第2講 二次函數(shù)背景下的相似三角形的存在性-沖刺2022年中考數(shù)學壓軸題

第2講二次函數(shù)背景下的相似三角形的存在性

-(2022青浦、嘉定、崇明、寶山、靜安一模24題解法分析＋經(jīng)典變式練）

二次函數(shù)背景下的相似三角形考點分析：

l．先求函數(shù)的解析式，然后在函數(shù)的圖像上探求符合幾何條件的點；

2．簡單一點的題目，就是用待定系數(shù)法直接求函數(shù)的解析式；

3．復雜一點的題目，先根據(jù)圖形給定的數(shù)岱關(guān)系，運用數(shù)形結(jié)合的思想，求得點的坐標，繼

而用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；

4．還有一種常見題型，解析式中由待定字母，這個字母可以根據(jù)題意列出方程組求解；

5．當相似時：一般說來，這類題目都由圖像上的點轉(zhuǎn)化到三角形中的邊長的問題，再由邊的

數(shù)匱關(guān)系轉(zhuǎn)化到三角形的相似問題；

6．考查利用幾何定理和性質(zhì)或者代數(shù)方法建立方程求解的方法。

【備注】：

1．以下每題教法建議，請老師根據(jù)學生實際情況參考；

2．在講解時：不宜采用灌輸?shù)姆椒?，應采用啟發(fā)、誘導的策略，并在讀題時引導學生發(fā)現(xiàn)一

些題目中的條件（相等的量、不變的量、隱藏的量等等），使學生在復雜的背景下自已發(fā)現(xiàn)、領(lǐng)

悟題目的意思；

3．可以根據(jù)各題的“教法指導“引導學生逐步解題，并采用講練結(jié)合；注意邊講解邊讓學生

計算，加強師生之間的互動性，讓學生參與到例題的分析中來；

4．例題講解，可以根據(jù)“參考教法”中的問題引導學生分析題目，邊講邊讓學生書寫，每個

問題后面有答案提示；

5．引導的技巧：直接提醒，問題式引導，類比式引導等等；

6．部分例題可以先讓學生自己試一試，之后再結(jié)合學生做的情況講評；

7．每個題目的講解時間根據(jù)實際情況處理，建議每題7分鐘，選講例題在時間足夠的情況下

講解。

-

例1.(2022青浦一模24).(12分）如圖，在平面直角坐標系x0月工拋物線y=x2+b灶c與x

軸交于點A(-1,0)和點B(3,0)，與向抽交于點C,頂點為點D.

(1)求該拋物線的表達式及點戰(zhàn)勺坐標；

(2)聯(lián)結(jié)BC、BD，求乙CB~勺正切值；

(3)若點悶叮軸上一點，當ABDP與AAB岱日似時，求點府勺坐標．

DD

（備用圖）

【解答】斛；（l）將A(-1,0)、B(3,0)代入y=i+b對C,

得｛l－b+c=0,

9+3b+c=O

解得：｛爐－2,

c=-3

所以拋物線的表達式為y=i-2x-3.

當x=O時，y=-3.

:.點頌勺坐標為(O,-3).

(2)·:y=x2-2x-3=(x-1)2-4,

:．點兇勺坐標為(1,-4).

·:B(3,0)、C(O,-3)、D(l.-4),

:.BC＝對5，DC＝聶，BD=2森

:.BC+DC=18+2=20＝威．

:.乙BCD=90°.

DC妊1

.·.tan乙CBD=—：：：=-.

BC硝3

(3)·;tan乙ACO=—=－AO1,

oc3

:.L.ACO＝乙CBD.

·:OC=OB,

:.乙0CB＝乙OBC=45°

:．乙ACO幾乙OCB＝乙CB/)t乙OBC.

即：乙ACB=LDBO.

:．當ABDP與AAB邵似時，點虎E，點B左側(cè)．

(i)當!f...=且如，

CBBP

.．.岳::2森.

對2-BP

.'.BP=6.

:.PC-3,0).

(ii)當壓三座困，

CBDB

.．.伺::BP.

