰角為45°，④cos∠BAC＝eq\f(3\r(6),8)，⑤∠BOC＝30°中選取合適的，計算出旗桿的高度為()A．10eq\r(3)mB．12mC．12eq\r(2)mD．12eq\r(3)m【解析】選D.設(shè)旗桿的高度OA＝h.選①②③⑤，則OC＝h，OB＝eq\f(h,\r(3))，在△BOC中，由余弦定理得BC2＝OB2＋OC2－2OB·OC·cos∠BOC，即122＝h2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,\r(3))))2－2·h·eq\f(h,\r(3))·eq\f(\r(3),2)，解得h＝12eq\r(3)；選①②③④，則AB＝eq\f(2,\r(3))h，AC＝eq\r(2)h，在△BAC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，即122＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)h))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2h,\r(3))))2－2·eq\r(2)h·eq\f(2h,\r(3))·eq\f(3\r(6),8)，解得h＝12eq\r(3).2．春秋以前中國已有“抱甕而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊桿——桔槔，后發(fā)展成轆轤.19世紀(jì)末，由于電動機(jī)的發(fā)明，離心泵得到了廣泛應(yīng)用，為發(fā)展機(jī)械提水灌溉提供了條件．如圖所示為灌溉抽水管道在等高圖的上垂直投影，在A處測得B處的仰角為37度，在A處測得C處的仰角為45度，在B處測得C處的仰角為53度，A點所在等高線值為20米，若BC管道長為50米，則B點所在等高線值為()eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(參考數(shù)據(jù)sin37°≈\f(3,5)))A.30米B．50米C．60米D．70米【解析】選B.由題意，作出示意圖如圖所示，由已知，BC＝50，∠CAE＝45°，∠BAE＝37°，∠CBF＝53°.設(shè)BD＝x，則AD＝eq\f(BD,tan37°)＝eq\f(BDcos37°,sin37°)＝eq\f(4,3)x，CF＝BCsin53°＝50cos37°≈50×eq\f(4,5)＝40，BF＝BCcos53°＝50sin37°≈50×eq\f(3,5)＝30，所以由AE＝CE，得eq\f(4,3)x＋30＝x＋40，解得x＝30，又A點所在等高線值為20米，故B點所在等高線值為20＋30＝50米．3．如圖，跳傘塔CD高h(yuǎn)，在塔頂C測得地面上兩點A，B的俯角分別是α，β，又測得∠ADB＝γ.已知h＝50，α＝45°，β＝60°，γ＝30°，則AB的長為()A.eq\f(25\r(3),3) B．eq\f(50\r(3),3)C．eq\f(75\r(3),3) D．eq\f(10\r(3),3)【解析】選B.根據(jù)已知，CD＝h，因為在△ACD中，∠CAD＝α＝45°，所以AD＝CD＝h，在△BCD中，∠CBD＝β＝60°，所以eq\f(CD,BD)＝tan60°，所以BD＝eq\f(CD,tan60°)＝eq\f(\r(3),3)h，所以在△BDA中，由余弦定理得，AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB＝h2＋eq\f(1,3)h2－2×h×eq\f(\r(3),3)h×cosγ，故AB2＝eq\f(1,3)h2，故AB的長為eq\f(\r(3),3)h＝eq\f(50\r(3),3).4．(多選)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a∶b∶c＝4∶5∶6，則下列結(jié)論正確的是()A．sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6B．△ABC是鈍角三角形C．△ABC為直角三角形D．若c＝6，則△ABC外接圓半徑為eq\f(8\r(7),7)【解析】選AD.由a∶b∶c＝4∶5∶6，可設(shè)a＝4m，b＝5m，c＝6m(m>0)，根據(jù)正弦定理可知sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，故A正確；因為cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(16m2＋25m2－36m2,2×4m×5m)＝eq\f(1,8)>0，故最大角C為銳角，故BC錯誤；若c＝6，可得2R＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(6,\r(1－\f(1,64)))＝eq\f(16\r(7),7)，所以△ABC外接圓半徑為eq\f(8\r(7),7)，故D正確．二、填空題5．《九章算術(shù)》中記載了一個“折竹抵地”問題，今年超強(qiáng)臺風(fēng)“山竹”登陸時再現(xiàn)了這一現(xiàn)象(如圖所示)，不少大樹被大風(fēng)折斷．某路邊一樹干被臺風(fēng)吹斷后(沒有完全斷開)，樹干與底面成75°角，折斷部分與地面成45°角，樹干底部與樹尖著地處相距10米，則大樹原來的高度是______米(結(jié)果保留根號).【解析】如圖所示，設(shè)樹干底部為O，樹尖著地處為B，折斷點為A，則∠AOB＝75°，∠ABO＝45°，所以∠OAB＝60°.由正弦定理知eq\f(AO,sin45°)＝eq\f(AB,sin75°)＝eq\f(10,sin60°)，所以O(shè)A＝eq\f(10\r(6),3)(米)，AB＝eq\f(15\r(2)＋5\r(6),3)(米)，所以O(shè)A＋AB＝5eq\r(2)＋5eq\r(6)(米).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5\r(2)＋5\r(6)))6．已知臺風(fēng)中心位于城市A東偏北α(α為銳角)度的150公里處，以v公里/小時沿正西方向快速移動，2.5小時后到達(dá)距城市A西偏北β(β為銳角)度的200公里處，若cosα＝eq\f(3,4)cosβ，則v＝________．【解析】畫出圖象如圖所示，由余弦定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2.5v))2＝2002＋1502＋2×200×150coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋β))①，由正弦定理得eq\f(150,sinβ)＝eq\f(200,sinα)，sinα＝eq\f(4,3)sinβ.