系統(tǒng)分析員數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

系統(tǒng)分析員考試中的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)**考試大綱**微積分線性代數(shù)：行列式、矩陣和線性方程組概率統(tǒng)計(jì)：事件和概率、隨機(jī)變量和分布函數(shù)、數(shù)字特征、參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)離散數(shù)學(xué)：數(shù)理邏輯、集合論、圖論、組合分析、形式語言與自動(dòng)機(jī)初步數(shù)值計(jì)算：計(jì)算誤差，數(shù)值微分與積分，函數(shù)插值和逼近，方程的數(shù)值解算法復(fù)雜性**對考試大綱的分析**首先我們來看到以上大綱包括有微積分、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)、離散數(shù)學(xué)與數(shù)值計(jì)算五方面的內(nèi)容。微積分是大學(xué)各科（理、工、農(nóng)、醫(yī)）的基礎(chǔ)課程，一般來說掌握應(yīng)該是不成問題的；線性代數(shù)主要是工科各專業(yè)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，而我也見過有相當(dāng)一部分的文科專業(yè)也有該課程的講授；概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：一般是在計(jì)算機(jī)專業(yè)、物理專業(yè)、應(yīng)用數(shù)學(xué)等專業(yè)所開設(shè)的一門課程；離散數(shù)學(xué)與計(jì)算方法：計(jì)算機(jī)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)所開設(shè)的課程**我所打算的復(fù)習(xí)順序**不知道各位打算考系統(tǒng)分析的朋友的數(shù)學(xué)程度如何，我在這里所做的只是根據(jù)我自己的估計(jì)所做的一個(gè)安排。我想各位之中真正讀計(jì)算機(jī)出身的不會(huì)太多，因此我這里所采用的是逆轉(zhuǎn)的順序，先講最難的計(jì)算方法，接著是離散數(shù)學(xué)和概率統(tǒng)計(jì)，至于線性代數(shù)與微積分，如果時(shí)間還充裕就會(huì)提及，否則就靠大家自己復(fù)習(xí)了。復(fù)習(xí)的方式主要是列一下大綱及復(fù)習(xí)的要點(diǎn)，比較難的地方會(huì)附一下例題。這是一個(gè)初步的打算。大家有什么好提議也可以提出。只是我恐怕沒有太大的能力來解答大家提出的各種疑問。**課程設(shè)置**計(jì)算方法離散數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)線性代數(shù)微積分--------------------------------------------------------------------------------計(jì)算方法篇（1）——引論某些問題借用于計(jì)算機(jī)來解決的時(shí)候必須采用數(shù)值模擬方法。因此在這里所提到的是數(shù)學(xué)中

的一個(gè)分支“計(jì)算方法”（也稱數(shù)值計(jì)算方法、數(shù)值方法），它是一門研究用計(jì)算工具得出

數(shù)學(xué)問題數(shù)值解的方法與算法的學(xué)問。在這里，算法是指一個(gè)確定的有限的操作序列，在它們作用于一類問題給定參數(shù)之后，便

產(chǎn)生問題的解答。方法是指一個(gè)抽象的基于準(zhǔn)確計(jì)算的運(yùn)算序列，它可能是無限的，它所考

慮的運(yùn)算數(shù)域一般是連續(xù)的無界的實(shí)（或復(fù)）數(shù)域。我們知道許多數(shù)學(xué)問題的解，要經(jīng)過無限次算術(shù)運(yùn)算，或積分之類的連續(xù)變量的運(yùn)算，才能

計(jì)算出結(jié)果。但我們在計(jì)算機(jī)上只能進(jìn)行有限次運(yùn)算，而且一般只能進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算，所以必

須把無限次的運(yùn)算過程截?cái)酁橛邢薮吻蠼?，把連續(xù)變量的問題轉(zhuǎn)化成離散變量的問題求解。涉及計(jì)算方法的考試要點(diǎn)——計(jì)算誤差，

數(shù)值微分與積分，

函數(shù)插值和逼近，

方程的數(shù)值解算法復(fù)雜性接下來我們會(huì)按上面大綱的順序來探討一下各知識(shí)點(diǎn)所包含的內(nèi)容。--------------------------------------------------------------------------------計(jì)算方法篇（2）——誤差

什么是誤差——若X是某個(gè)實(shí)數(shù)，X*是X的近似值或叫近似數(shù)，則誤差是X的真實(shí)值跟近似值之差產(chǎn)生誤差的原因：

1.數(shù)學(xué)描述與實(shí)際之間的誤差

如:3.14是圓周率的近似值,它與圓周率的真實(shí)值之間存在誤差

2.原始數(shù)據(jù)的誤差,觀察誤差

如:用直尺量度某一物體的長度時(shí),需估算最后一位,此時(shí)估算值與真實(shí)值之間存在誤差

3.截?cái)嗾`差:將無限化成有限時(shí)常會(huì)產(chǎn)生誤差

如:我們采用Taylor展開式求方程的解時(shí)所產(chǎn)生的截?cái)嗾`差E(X)

