力系的合成的學習材料

力系的合成的學習材料第1頁/共60頁引言根據(jù)力的作用線是否共面可分為：平面力系空間力系每一類又可以分為四種：匯交力系力偶系任意力系平行力系第2頁/共60頁1.合成的幾何法(即力多邊形法則)AF2F4F3F1§2.1平面匯交力系的合成A第3頁/共60頁AF2F4F3F1FRFRFR1FR2F4F3F1FRF2A結論：平面匯交力系可簡化為一合力，其合力的大小與方向等于各分力的矢量和，合力的作用線通過匯交點。FR=F1+

F2+…+

Fn=

∑

FiF1ABF2CF3DF4EFRF1ABF2CF3DF4E第4頁/共60頁第5頁/共60頁2.力的投影xABFOijXYy力在坐標軸上的投影

力的投影是代數(shù)量，當力與軸之間的夾角為銳角時，其值為正，當夾角為鈍角時，其值為負。反之，已知力的投影，也可以求力的大小和方向第6頁/共60頁3.合力投影定理xyO表述：合力在某軸上的投影，等于各個分力在同一軸上投影的代數(shù)和。由圖可知故有同理反之，已知∑Xi，∑Yi，可以求合力的大小和方向合力大小合力方向第7頁/共60頁4.合成的解析法(根據(jù)合力投影定理)根據(jù)合力投影定理：合力大小合力方向AF2F4F1F3FRxy第8頁/共60頁O（1）幾何法解：例題1

已知：F1=200N、F2=300N、F3=100N、F4=250N。求圖示匯交力系的合力。yxO第9頁/共60頁（2）解析法合力作用線通過匯交點O合力FR與x軸的夾角為：αyxO第10頁/共60頁

規(guī)定F與h的乘積作為力F使扳手繞支點O轉動的效應的度量，稱為力F對O點之矩，用符號M0(F)表示，即若力F使物體繞O點逆時針轉動,力矩為正;反之為負。N.m

或kN.m力矩的單位：注意：在平面問題中，力對點之矩只取決于力矩的大小和轉向，所以，力矩是一個代數(shù)量?！?.2平面力偶系的合成1.力對點之矩

第11頁/共60頁練習：計算下面各圖中力F對O點的矩lF(a)lF(b)Fl(e)blF(f)rlF(d)(c)lbFOOOOOO第12頁/共60頁2.力偶與力偶矩力偶——兩個大小相等、方向相反且不共線的平行力組成的力系。力偶臂——力偶的兩力之間的垂直距離。力偶的作用面——力偶所在的平面。力偶矩＋第13頁/共60頁3.平面力偶的性質（1）力偶不能合成為一個力，也不能用一個力來平衡。力和力偶是靜力學的兩個基本要素。（2）力偶中的兩個力對平面中任意點O之矩之和等以什么？ABOdx第14頁/共60頁同平面兩個力偶的等效條件：在同平面內的兩個力偶，如果力偶矩相同(大小相等，轉向相同)，則兩力偶彼此等效。(通過動畫來演示證明過程)第15頁/共60頁因此：(a)只要保持力偶矩的大小和轉向不變，力偶可以在作用面內任意移轉，不改變對剛體的作用效果。(b)只要保持力偶矩的大小和轉向不變，可以同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不改變力偶對剛體的作用效果。MMM問：作用在AC桿上的力偶M能否移動到BC桿上去？ABCMM？

分析：不能。力偶只能在同一剛體上的同一個平面內移動。因為三角架不是一個剛體，所以不能。第16頁/共60頁4.平面力偶系的合成

因為力偶是代數(shù)量，所以合力偶矩是各個分力偶矩的代數(shù)和第17頁/共60頁解：根據(jù)可得負號表示合力偶矩的轉向為順時針方向

如圖汽缸蓋上4個相同的孔，每個孔的切削力偶矩大小為M1=M2=M3=M4=15N.m。求工件的總切削力偶矩例題2第18頁/共60頁1.力的平移定理AFBdF′F′′AF′BM=F.d=MB(F)可以把作用于剛體上點A的力F平行移到同一剛體上的任意點B，但必須同時附加一個力偶，這個附加力偶的矩等于原來的力F對新作用點B的矩。M§2-3平面任意力系向一點簡化第19頁/共60頁攻絲時為什么要兩個手施力,用一個手會有什么不好之處?第20頁/共60頁ABDCEFd問：能否將力F從D點移動到E點并附加力偶。

分析：不能。力的移動只能在同一個剛體上；因為剛架不是一個剛體，所以力F不能從D點平移到E點，即使是加附加力偶也不行。dFMAB問：已知力F和力偶M，兩者可以合成為一個力，請問該力應該在A點的左側還是右側?

