黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)青岡實(shí)驗(yàn)中學(xué)校2020-2021學(xué)年高二10月月考數(shù)學(xué)（理）試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)青岡實(shí)驗(yàn)中學(xué)校2020-2021學(xué)年高二10月月考數(shù)學(xué)（理）試題含解析哈師大青岡實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020—2021學(xué)年度10月份考試高二學(xué)年數(shù)學(xué)（理）試題一?選擇題1。已知，，若，則（）A.4 B。3 C。 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)及、的坐標(biāo),應(yīng)用坐標(biāo)表示向量垂直即可求參數(shù)【詳解】由,，有解得故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，利用已知向量坐標(biāo)及垂直關(guān)系有求參數(shù)值2。在中，角所對(duì)的邊分別為，若,則(）A.2 B。3 C。4 D.【答案】C【解析】【分析】由正弦定理求解即可.【詳解】由正弦定理可知，則故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題。3.已知，且，則的最小值為（）A.8 B。9 C.6 D。7【答案】B【解析】【分析】由題意,根據(jù)，結(jié)合基本不等式，即可求出結(jié)果。【詳解】因?yàn)?，且，所?當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí),等號(hào)成立，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查由基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題型.4.如圖所示,三棱臺(tái)中，沿面截去三棱錐，則剩余部分是（)A.三棱錐 B。四棱錐 C.三棱臺(tái) D。四棱臺(tái)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)棱錐的定義和空間結(jié)合體的結(jié)構(gòu)特征，即可求解，得到答案.【詳解】由題意知，三棱臺(tái)中，沿面截去三棱錐，則剩余部分是四棱錐，故選B?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了棱錐的定義及其判定，其中解答中熟記棱錐的定義，以及空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.5.設(shè)m，n是兩條不同直線，，是兩個(gè)不同平面，則下列說法錯(cuò)誤的是(）A。若,,則； B。若，，則；C.若，，則； D。若，，則．【答案】C【解析】【分析】直接由直線平面的定理得到選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng),m，n可能平行、相交或異面，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，與內(nèi)一直線l,所以，因?yàn)閘為內(nèi)一直線，所以．所以該選項(xiàng)正確。【詳解】對(duì)于選項(xiàng),若,，則，所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng),若，,則,所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，若，，則m，n可能平行、相交或異面，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng),若，，則與內(nèi)一直線l，所以，因?yàn)閘為內(nèi)一直線，所以．所以該選項(xiàng)正確.故選:C．【點(diǎn)睛】本題主要考查空間直線平面位置關(guān)系的判斷，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.6.在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長(zhǎng)安至齊,齊去長(zhǎng)安一千一百二十五里,良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊,復(fù)還迎駑馬，二馬相逢．問：幾日相逢？()A。16日 B。12日 C.9日 D。8日【答案】C【解析】【詳解】解:由題可知，良馬每日行程an構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為103，公差13的等差數(shù)列，駑馬每日行程bn構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為97，公差為﹣0。5的等差數(shù)列，則an＝103+13（n﹣1）＝13n+90，bn＝97﹣0.5（n﹣1）＝97。5﹣0.5n，則數(shù)列{an}與數(shù)列{bn｝的前n項(xiàng)和為1125×2＝2250，又∵數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和為（103+13n+90）（193+13n），數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為（97+97.5﹣0.5n）(194.5n），∴（193+13n）（194。5n）＝2250，整理得：25n2+775n﹣9000＝0，即n2+31n﹣360＝0，解得：n＝9或n＝﹣40（舍）,即九日相逢．故選C點(diǎn)睛：本題以數(shù)學(xué)文化為背景,考查等差數(shù)列，考查轉(zhuǎn)化思想，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．7。給出下列命題：①有兩個(gè)面互相平行且是全等的三角形，其余各面都是四邊形,且相鄰兩四邊形的公共邊互相平行，由這些面所圍成的封閉幾何體是三棱柱；②有一個(gè)面是五邊形,其余各面都是有公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的封閉幾何體一定是五棱錐;③有兩個(gè)面是互相平行且相似的矩形（不全等），其余各面都是梯形，由這些面所圍成的封閉幾何體一定是四棱臺(tái)。其中正確的命題是（)A。②③ B.①② C.①③ D.①②③【答案】B【解析】【分析】①根據(jù)棱柱的定義進(jìn)行判斷；②根據(jù)棱錐的定義進(jìn)行判斷；③根據(jù)棱臺(tái)的定義進(jìn)行判斷．【詳解】①由棱柱的定義知①正確；②由棱錐的定義知②正確；③棱臺(tái)是由平行于底面的棱錐所截得的,有兩個(gè)面是互相平行且相似的矩形(不全等），其余各面都是梯形，四條側(cè)棱不一定交于一點(diǎn)，則③不一定是四棱臺(tái),故③錯(cuò)誤；故正確的是①②；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查命題真假判斷，結(jié)合棱柱,棱錐，棱臺(tái)的定義是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．