高中數(shù)學(xué)第一章推理與證明14數(shù)學(xué)歸納法教材基礎(chǔ)素材北師大版2-2

§4數(shù)歸法我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了使用反證法、分析法、比較法、綜合法來(lái)證明命,但是在數(shù)列和函數(shù)中有大的關(guān)于自然數(shù)的不等,如證明它們呢？這節(jié)課就討論另一種證明方法——數(shù)學(xué)歸納法高支1細(xì)教一、數(shù)學(xué)歸納法狀筆數(shù)學(xué)歸納法是推理邏,它的第步稱為奠基步驟證基礎(chǔ)保證,即通過(guò)驗(yàn)證落實(shí)傳遞的起點(diǎn)這基礎(chǔ)必須是真實(shí)可;它的第二步稱為遞推步,是命題具有后繼傳遞性的保證,即命題只要對(duì)某個(gè)正整數(shù),就能保證該命題對(duì)后繼正整數(shù)都成,兩步合在一起為完全歸納步驟,稱為學(xué)歸納法特別出的是,第步不是判斷命題的真?zhèn)?而證明命題是否具有傳遞性.如果沒(méi)有第一,而僅有第二,命也有可能是假命.一般地證一個(gè)與正整數(shù)n有的數(shù)學(xué)命題可按下列步驟進(jìn):(1)證明當(dāng)時(shí)題成立.(2)假設(shè)n=k(k≥1,kN)時(shí)命題成,證明當(dāng)n=k+1的題也成.只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷命題對(duì)一切正整數(shù)n都.上證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法【示例】用數(shù)學(xué)歸納法證明:(n+1)(n+2)?(n+n)=2·1·3?(2n-1),其n∈N.思分：數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命,關(guān)鍵是第二要注意當(dāng)n=k+1時(shí)等式兩邊的式子與n=k時(shí)等式邊的式子的聯(lián),或增加了哪些項(xiàng)或減少了哪些,問(wèn)題就容易解決證：(1)n=1左邊右邊=2·1=2,等式成.(2)假設(shè)當(dāng)時(shí)等成,即(k+1)(k+2)?(k+k)=2·1·3?(2n則當(dāng)n=k+1時(shí)(k+2)?(k+k)(2k+1)(2k+2)=(k+1)(k+2)?(k+k)·2(2k+1)=2·1·3?(2k1)·2(2k+1)=2+1·1·3?(2k-1)(2k+1)，即當(dāng)n=k+1時(shí)等也成立.由1)(2)可知對(duì)切n∈N等式成立.二、數(shù)學(xué)歸納法的特點(diǎn)1.基特點(diǎn)(1)無(wú)窮性數(shù)歸納法所證明的正整數(shù)有關(guān)的命,實(shí)際上就是關(guān)于正整數(shù)的無(wú)窮性命,命題的無(wú)窮性是我們用演繹法無(wú)法證明,所以數(shù)學(xué)歸納法恰恰就是有效地利用遞推關(guān)系證明了命題無(wú)窮性的正確性.數(shù)學(xué)歸納法以之獨(dú)特而簡(jiǎn)約的語(yǔ)言向我們展示了一種精簡(jiǎn)的“形”并沒(méi)有損害論證的“神”反而提供了一種把握“無(wú)限”趨勢(shì)的有常形式,成“溝通無(wú)限同有限的橋梁”.(2)有性:與正整數(shù)有關(guān)的命題具有無(wú)窮性但是學(xué)歸納法的基本步驟是有窮的,僅僅只有兩個(gè)步驟,但兩個(gè)步驟是缺一不可的.數(shù)歸納法是在可靠的基礎(chǔ)上利用命題本身具有的傳遞性運(yùn)用“有限”的手段解決“無(wú)限”的問(wèn).數(shù)學(xué)歸納法之美就在于由有限推證無(wú)限,把無(wú)限轉(zhuǎn)化為有.2.數(shù)歸納法的核心在驗(yàn)證命題n=1正的基礎(chǔ)上,明命題具有傳遞,第二步實(shí)際上是以一次邏輯的推1

