常數(shù)項級數(shù)的概念與性質

關于常數(shù)項級數(shù)的概念與性質第1頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三2為什么要研究無窮級數(shù)是進行數(shù)值計算的有效工具(如計算函數(shù)值、出它的威力.

在自然科學和工程技術中,?無窮級數(shù)是數(shù)和函數(shù)的一種表現(xiàn)形式.因無窮級數(shù)中包含有許多非初等函數(shù),故它在積分運算和微分方程求解時,也呈現(xiàn)如諧波分析等.造函數(shù)值表).級數(shù)來分析問題,也常用無窮第2頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三3常數(shù)項級數(shù)的概念收斂級數(shù)的基本性質柯西審斂原理小結思考題

第12章無窮級數(shù)constantterminfiniteseries12.1

常數(shù)項級數(shù)的概念和性質第3頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三4引例

依次作圓內(nèi)接正邊形,

這個和逼近于圓的面積A.即設a0表示內(nèi)接正三角形面積,ak表示邊數(shù)增加時增加的面積,

則圓內(nèi)接正一、常數(shù)項級數(shù)的概念用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.邊形面積為第4頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三51.級數(shù)的定義(常數(shù)項)無窮級數(shù)一般項如

以上均為(常)數(shù)項級數(shù).(1)第5頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三6這樣,級數(shù)(1)對應一個部分和數(shù)列:稱無窮級數(shù)(1)的2.級數(shù)的收斂與發(fā)散概念按通常的加法運算一項一項的加下去,為級數(shù)(1)的無窮級數(shù)定義式(1)的含義是什么?也算不完,永遠那么如何計算?前n項和部分和.(1)從無限到有限,再從有限(近似)到無限(精確)第6頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三7部分和數(shù)列可能存在極限,也可能不存在極限.定義12.1則稱無窮級數(shù)并寫成即常數(shù)項級數(shù)收斂(發(fā)散).(不存在)存在當n無限增大時,部分和數(shù)列sn有極限s,如果sn沒有極限,第7頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三8對收斂級數(shù)(1),為級數(shù)(1)的余項或余和.顯然有當n充分大時,級數(shù)的斂散性它與部分和數(shù)列是否有極限是等價的.(1)稱差誤差為第8頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三9例而所以,的部分和

級數(shù)級數(shù)發(fā)散.第9頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三10解(重要)例討論等比級數(shù)(幾何級數(shù))的收斂性.

級數(shù)收斂;

因為

所以第10頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三11級數(shù)發(fā)散;級數(shù)發(fā)散;級數(shù)發(fā)散.

綜上:級數(shù)變?yōu)?/p>

因為

所以

所以第11頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三12解例判定級數(shù)的收斂性.因為所以第12頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三13其余項為即所以所以級數(shù)收斂,第13頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三14例

因為后式減前式,得證證明級數(shù)并求其和.收斂,第14頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三15故

所以,

此級數(shù)收斂,且其和為

2.第15頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三的部分和分別為則于是也不存在極限.證性質12.1設常數(shù)則有相同的斂散性.所以,有相同的斂散性.結論:

級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù),

斂散性不變.二、收斂級數(shù)的基本性質16第16頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三17討論級數(shù)的斂散性.解例因為為公比的等比級數(shù),是以故級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.第17頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三18性質12.2設有兩個級數(shù)發(fā)散.收斂,發(fā)散,均發(fā)散,斂散性不確定.證極限的性質即證.級數(shù)的部分和結論:

收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減.第18頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三19

例都收斂.無窮遞減等比數(shù)列的和第19頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三20都發(fā)散.但級數(shù)收斂.例若兩級數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.第20頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三21將級數(shù)的前k項去掉,的部分和為級數(shù)斂散性相同.當級數(shù)收斂時,其和的關系為類似可證前面加上有限項的情況.極限狀況相同,故新舊兩所得新級數(shù)性質12.3

添加、去掉或改變有限項不影響證一個級數(shù)的斂散性.推論11.2

在級數(shù)中添加、去掉或改變有限項不影響一個級數(shù)的斂散性.第21頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三22性質11.4設級數(shù)收斂,在此收斂級數(shù)內(nèi)可以任意加(有限個或無限個)括號,①一個級數(shù)加括號后所得新級數(shù)發(fā)散,注則原級數(shù)發(fā)散.事實上,加括后的級數(shù)就應該收斂了.設原來的級數(shù)收斂,則根據(jù)性質11.4,

收斂

發(fā)散②一個級數(shù)加括號后收斂,原級數(shù)斂散性不確定.收斂于原級數(shù)的和所得新級數(shù)仍要強調(diào)的是,收斂級數(shù)一般不能去掉無窮多個括號;發(fā)散級數(shù)一般不能加無窮多個括號.(這個性質也稱無窮和的結合律).第22頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三23性質12.4收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和.設收斂級數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級數(shù)的部分和數(shù)列為原級數(shù)部分和數(shù)列的一個子數(shù)列,因此必有例如證第23頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三24證此定理是級數(shù)收斂的必要條件.設則所以定理12.5則注(1)此定理常用來判別級數(shù)發(fā)散;(3)此定理是必要條件而不是充分條件.(2)也可用此定理求或驗證極限為“0”的極限;即如調(diào)和級數(shù)但級數(shù)是卻是發(fā)散的.(后面將給予證明)第24頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三25例判別下列級數(shù)的斂散性級數(shù)收斂的必要條件常用判別級數(shù)發(fā)散.解題思路第25頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三26解由于發(fā)散解由于發(fā)散第26頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三27

解而級數(shù)所以這個等比級數(shù)發(fā)散.由性質11.1知,發(fā)散.因調(diào)和級數(shù)發(fā)散,為公比的等比級數(shù),是以收斂.由性質11.2知,第27頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三28練習為收斂級數(shù),a為非零常數(shù),試判別級數(shù)的斂散性.解因為收斂,故從而故級數(shù)發(fā)散.級數(shù)收斂的必要條件:第28頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三29三、柯西審斂原理（柯西準則）

定理12.6(判別級數(shù)收斂性的柯西收斂原理)有證

設所給級數(shù)部分和數(shù)列為sn由判斷數(shù)列收斂性的柯西準則知,對于任意正整數(shù)p,柯西收斂準則數(shù)列{xn}收斂的充要條件是:有數(shù)列{sn}收斂的充要條件是:有顯然,可改寫為當有有第29頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三30利用柯西收斂原理證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散.例證考慮此級數(shù)的一段顯然,這說明:不論n多么大,調(diào)和級數(shù)的這一段的絕對值都不可能任意小,由柯西收斂原理得知,調(diào)和級數(shù)發(fā)散.柯西收斂準則數(shù)列{xn}收斂的充要條件是:有第30頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三31利用柯西收斂原理判定級數(shù)例解的收斂性.因對任意正整數(shù)p,都有第31頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三32有對于任意正整數(shù)p,按柯西收斂原理,所以取正整數(shù)成立.柯西收斂準則數(shù)列{xn}收斂的充要條件是:有第32頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三33則下列結論正確的是研究生考題(數(shù)學三)選擇,4分練習(D)對因為即所以有極限,有極限,所以(D)成立.(C)錯因為所以即(A)錯則則與(D)正確矛盾.同理(B)錯.第33頁，共36頁，2023年，2月20日，星期三34常數(shù)項級數(shù)的基本概念基本審斂法:(3)按基本性質;則級數(shù)收斂;由定義,(2)