8。已知三棱柱ABC。A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形．若P為底面A1B1C1的中心,則PA與平面ABC所成角的大小為(）A. B。 C。 D?！敬鸢浮緽【解析】試題分析:由題意知底面積為，體積，所以，設(shè)是棱柱高，則是底面的中心,從而，又為直線和平面所成的角，所以，，故選B．考點(diǎn)：直線與平面所成的角．9.魯班鎖（也稱孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方）起源于古代中國建筑的榫卯結(jié)構(gòu).這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙.魯班鎖類玩具比較多，形狀和內(nèi)部的構(gòu)造各不相同，一般都是易拆難裝。如圖1，這是一種常見的魯班鎖玩具，圖2是該魯班鎖玩具的直觀圖，每條棱的長(zhǎng)均為2,則該魯班鎖的表面積為（)A. B。 C。 D.【答案】A【解析】【分析】該魯班鎖玩具可以看成是一個(gè)正方體截去了8個(gè)正三棱錐所余下來的幾何體，然后按照表面積公式計(jì)算即可.【詳解】由題圖可知，該魯班鎖玩具可以看成是一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體截去了8個(gè)正三棱錐所余下來的幾何體,且被截去的正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為，則該幾何體的表面積為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)文化與簡(jiǎn)單幾何體的表面積,考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力。10.三棱柱中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A。 B。 C. D。【答案】B【解析】【分析】設(shè),,，根據(jù)向量線性運(yùn)算法則可表示出和；分別求解出和，,根據(jù)向量夾角的求解方法求得，即可得所求角的余弦值?！驹斀狻吭O(shè)棱長(zhǎng)為1,，，由題意得：，，,又即異面直線與所成角的余弦值為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的求解,關(guān)鍵是能夠通過向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算將問題轉(zhuǎn)化為向量夾角的求解問題。11。在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為棱、的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（)A。 B。 C. D.【答案】D【解析】【分析】由幾何體為正方體，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸,DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面D1EF的法向量,結(jié)合向量的點(diǎn)到平面距離公式求得點(diǎn)M到平面D1EF的距離，結(jié)合N為EM中點(diǎn)即可求解【詳解】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系，則M（2，λ,2），D1（0，0，2)，E（2，0，1），F(xiàn)（2，2，1），＝(﹣2，0,1)，＝(0，2,0），＝(0，λ，1)，設(shè)平面D1EF的法向量＝（x,y，z），則，取x＝1，得＝（1,0，2)，∴點(diǎn)M到平面D1EF的距離為：d＝,N為EM中點(diǎn),所以N到該面的距離為故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查利用向量法求解點(diǎn)到平面距離,建系法與數(shù)形結(jié)合是解題關(guān)鍵,屬于中檔題12。如圖，在長(zhǎng)方體中，,,，E?F分別為棱?的中點(diǎn)。動(dòng)點(diǎn)P在長(zhǎng)方體的表面上，且,則點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為（)A。 B。 C. D?！敬鸢浮緼【解析】【分析】作出過點(diǎn),點(diǎn)的平面，使得平面，此時(shí)的軌跡即為平面與長(zhǎng)方體表面的交線,據(jù)此可求解出軌跡的長(zhǎng)度.【詳解】連接，過作交于點(diǎn),過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，如下圖所示：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面，所以，又因?yàn)?，且，所以平?所以的軌跡為，因?yàn)椋钥芍?，所?所以,所以，又因?yàn)?所以四邊形為平行四邊形,所以，所以的軌跡長(zhǎng)度為：，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的綜合應(yīng)用,涉及到求解點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度問題，對(duì)學(xué)生的分析與轉(zhuǎn)化能力要求較高，難度較難。二、填空題13.已知直線l的斜率為2,且經(jīng)過點(diǎn)，則直線l的一般式方程為_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程求出之后再化為一般是方程即可得答案.【詳解】解：因?yàn)橹本€l的斜率為2，且經(jīng)過點(diǎn)，所以直線l的方程為,即．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線的點(diǎn)斜式方程，一般式方程，是基礎(chǔ)題.14。圓的圓心到直線的距離為1,則________【答案】【解析】【分析】求出圓心坐標(biāo)，代入點(diǎn)到直線距離方程，解得答案．【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為：,故圓心到直線的距離,解得：，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查知識(shí)點(diǎn)是圓的一般方程，點(diǎn)到直線的距離公式．15.已知圓柱底面直徑與高都等于球的直徑，若該球的表面積為,則圓柱的側(cè)面積為_____．【答案】.【解析】【分析】先由球的表面積為求出球的半徑，然后由圓柱的側(cè)面積公式算出即可【詳解】因?yàn)榍虻谋砻娣e所以所以圓柱的底面直徑與高都為所以圓柱的側(cè)面積:故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是空間幾何體表面積的算法，較簡(jiǎn)單。16。如圖,矩形中，，為邊的中點(diǎn)。