理代替了無(wú)限的驗(yàn)證過(guò)程.所以數(shù)學(xué)歸納法是一種合理可行的科學(xué)證題方,實(shí)現(xiàn)了有限到無(wú)限的飛.雖然剛開(kāi)始接觸會(huì)覺(jué)得“模式固定”但經(jīng)過(guò)一定的接觸學(xué)習(xí),其各步驟及各步驟間體現(xiàn)出非同尋常的邏輯力量的哲學(xué)觀讓人深深體會(huì)到其凝練的論證中散發(fā)著的簡(jiǎn)潔和思辨歸基礎(chǔ)與歸納假設(shè)及證,二者缺一不,構(gòu)數(shù)歸法的靈魂,同時(shí)指出了數(shù)學(xué)歸納法的具體表:正整數(shù)有無(wú)窮多個(gè)是學(xué)歸納法的精.對(duì)于認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)歸納法的內(nèi)涵是十分重要的三、數(shù)學(xué)歸納法的主要應(yīng)用1.用學(xué)歸納法證明不等式問(wèn)題對(duì)與正整數(shù)有關(guān)的不等式的證明,如果用其他方法比較困難,此時(shí)可考慮利用數(shù)學(xué)歸納法證明使數(shù)學(xué)歸納法的難點(diǎn)在第二個(gè)步驟,這時(shí)除了一定要運(yùn)用歸納假設(shè)外,還要較多地運(yùn)用不等式的證明等其他方法,對(duì)所要證明的不等式加以變形,尋求與歸納假設(shè)的聯(lián)系是問(wèn)題的突破口狀筆在數(shù)學(xué)歸納法中,由時(shí)立推證也成立是關(guān)鍵和難,在推證時(shí)一般要用到比較法、放縮法、配湊法、分析法.【示例】求:

11++?+＞,(n≥2,nN).n3n6思分：題可在由n=kn=k+1時(shí)推證過(guò)程中應(yīng)用“放縮”技使問(wèn)題簡(jiǎn)單化這是利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式常用的方法之.證：(1)n=2左=

115+++＞,不等式成立346(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N)時(shí)命題成立,即15++?+＞.kkk6則當(dāng)n=k+1時(shí)((

111+?+++kkk3(k=

1111111++?++(-)kkk3kkk51＞+(-)＞+(3×-)=,636所以當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立.由1)(2)知原等式對(duì)一切n≥2,nN

均成立2.用學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題狀筆用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題,P(k)P(k+1)的整式形是難點(diǎn)找出們之間的差異,從而決定時(shí)P(k)做何種變.一般地將時(shí)的整式分拆配湊成P(k)的形式再利用歸納假設(shè)和基本事,這變形是難.對(duì)于整數(shù)a,b,如a=b·c,c為整數(shù)則能能被b整除;對(duì)于項(xiàng)式A,B,如為整式則A能B整除由多項(xiàng)式的定義容易得出:對(duì)多式A,B,C,P,如能被C整,那PA也能被整;如果A,B能被C整,那么或A-B也被整除2

【示例】用數(shù)學(xué)歸納法證明下述整除問(wèn):求證:∈N)被整除.思分：學(xué)歸納法證明有關(guān)數(shù)或式的整除問(wèn)題,要充分利用整除的性,干個(gè)數(shù)或整式)都能被某一個(gè)數(shù)(或式整除則其和、差、積也能被這個(gè)(或整式整除.證：(1)n=1,+12=1331+1728=3059=133×23能被133除∴當(dāng)n=1時(shí)命題正確(2)假設(shè)當(dāng)時(shí)題正確,即11+12

能被133整除,∴當(dāng)n=k+1時(shí)11+12=11×(11+12)+12-11×12=11×(11+12)+12×(12-(11+12)+12×133,能被133整除即當(dāng)n=k+1時(shí)題也正由前面可知命題對(duì)n都確3.用學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題時(shí),點(diǎn)就是在P(k)

P(k+1)遞時(shí)找出到n=k+1遞推公式,這是關(guān)鍵所.分析增加一條曲線或直線,點(diǎn)線段、曲線段、平面塊在P(k)的礎(chǔ)上增加了多少就出了相應(yīng)的遞推關(guān)系【示例】平面內(nèi)有n(n≥2)條直其中任何兩條不平,任何三條不過(guò)同一個(gè)點(diǎn)證明交點(diǎn)的個(gè)數(shù)f(n)等

n2

.思分：例的關(guān)鍵是弄清增加一條直線能夠增加多少個(gè)不同的解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)常運(yùn)用幾何圖形的性.證：(1)n=2兩條直線的交點(diǎn)只有1個(gè)又f(2)=因此,當(dāng)n=2時(shí)命成立.

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×2×(2(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)(≥2)命題成,就是,平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)f(k)=右圖).

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k·(k現(xiàn)來(lái)考慮平面內(nèi)有條直線的情況任取其中的1條直線記1(如由上面的假,除1以外的其他k條線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)f(k)=

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k(k-1).另外,因?yàn)橐阎魏蝺蓷l直線不平行,所以直線1必與平面內(nèi)其他條線都相(有k個(gè)點(diǎn);又因?yàn)橐阎魏?三條直線不過(guò)同一點(diǎn)所上面的k個(gè)點(diǎn)兩兩不,且與平面內(nèi)其他的k(k-1)個(gè)點(diǎn)也211兩兩不相同從平面內(nèi)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為k(k-1)+k=k[(k-1)+