泣2寸5

10

:.BP=—·

3

:.PC-上，0).

3

綜上，點莊勺坐標為（－3,0)或（－上，0).

3

例2.(2022嘉定一模24)(12分）（2021秋·嘉定區(qū)期末）在平面直角坐標系xOyt=p,點A、B

兩點在直線y=l.x上，如圖．二次函數(shù)y=ai+bx-2的圖象也經(jīng)過點A、邠月點，并與琦由

2

相交于點C,如果BC//點由，點A的橫坐標是2.

Cl)求這個二次函數(shù)的解析式；

(2)設這個二次函數(shù)圖象的對稱軸與BC)汀氣點幾點囡E葉由的負半軸上，如果以點E、

O、所形組成的三角形與6.0BJ)相似，且相似比不為l，求點a￥J坐標；

(3)設這個二次函數(shù)圖象的頂點是從求tan乙A！訛的值．

y

A

X

【解答】解：（1)？二次函數(shù)y=ai+bx-2的圖像與灶由相交千點C,

：．點緝勺坐標為CO,-2),

·.．BC/／點由，

：．點的彴縱坐標是－2,

了點A、曬點在直線y=上x上，點A的橫坐標是2,

2

占點A的坐標為(2,l),點舶勺坐標為(-4,-2),

？這個二次函數(shù)的圖像也經(jīng)過點A(2,1)、B(-4,-2),

?f4a+2b-2=1

..{16a-4b-2=-2,

解這個力程組，得a＝上，b=l,

4

：．二次函數(shù)的解析式是y=..1x2+x-2:

4

(2)根據(jù)（l)得，二次函數(shù)y＝上2+x-2圖像的對稱軸是直線x=-2,

4X

:.I,遼的坐標為(-2,-2),

:.OB=2,[5,BD=2,

·:BC/／對叫，

:.乙OBD=乙BOE,

:．以點E、O、院且成的三角形與叢OB隴甘似有可能以下兩種：

BOBD

O當—-－時，L.BOlJv,L.OBE，顯然這兩耜似三角形的相似比為l，與已知相似比不為l

OBOE

矛盾，這種悄況應舍去，

＠當座曇座國，ABO廬L.OEB,

OEOB

...-2喬~2'

OE-2森

:.OE=IO,

又點胚E點舊的負半軸上，

占點h的坐標為(-10,0):

(3)過點d乍Cf/J_AJ{，垂足為If,

y

X

根據(jù)（1)得，一次函數(shù)的解析式是y＝上2+x-2的頂點坐標為ill(-2,-3),

4X

設直線A,1的解析式為y=k.x+m,

{2K+m=1,

-2k+m=-3

解得k=l,m=-l,

:．直線AA的解析式為y=x-1,

設盲線肌與講由、計由的交點分別為點P、Q,

則點悶勺坐標為(1,0)，點＂勺坐標為(0,-l),

:．么OP隄等腰直角三角形，乙OQP=45°,

·:乙OQP=乙HOC,

:.乙HOC'=45°,

．．．點氓丿坐標為(0,-2),

:.c產(chǎn)l,

:./IC=!!()＝邁，

2

又A妢＝2奸，

3

.?.Affl=M0-JIQ=瀘'

HC1

:.tan乙AMC=一·

MH3

3

例3(202崇明一模）24如圖，拋物線y=-.:'..i+bx+c與點由交于點A(4,0)，與講由交于點

4

B(O,3)，點叭／'ll,0)為線段OA上一動點，過點M且垂直于對由的直線與直線AB及拋物線分別交

千點P,N.