4.舍入誤差:在計(jì)算機(jī)進(jìn)行浮點(diǎn)運(yùn)算的時(shí)候,數(shù)值的移位所產(chǎn)生的誤差計(jì)算方法所研究的誤差:方法誤差(截?cái)嗾`差)與舍入誤差概念及理解:1.絕對誤差：△X*=X-X*

用法:比較同一量的幾個(gè)近似值（小，精確）

例:

量書桌

近似值1:0.86±0.01m

近似值2:0.85±0.005m

則數(shù)值2比數(shù)值1要精確

2.絕對誤差限：EX*=|△X*|的上界，X=X*±EX*EX*可正可負(fù),有量綱,但一般是不知道的,在實(shí)踐中，常取|X-X*|的上界中充分接近最小者

之一作為EX*3.相對誤差：δX*=△X*/X，X不為0用法:比較不同量的近似值

例:

量書桌0.86±0.01m

量跑道516.5±0.1m

δ0.86=0.01/0.86=1.2%,δ516.5=0.1/516.5=0.02%

則量跑道的數(shù)值要比量書桌的精確

4.相對誤差限:REX*=|δX*|的上界，X=X*（1+REX*）REX*是無量綱的，在應(yīng)用上，常取△X*/X*作為REX*的近似值計(jì)算方法篇（3）——誤差(續(xù))

**如何直接從浮點(diǎn)數(shù)判斷誤差的準(zhǔn)確位數(shù)，有效數(shù)字判斷方法：設(shè)則此時(shí)2a1為準(zhǔn)確到第n位……稱X*有t位有效數(shù)字，準(zhǔn)確到小數(shù)后t-s位例1：x=4.854±0.03因?yàn)樗詘*有2位有效數(shù)字，X*準(zhǔn)確到小數(shù)后第1位例2：四舍五入得到的數(shù)，其絕對誤差少于最后一位的半個(gè)單位

如:X*=2.18則有

證明:若X小數(shù)后第三位大于等于5,則X=2.17……大于等于2.175

若X小數(shù)后第三位小于5,則X=2.18……小于等于2.185

兩種情況都有|X-2.18|<0.005計(jì)算方法篇（4）——誤差(續(xù)2)

**函數(shù)值的誤差**設(shè)y=f(X1,X2,……Xn)則1.加減法:若Z=X±Y,

則Z*=X*±Y*,△Z*=△X*±△Y*,

|△Z*|≤|△X*|±|△Y*|,

|δZ*|≤|x|/|z|*|δx*|+|y|/|z|*|δy*|≤|δx*|+|δy*|

2.乘法

若Z=X·Y

則△Z*=y△X*+x△Y*,

δZ*=δx*+δy*≤≥

3.除法

若Z=f(x,y)=X/Y

則△Z*=（y△X*-x△Y*）/(y*y)

δZ*=δx*+δy*例1：使用區(qū)間分析法估計(jì)誤差

已知1.21,3.65,9.81均為有效數(shù),估計(jì)1.21*3.65+9.81的絕對誤差限解:

E(1.21)=E(3.65)=E(9.81)=0.01*0.5=0.005

E(1.21*3.65)=E(3.65)*1.21+E(1.21)*3.65=0.0243

E(1.21*3.65+9.81)=0.0243+0.005=0.0293例2:有方程組

3x+ay=10(1)

5x+by=20(2)

其中

a=2.100±5*0.0001

b=3.300±5*0.0001

估計(jì)x,y解:

加減消元法:5*(1)-3*(2)

y=10/(3b-5a)

記ε=0.0005

則

y∈[10/(-0.6+8ε),10/(-0.6-8ε)]=[-16.778523,-16.55629]

3b∈[9.9-3ε,9.9+3ε]

5a∈[10.5-5ε,10.5+5ε]

x=(10-ay)/3∈[-10/3,10/3]+[(a-ε)/3,(a+ε)/3]*[16.556291,16.778528]

∈[14.9194,15.4816]計(jì)算方法篇（5）——誤差(續(xù)3)

病態(tài)問題參數(shù)的微小變化引起計(jì)算結(jié)果的劇烈變化稱作病態(tài)問題算法的數(shù)值穩(wěn)定性一個(gè)數(shù)值算法其計(jì)算結(jié)果受傳播誤差的影響很小,則

稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的，不穩(wěn)定的算法常使得結(jié)果變成謬誤。如何去設(shè)計(jì)一個(gè)好的算法1.簡化計(jì)算步驟