將沿直線翻折成（點(diǎn)不落在底面內(nèi)),若在線段上(點(diǎn)與，不重合)，則在翻轉(zhuǎn)過程中，以下命題正確的是___________(把正確的序號(hào)寫在橫線上)（1）存在某個(gè)位置，使（2)存在點(diǎn)，使得平面成立（3)存在點(diǎn),使得平面成立（4)四棱錐體積最大值為【答案】(3)（4)【解析】【分析】利用反證法可得（1)（2)錯(cuò)誤,取為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)為，連接，可證明平面，當(dāng)平面平面時(shí)，四棱錐體積最大值,利用公式可求得此時(shí)體積為?！驹斀狻咳鐖D（1），取的中點(diǎn)為，連接,則，,故，故即．若，因?yàn)?，故，而，故平面，因?yàn)槠矫?，故，矛盾，故?)錯(cuò)．若平面，因?yàn)槠矫?，故，因?yàn)椋?故平面，因?yàn)槠矫?，故，?矛盾，故(2）錯(cuò)．當(dāng)平面平面時(shí)，四棱錐體積最大值，由前述證明可知，而平面平面，平面，故平面，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，故,又四邊形的面積為,故此時(shí)體積為，故（4）正確．對(duì)于(3），如圖（2），取為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)為，連接，則,而，故即四邊形為平行四邊形，故，因?yàn)槠矫?，平面，故平?故（3）正確．故答案：（3）（4)。【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中的折疊問題，注意對(duì)于折疊后點(diǎn)線面的位置的判斷，若命題的不成立，往往需要利用反證法來處理，本題屬于難題。三?解答題17.已知圓C過三點(diǎn)，，，圓C的方程;【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓的對(duì)稱性由兩點(diǎn),可得圓心在上，從而設(shè)出圓心坐標(biāo),再由，到圓心的距離等于半徑列出等式，得出圓C的方程.【詳解】因?yàn)閳A過點(diǎn)，故圓心在上設(shè)圓心坐標(biāo)，則，解得.故其半徑.故圓方程為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了由圓上三點(diǎn)求圓的方程，屬于中檔題.18.已知，，。（1)求與的夾角；(2）求.【答案】（1）(2)【解析】【分析】（1)由已知可以求出的值,進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的夾角公式，求出，進(jìn)而得到向量與的夾角；（2）要求，我們可以根據(jù)(1）中結(jié)論，先求出的值，然后開方求出答案．【詳解】(1)，，，，∴，∴，∴向量與的夾角。（2），。【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角、向量的模，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力．19.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知．(1)求角C的大小(2）若，的面積為，求的周長(zhǎng)．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得值,結(jié)合范圍,即可得解的值．（Ⅱ）利用正弦定理及面積公式可得，再利用余弦定理化簡(jiǎn)可得值,聯(lián)立得從而解得周長(zhǎng)．【詳解】（Ⅰ）由正弦定理,得,在中，因?yàn)?，所以故，又因?yàn)?＜C＜，所以．（Ⅱ）由已知，得.又,所以.由已知及余弦定理,得，所以，從而.即又，所以的周長(zhǎng)為?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．20.如圖所示，在四棱錐中,底面是且邊長(zhǎng)為的菱形，側(cè)面為正三角形，其所在平面垂直于底面。（1）若為邊的中點(diǎn),求證:平面。（2）求證:.（3）若為邊的中點(diǎn)，能否在上找出一點(diǎn)，使平面平面？【答案】（1）見解析；（2)見解析；（3）見解析【解析】【分析】（1）證明,利用面面垂直的性質(zhì)即可證明（2)證平面即可得(3）存在點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，證明平面，即可證出平面平面.【詳解】證明:連接，，因?yàn)槭堑冗吶切危瑸檫叺闹悬c(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，所以．因?yàn)樗倪呅问橇庑?所以．又因?yàn)?，所以是等邊三角形，所以．又因?yàn)椋?所以平．（2)證明:因?yàn)?，，所以平面．又因?yàn)槠矫?，所以．?)存在點(diǎn)，且為的中點(diǎn)．證明如下：連接交于,連接，因?yàn)榍?又,分別是，的中點(diǎn)，連接，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以．又因?yàn)?所以．由（1）知平面，所以平面．又平面，所以平面平面．【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)、判定,線面垂直的判定、性質(zhì),屬于中檔題。21.已知數(shù)列滿足。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；(2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)對(duì)一切正整數(shù)恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍?！敬鸢浮?1）;（2）.【解析】分析】（1）先求出,再用錯(cuò)位相減法求出時(shí)的，再檢驗(yàn)是否符合，進(jìn)而求出；(2）首先根據(jù)(1）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求出數(shù)列的前項(xiàng)和；又因?yàn)檫f增，所以對(duì)一切正整數(shù)恒成立等價(jià)于，即,進(jìn)而求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，,所以，當(dāng)時(shí)，①，②，由①②得，所以，當(dāng)時(shí)也符合此式,綜上可知.（2)因?yàn)?，所?所以③，④，由③④得:所以,又因?yàn)?，所以的最小值?所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是?！军c(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列前和的求解，以及數(shù)列與不等式的結(jié)合等問題，考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題型。22。在四棱錐中,平面,，，，,，是的中點(diǎn)，在線段上，且滿足.（1)求證:平面；（2）求二面角的余弦值；（3）在線段上是否存在點(diǎn),使得與平面所成角的余弦值是