2023年高三復(fù)習(xí)專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)：第64練　空間向量的概念與運(yùn)算

第64練空間向量的概念與運(yùn)算

基礎(chǔ)對(duì)立練

考點(diǎn)一空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算

1.已知空間四邊形0A8C中，點(diǎn)M在線(xiàn)段04上，且0M=2A/A,點(diǎn)N為8c的中點(diǎn)，設(shè)總

=a,0B=b,OC^c,則而V等于（）

1.1,2?2.1,.1

AA.;：。十二力——二cB.——二〃十二力十二c

223322

-12,J-2?2,1

C.二。一9十二。D.二。十9一二c

232332

答案B

-2

解析因?yàn)辄c(diǎn)M在線(xiàn)段0A上，且0M=2MA,所以0M=§〃，

又點(diǎn)N為8C的中點(diǎn)，所以蘇

故血=而一血=,+子一鏟=_藜+#>+尹

2.（2022?宜春模擬）設(shè)0-ABC是正三棱錐，Gi是△ABC的重心，G是OGi上的一點(diǎn)，且

0G=3GGi,若灰;=x5A+y勵(lì)+z詼，則（x,y.2）為（）

工1133

A--B-

4444-4

嗚rI）

答案A

解析如圖所示，連接AGi并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)M,則M為BC的中點(diǎn),

—?1-A―?I―A—A-A-A2-?|-?-?-?

AM=5(AB+A0=5(OB—204+00,AGi=-AM=-(0B-20A+0C).

：0G=3GGi,.?.dG=3GGi-3(dGl-(9G),

???云=海

則db=(ddi=((/+/D

=\oA+\oB+\oC,

444

.111

??尸“產(chǎn)"z=[

考點(diǎn)二空間向量基本定理及其應(yīng)用

3.下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（）

①若〃與6共線(xiàn)，匕與c共線(xiàn)，則a與c共線(xiàn)；

②向量dh,c共面，即它們所在的直線(xiàn)共面；

③如果三個(gè)向量a,。，c不共面，那么對(duì)于空間任意一個(gè)向量p,存在有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）,

使得p=xa+M+zc；

④若a,〃是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，而c=%a+“b（，，“GR且加WO）,則｛a,b,c｝是空間向量

的一個(gè)基底.

A.0B.1C.2D.3

答案B

解析①當(dāng)5=0時(shí)，a與c不一定共線(xiàn)，故①錯(cuò)誤；

②當(dāng)a,b,c共面時(shí)，它們所在的直線(xiàn)平行于同一平面或在同一平面內(nèi)，故②錯(cuò)誤；

由空間向量基本定理知③正確；

④當(dāng)“，8不共線(xiàn)且c=%a+〃b（2,且時(shí)，a,b,c共面，故④錯(cuò)誤.

4.（2022?廈門(mén)一中模擬）已知?jiǎng)狱c(diǎn)。在AABC所在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若對(duì)于空間中任意一點(diǎn)P,

都有麗=一2麗+5而+相1,則實(shí)數(shù)機(jī)的值為（）

A.0B.2C.-1D.-2

答案B

解析因?yàn)樗?-2說(shuō)+5而一，〃正，

動(dòng)點(diǎn)Q在AABC所在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，

所以-2+5—m—1,解得nj=2.

考點(diǎn)三空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用

5.（多選）已知點(diǎn)P是平行四邊形Afi。所在的平面外一點(diǎn)，如果值=（2,-1,-4）,Q）=

（4,2,0）,AP=（~\,2,-1）,下列結(jié)論正確的有（）

KAPLAB

B.APIAD

C.亦是平面ABCD的一個(gè)法向量

D.AP//BD

答案ABC

解析由題意，向量檢=(2,-1,-4),瓶=(4,2,0),崩=(—1,2,-1),

對(duì)于A,由成.嬴=2X(—l)+(-l)X2+(-4)X(—l)=0,可得Akh筋，所以A正確；

對(duì)于B,由泰仄b=(-l)X4+2X2+(—1)義0=0,所以崩_1?。?所以B正確；

對(duì)于c,由贏且AkrQ),可得向量能是平面ABC。的一個(gè)法向量，所以c正確；

對(duì)于D,由還是平面ABC。的一個(gè)法向量，可得崩，而，所以D不正確.

6.(2022.長(zhǎng)治市第二中學(xué)月考)如圖，60。的二面角的棱上有A,B兩點(diǎn)，直線(xiàn)4C,8。分別

在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB,已知AC=6,AB=4,BD=8,則CD的長(zhǎng)

為()

A.V17B.7C.2布D.9

答案C

解析因?yàn)?C_L4B,BD1AB,所以①?贏=0,BDAB=0,因?yàn)槎娼菫?0。，所以就?訪

=|而一|彷|<os60o=6X8X；=24,即N?命=-24,所以|比|2=加2=(N+施+礪)2=

CA2+^2+Bb1+2CAA^+2CABb+2A^Bb^\CA\2+\AB\2+\Bb\2+2(CAA^+CABb+

ABBD)=36+16+64+0—48+0=68,

所以|無(wú)|=2而，即CD的長(zhǎng)為2折.