分析：左邊。合力應該在剛體上A點的左側。但是和原來的力F平行且距離為d，M第21頁/共60頁F3F1F2O2.平面任意力系向作用面內一點的簡化·主矢和主矩簡化中心OOF1′M1F1=F1′M1=MO(F1)F2′M2F2=F2′M2=MO(F2)F3′M3F3=F3′M3=MO(F3)OF1′F2′F3′OM1M2M3+MOOMOFR=F1+F2+F3=F1+F2+F3主矢(簡化后匯交力系合成結果)MO=M1+M2+M3=MO(F1)+MO(F2)+MO(F3)′′′′主矩(附加力偶系合成結果)第22頁/共60頁主矢★

平面任意力系向作用面內任一點O簡化，可得一個力和一個力偶，這個力等于該力系的主矢，作用線通過簡化中心。這個力偶的矩等于力系對于點O的主矩。主矢與主矩的計算（對于具有幾個力的一般情況）主矩OxyMOFR′第23頁/共60頁3.固定端支座既不能移動，又不能轉動的約束固定端（插入端）約束:FAxFAy固定端約束簡圖第24頁/共60頁第25頁/共60頁4.簡化結果分析合力矩定理●

FR=0，MO≠0′●

FR≠

0，MO=0′●

FR≠

0，MO

≠0′●

FR=0，MO=0′1.平面任意力系簡化為一個力偶的情形●

FR=0，MO≠0′★

因為力偶對于平面內任意一點的矩都相同，因此當力系合成為一個力偶時，主矩與簡化中心的選擇無關。第26頁/共60頁′O′FRO2.平面任意力系簡化為一個合力的情形·合力矩定理●

FR≠

0，MO=0′合力的作用線通過簡化中心●

FR≠

0，MO

≠0′FROO′dFRFR′′d

平面任意力系的合力對作用面內任一點的矩等于力系中各力對同一點之矩的代數(shù)和。FR′OMoO′合力矩定理：第27頁/共60頁

在長方形平板的O，A，B，C點上分別作用有四個力：F1=1kN，F(xiàn)2=2kN，F(xiàn)3=F4=3kN（如圖），試求以上四個力構成的力系對O點的簡化結果，以及該力系的最后合成結果。例題3F1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°(1)求向O點簡化結果解：1).求主矢。所以，主矢的大小第28頁/共60頁F1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°主矢的方向：2）.求主矩MO合力FR到O點的距離OABCxyMOFRd（2）求最后合成結果

由于主矢和主矩都不為零，所以最后合成結果是一個合力FR。如右圖所示。第29頁/共60頁例題4解：以O為簡化中心有ABCOxy已知：如圖，每個力的大小都為F1=F2=F3=250kN,OA=OB=OC=d=1.2m求合成結果第30頁/共60頁§2.4空間匯交力系的合成1.空間力的投影和分解第31頁/共60頁§2.4空間匯交力系的合成1.空間力的投影和分解直接投影法OxyFzijk第32頁/共60頁二次投影法yzOxFFxyijkF=Fx+Fy+Fz=Xi+Yj+Zk第33頁/共60頁2.空間匯交力系的合成

空間匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線通過匯交點。第34頁/共60頁§2.5力對點之矩與對軸之矩力偶系的合成1.力對點的矩OA(x,y,z)BrFhyxzMO(F)空間的力對O點之矩取決于：(1)力矩的大??；(2)力矩的轉向；(3)力矩作用面的方位。★

須用一矢量表征MO(F)=Fh=2△OAB

第35頁/共60頁MO(F)定位矢量OA(x,y,z)BrFhyxzMO(F)ijk第36頁/共60頁2.力對軸的矩BAFOxyzhFxybFz

★

力對軸的矩等于力在垂直于該軸的平面上的投影對軸與平面交點的矩。Mz(F)