由sin2α＋cos2α＝1，解得sinβ＝eq\f(3,5)，故cosβ＝eq\f(4,5)，sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，故coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋β))＝eq\f(12,25)－eq\f(12,25)＝0，代入①解得v＝100.答案：1007．在某次軍事演習(xí)中，紅方為了準(zhǔn)確分析戰(zhàn)場形勢，在兩個相距為eq\f(\r(3),2)a的軍事基地C和D測得藍(lán)方兩支精銳部隊分別在A處和B處，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如圖所示，求藍(lán)方這兩支精銳部隊之間的距離為______．【解析】方法一：因為∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又∠DCA＝60°，所以∠DAC＝60°.所以AD＝CD＝AC＝eq\f(\r(3),2)a.在△BCD中，∠DBC＝45°，因為eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(CD,sin45°)，所以BC＝eq\f(\r(6),4)a.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos45°＝eq\f(3,4)a2＋eq\f(3,8)a2－2×eq\f(\r(3),2)a×eq\f(\r(6),4)a×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,8)a2，所以AB＝eq\f(\r(6),4)a.所以藍(lán)方這兩支精銳部隊之間的距離為eq\f(\r(6),4)a.方法二：由題意可得△ADC為正三角形，且BD垂直平分AC，所以AC＝CD＝eq\f(\r(3),2)a，AB＝BC＝eq\r(2)×eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(6),4)a.答案：eq\f(\r(6),4)a8．我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在其《海島算經(jīng)》中給出了著名的望海島問題及二次測望方法：今有望海島，立兩表，齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直．從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合．從后表卻行一百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合．問島高及去表各幾何？這一方法領(lǐng)先印度500多年，領(lǐng)先歐洲1300多年．其大意為：測量望海島PQ的高度及海島離岸距離，在海岸邊立兩根等高的標(biāo)桿AB，CD(PQ，AB，CD共面，均垂直于地面)，使目測點E與P，B共線，目測點F與P，D共線，測出AE，CF，AC即可求出島高和距離(如圖).若AB＝CD＝r，AE＝a，CF＝b，EF＝d，則PQ＝________；EQ＝________．【解析】設(shè)∠AEB＝α，∠CFD＝β，則tanα＝eq\f(r,a)，tanβ＝eq\f(r,b)，在△PEF中，eq\f(PE,sinβ)＝eq\f(EF,sin（α－β）)，所以PE＝eq\f(EFsinβ,sin（α－β）)＝eq\f(dsinβ,sin（α－β）)，所以PQ＝PE·sinα＝eq\f(dsinαsinβ,sin（α－β）)＝eq\f(dsinαsinβ,sinαcosβ－cosαsinβ)＝eq\f(dtanαtanβ,tanα－tanβ)＝eq\f(d·\f(r2,ab),\f(r,a)－\f(r,b))＝eq\f(dr,b－a)，EQ＝PE·cosα＝eq\f(dcosαsinβ,sin（α－β）)＝eq\f(dcosαsinβ,sinαcosβ－cosαsinβ)＝eq\f(dtanβ,tanα－tanβ)＝eq\f(d·\f(r,b),\f(r,a)－\f(r,b))＝eq\f(da,b－a).答案：eq\f(dr,b－a)eq\f(da,b－a)三、解答題9．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝eq\r(3)，BC＝1，P為△ABC內(nèi)一點，∠BPC＝90°.(1)若PB＝eq\f(1,2)，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.【解析】(1)由已知得，∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°，在△ABP中，由余弦定理得PA2＝3＋eq\f(1,4)－2×eq\r(3)×eq\f(1,2)cos30°＝eq\f(7,4)，所以PA＝eq\f(\r(7),2)(負(fù)值舍去).(2)設(shè)∠PBA＝α，所以∠PCB＝α，PB＝sinα.在△PBA中，由正弦定理得，eq\f(\r(3),sin150°)＝eq\f(sinα,sin（30°－α）)，化簡得eq\r(3)cosα＝4sinα，所以tanα＝eq\f(\r(3),4)，即tan∠PBA＝eq\f(\r(3),4).10．如圖，某公園內(nèi)有兩條道路AB，AP，現(xiàn)計劃在AP上選擇一點C，新建道路BC，并把△ABC所在區(qū)域改造成綠化區(qū)域，已知∠BAC＝eq\f(π,6)，AB＝2km.(1)若綠化區(qū)域△ABC的面積為1km2，求道路BC的長度；(2)綠化區(qū)域△ABC每平方千米的改造費用與新建道路BC每千米修建費用都是∠ACB的函數(shù)，其中綠化區(qū)域△ABC改造費用為y1＝10sin∠ACB(單位：萬元/平方千米)，新建道路BC新建費用為y2＝5sin2∠ACB(單位：萬元/千米)，設(shè)∠ABC＝θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ≤\f(2π,3)))，某工程隊承包了該公園的綠化區(qū)域改造與新道路修建，已知綠化區(qū)域改造費與道路新建費用越高，則工程隊所獲利潤也越高，試問當(dāng)θ為何值時，該工程隊獲得最高利潤？【解析】(1)因為綠化區(qū)域△ABC的面積為1km2，所以eq\f(1,2)·AC·AB·sin∠BAC＝1.因為AB＝2，∠BAC＝eq\f(π,6)，所以eq\f(1,2)·AC·2·sineq\f(π,6)＝1，得AC＝2，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝4＋4－2×2×2×eq\f(\r(3),2)＝8－4eq\r(3)，所以BC＝eq\r(8－4\r(3))＝eq\r(6)－eq\r(2)，即BC的長度為