7.已知”=(5,3,1),6=(—2,f,一|),且a與方的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為

答案J一凱《0)

解析由已知得。?)=5X(—2)+3f+1義(—,)=3/一弓.

因?yàn)?。與力的夾角為鈍角，所以〃6Vo且(〃，b)W180。.

5752

由ab<0,得3Z——<0,所以Z<—.

若a與8的夾角為180。，則存在2<0,使。=油(2<0),

即(5,3,1)=4一2,/,一|),

’5=4?(—2),

所以

尸(-”

解得即且樣一去

所以f的取值范圍是(一8,II).

考點(diǎn)四向量法證明平行、垂直

8.若直線(xiàn)/的方向向量為。=(1,0,2),平面a的法向量為〃=(-2,1,1),貝")

A.l//a

B./1?

C./Ca或l//a

D./與a相交

答案C

解析Va=(l,0,2),"=(—2,1,1),

.'.an=0,即a±n,

.,.I//a或/Ua.

9.(2022?杭州模擬)己知平面a的法向量為。=(2,3,-1),平面￡的法向量為b=(l,0,勒

若則左等于()

A.1B.-1C.2D.-2

答案C

解析由題知，a仍=2+0—Z=0,解得A=2.

10.已知A(0,l,0),8(—1,0,-1),C(2,l,l),點(diǎn)尸(x,0,z),若平面ABC,則點(diǎn)已的坐

標(biāo)為.

答案(TQ2)

解析由題意得京=(一乂1,一z),贏=(一1,-1,-1),啟=(2,0,1),由兩，巍，得防油

=x-l+z=09

x==-1

’故點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(一1,0,2).

{z=2.

能力提升練

11.(多選)(2022?重慶市兩江育才中學(xué)模擬)關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法正確的是()

A.向量a,b,若ab=O,則〃_L8

B.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O,有?+［協(xié)+:女，則P,4,B,C四點(diǎn)共面

C.設(shè)｛a,b,c｝是空間中的一組基底，則｛a+b,b+c,a+c｝也是空間中的一組基底

D.若空間中四個(gè)點(diǎn)P,A,B,C,正=%+：陌則A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn)

44

答案BCD

解析對(duì)于選項(xiàng)A,由4力=0,也可能是a=0或Z>=0,故錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)閷?duì)空間中任意一點(diǎn)。，

OP=yOA-\-^OB+loC,

632

,1―?—?1―?―?1—?―?

則Z(OP-OA)+：；(OP-OB)+：；(OP-OC)=O,

632

整理得筋=-2PB-3PC.

由空間向量基本定理可知點(diǎn)P,A,8,。四點(diǎn)共面，故正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,由｛a,b,c｝是空間中的一組基底，則向量〃，仇c不共面，

可得向量。+力，b+c,a+c也不共面，所以｛a+仇b+c9a+c｝也是空間中的一組基底，故

正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,若空間中四個(gè)點(diǎn)尸，A,B,C,

PC=^-PA+^PB,

44

可得正一以=工(而一詼)，即啟=［贏，則A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn)，故正確.

12.(多選)給出以下命題，其中不正確的是()

A.直線(xiàn)/的方向向量為a=(l,-1,2),直線(xiàn)"?的方向向量為力=(2,1,—D，則/與〃7垂

直

B.直線(xiàn)/的方向向量為a=(0,1,-1),平面a的法向量為〃=(1,-1,-1),則/La

C.平面a,6的法向量分別為“1=(0,1,3),“2=(1,0,2),則a〃夕

D.平面a經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)A(1,O,-1),8(0,-1,0),C(-1,2,0),向量"=(1,。是平面a的

法向量，則w+f=l

答案BCD

解析對(duì)于A,力=2-1-1=0,，a_L6,；./與〃？垂直，A正確；

對(duì)于B,「a與"不共線(xiàn)，.?.直線(xiàn)/不垂直于平面a,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,；小與小不共線(xiàn)，平面a與平面夕不平行，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,油=(—1,-1,1),注=(—1,3,0),

由〃?贏=—1—〃+/=0,-1+3?=0,解得“=；,，〃+r=|,D錯(cuò)誤.

13.如圖，在三棱錐。一A3C中，已知AB=2,啟麗=—3,設(shè)AQ=mBC=b,CD=c,則

Wr的最小值為_(kāi)______.

ab-r1

D

答案2

解析設(shè)廉)=〃，CB=b,DC=C9

VAB=2,\a+b+c\2=4^a2+b2+c2+2(a-b+b'c+c-a)=4,

又*?ACBD=13,.,?(a+c),(-b—c)=—3=〃b+bc+ca+c2=3,

a2+b2-\-c2+2(3—c2)=4,

又AD=a,BC=b,CD=c,

：.c2=