=MO(Fxy)=±Fxyh=±2△OAb

力對軸之矩用來表征——力對剛體繞某軸的轉動效應。Mz(F)

☆當力與軸在同一平面時，力對該軸的矩等于零。第37頁/共60頁BAFOxyzhFxybFz

★

力對軸的矩等于力在垂直于該軸的平面上的投影對軸與平面交點的矩。Mz(F)

=MO(Fxy)=±Fxyh=±2△OAb

力對軸之矩用來表征——力對剛體繞某軸的轉動效應。Mz(F)

☆當力與軸在同一平面時，力對該軸的矩等于零。第38頁/共60頁第39頁/共60頁力對軸之矩的解析表達式y(tǒng)zOxFFxyA(x,y,z)FzFxFyFyFxBabxy第40頁/共60頁3.力對點的矩與力對軸的矩的關系●

力對點的矩矢在通過該點的某軸上的投影，等于力對該軸的矩。第41頁/共60頁

手柄ABCE在平面Axy內,在D處作用一個力F，如圖所示，它在垂直于y軸的平面內，偏離鉛直線的角度為α。如果CD=b，桿BC平行于x軸,桿CE平行于y軸，AB和BC的長度都等于l。試求力F

對x，y和z三軸的矩。例題5

應用合力矩定理求解。解：方法1力F沿坐標軸的投影分別為：

由于力與軸平行或相交時力對該軸的矩為零，則有第42頁/共60頁應用力對軸的矩之解析表達式求解。因為力在坐標軸上的投影分別為：力作用點D的坐標為：則方法2第43頁/共60頁zPOabcAxy已知：P

、a、b、c求：力P對OA軸之矩例題6MO(P)解：（1）計算MO(P)（2）利用力矩關系第44頁/共60頁§2.7重心1.重心的概念及其坐標公式zOxyPPiC△VixCyCzCxiyiziPxC=P1x1+P2x2+…+Pnxn=∑Pixi根據(jù)合力矩定理，對y軸取矩，有-PyC=(P1y1+P2y2+…+Pnyn)=-∑Piyi根據(jù)合力矩定理，對x軸取矩，有將物體連同坐標系繞x軸順時針轉90°后，再對x軸取矩，有-PzC=(P1z1+P2z2+…+Pnzn)=-∑Pizi第45頁/共60頁zOxyPPiC△VixCyCzCxiyizi均質物體的重心就是幾何中心，通常稱——形心PxC=P1x1+P2x2+…+Pnxn=∑Pixi-PyC=(P1y1+P2y2+…+Pnyn)=-∑Piyi-PzC=(P1z1+P2z2+…+Pnzn)=-∑Pizi由以上三式可以得到重心公式，即對于均質體：對于均質曲面：第46頁/共60頁2.確定物體重心的方法（1）對稱法具有對稱軸對稱面或對稱中心的物體，其重心必然在對稱軸對稱面或對稱中心上。若一個物體具有兩個對稱面，則形心必在兩個對稱面的交線上，若具有兩個對稱軸，則形心就在兩軸的交點上。O第47頁/共60頁（2）用組合法求重心(a)分割法oxyC1C2C330mm30mm30mm10mm10mmx3=15,y3=5,A3=300解:

建立圖示坐標系求：Z形截面重心。例題7x1=-15,y1=45,A1=300x2=5,y2=30,A2=400第48頁/共60頁(b)負面積法（負體積法）解：建立圖示坐標系，由對稱性可知：yC=0求：圖示截面重心。例題840mm50mm20mm12310cmxyo第49頁/共60頁ABEDabxy①②x

求：若將圖示均質梯形板在E點掛起，且使AD保持水平，BE等于多少。例題9解：建立如圖的坐標系要使AD保持水平，梯形板的重心應在y軸上，即xC＝0把梯形分為三角形與矩形兩部分設BE＝x

由解出得第50頁/共60頁（3）用實驗方法測定重心的位置(a)懸掛法AFAPABFBPCDE第51頁/共60頁(b)稱重法F1F2第一步：第二步：第52頁/共60頁結論與討論1.力在坐標軸上的投影為：2.平面力的解析表達式為：3.求平面匯交力系的合力（1）幾何法