2.避免兩個(gè)相同號(hào)數(shù)數(shù)值相近的數(shù)相減

3.計(jì)算若干同號(hào)數(shù)時(shí)的和,按絕對值增大的順序相加

4.避免乘除法中數(shù)值絕對值過大或過小

5.防止大數(shù)吃掉小數(shù)計(jì)算方法篇（6）——數(shù)值積分

本文先介紹一些關(guān)于數(shù)值積分的基本概念

什么是數(shù)值積分研究計(jì)算定積分的數(shù)值方法,用節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值的組合來表示定積分代數(shù)精確度如何去確定代數(shù)精確度計(jì)算方法篇（7）——數(shù)值積分(續(xù))

1Newton-Cotes求積公式：將積分空間[a、b]n等分，用插值多項(xiàng)式近似被積函數(shù)，代數(shù)精確度至少為n（偶數(shù)為n+1）將積分空間[a、b]n等分，步長h=(b-a)/n，其節(jié)點(diǎn)Xk為

Xk=a+kh，k=0，1，2……，n

建立這n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)上的代數(shù)插值，并記X=a+th，有計(jì)算方法篇（8）——數(shù)值積分(續(xù))2.復(fù)化梯形公式：將區(qū)間n等份，對每一小區(qū)間用梯形公式3.復(fù)化simpson公式（或拋物線公式）將區(qū)間n等份，對每一小區(qū)間用simpson公式（代數(shù)精確度為3）

(復(fù)化梯形公式與復(fù)化simpson公式并沒有提高代數(shù)精確度)4.變步長的復(fù)化simpson公式將區(qū)間逐次分半，直至|S2n-Sn|<ε

利用求得

計(jì)算方法篇（9）——數(shù)值積分(續(xù))

5.Gauss高斯公式用正交多項(xiàng)式的根作節(jié)點(diǎn)（Gausss點(diǎn)），造插值多項(xiàng)式近似被積函數(shù)（n個(gè)節(jié)點(diǎn)的Gauss求積公式，代數(shù)精確度為2n-1）求解高斯公式的步驟1）確定n，造出正交多項(xiàng)式Pn+1（X）（結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)n+1）2）求Pn+1（X）的零點(diǎn)X0，X1，……Xn3）求出i=0,1,……n

4)計(jì)算方法篇（10）——函數(shù)插值

什么是函數(shù)插值在解決實(shí)際問題的時(shí)候,用來描述客觀現(xiàn)象的函數(shù)通常是很復(fù)雜的,往往難于

寫出具體的表達(dá)式,如通過實(shí)驗(yàn)或測量得到了函數(shù)Y=F(X)在一系列互異點(diǎn)上

X0,X1,……Xn處的值Y0，Y1，……Yn，因此構(gòu)造一個(gè)簡單的函數(shù)φ(x)作為

函數(shù)Y=f（X）的近似表達(dá)式y(tǒng)=f(x)≈φ(x)使得φ(X0)=Y0，φ(X1)=Y1，……φ(Xn)=Yn（1）這類問題稱為插值問題。f（x）稱為被插值函數(shù)，φ(x)稱為插值函數(shù)，X0,X1,……Xn稱為插值節(jié)點(diǎn)；

式子（1）稱為插值條件。計(jì)算方法篇（11）——函數(shù)插值（續(xù)）

1.拉格朗日（Lagrange）插值：2.牛頓（Newton）插值1）非等距節(jié)點(diǎn)的均差式2）等距節(jié)點(diǎn)的差分式3.埃爾米特（Hermite）插值1)考慮所有節(jié)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值

2)考慮部分節(jié)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值計(jì)算方法篇（12）——函數(shù)插值（續(xù)）

4.三次樣條(Spline)插值在區(qū)間[a,b]上已給n+1個(gè)互不相同的節(jié)點(diǎn)a=x0<x1……<xn=b及相應(yīng)的函數(shù)值

f(xi)(i=0,1,2,……n)如果分段函數(shù)s(x)滿足下列條件，就稱為三次樣條插值函數(shù)。1）在任一子區(qū)間[xi，xi+1]上s（x）的次數(shù)是不高于3的多項(xiàng)式；

2）s（xi）=f（xi）

3）s（x）在整個(gè)區(qū)間[a、b]上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)

使用截?cái)嗪瘮?shù)

需要增加兩個(gè)插值條件5.最小二乘擬合法求S（X），使得

為最小

S（x）=a0+a1x+……+anxn次數(shù)由經(jīng)驗(yàn)決定正規(guī)方程組計(jì)算方法篇（13）——方程的解

線性方程組的求解（要求能用各種算法解方程組，判斷收斂條件）1.直接法：1）消元法消元：A=LU，要求A的各階主子式非0

回代：解Ly=b，Ux=y2）主元素消去法：選取絕對值最大者為主元列主元素法，全主元素法3）追趕法：解三對角方程組（滿足對角占優(yōu)）4）直接三角分解法（A能作LU分解）5）平方根法（A對稱正定）2.迭代法收斂條件：充要：P（B）〈1充分：a、|B|〈