y)'

x

x

（備1TI圖）

(1)求拋物線的解析式，并寫出此拋物線的對稱軸和頂點坐標；

(2)如果以點P、N、B、0為頂點的四邊形為平行四邊形，求m的值；

(3)如果以B、P、A為頂點的三角形與AABO相似，求點府的坐標．

3

【小問l詳解】解：？拋物線尸－－}+bx+c與，＼軸交千點A(4,0)，與殉打交千點8(0,3),

4

:.『：x42+4b+c=0,

c=3

解得：［勹9，

c=3

3n9

：．拋物線的解析式為.r--－Al-+-.x+3,

44

393375

.:.r---x2+-x+3=－一（x-－）4+—,

444.2.16

3

．．．此拋物線對稱軸為x=一，

2

375

頂點坐標為(—,—)；

216

【小問2詳解】解：設有線A劭解析式為FP對q,

4p+q=O

把A(4,0),B(0,3)代入得｛,

q=3

解得{pq==-3:,3

．．直線A珀勺解析式為尸－－x+3,

4

.:M(IIJ,0)，ji1N上對利，

3..9..3

:.N(m,-－而＋－加3),p(Ill,-~m+3),

444

3

:.NP=-..:::..nl+3川，0作3,

4

·:NP/IOB,目以點P、N、B、媯頂點的四邊形為平行四邊形，

3

:.1VP=-OB,即－—111+3廬3,

4

整理得：nf-4加4=0,

解得：11,=2;

3

【小問3詳解】？A(4,0),8(0,3),P(lll,-—m+3),

4

=?m,

:.A`了=5,B氣，戒＋（－?m+34-3JJ4

3

而NP=－—nl+3m,

4

.:PJVI/OB,

:.乙BP1\匕乙ABO,

PBPN

當一—=——時，ABPA婦~OBA,

OBAB

532

—m-—m~+3m

即4=4

35

11

整理得91Ii-ll1JFO,解得n人＝0（舍去），I1}2=—,

9

11

此時Af點的坐標為(—,0);

9

PBPN

.=.'上＇1—=—時，i':,.BPN=i':,.ABO,

ABOB

532

-m--m+3m

即4=4

53

整理得2lll-5廬O,解得1111=0（舍去），龐＝3,

此時A1.點的坐標為(3,0):

Il

綜上所述，點邸坐標為(—,0)或(3,0).

9

例4.(2022寶山一模）已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝釭2+bx+c(a=1=-0)經(jīng)過

點A(-1,0)、B(3,0),C(0,3)，頂點為點D.

y

011X

(1)求拋物線的表達式及頂點D的坐標；

(2)聯(lián)結(jié)BD、CD,試判斷心BCD與c,.AOC是否相似，并證明你的結(jié)論；

(3)拋物線上是否存在點P,使得LPAC=45°.如果存在，請求出點P的坐標；如果不

存在，請說明理由．

【小問1詳解】崎拋物線經(jīng)過點A(-1,0),B(3,0),C(0,3),

設拋物線解析式為：y=a(x+l)(x-3),

將點C代入可得：3=a(O+1)(0-3),

解得：a=-1,

:.y=-(x+l)(x-3)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

·'，頂點坐標為：D(l,4);

【小問2詳解】解：如圖所示：

y

D

,X

心AOC為直角二角形且三邊長分別為：AO=l.OC=3,AC=~＝而，

6.BCD的三邊長分別為：BC=~氣盧＝3?2'

CD=~飛，BD=｀了二淡，

:.BC2+CD2=BD氣

:.L:::,.BCD為直角三角形，

..CDBCBD

==＝五，

AOOCAC

:.l:>.AOC~l:>.DCB;

【小問3詳解】解：設存在點片吏乙PAC=45°,作線段AC的中乖線交AC千點上，交A門二點凡

連接CF，如（2)巾圖：

:.乙FEA.=90°,臼扛

·:乙PAC=45°,

:.乙AFC=90°,

:.LAFC為等腰直角三角形，

l而

:.AF=FC,EF=..:.Ac=—,

22

2

:.AF2+FC2=AC2，即AF2+AF2=（如）

解得：AF=?5,

設F(x,y),

:.AF＝廬言，CF=產(chǎn)了，

:.(x+1)2+y2氣＋（3－y)2,

整理得：x+3y=4(D,

EF=／（分）2+（三）2＝氖

氣忙(y-：廠滬，

將＠代入＠整理得：y2-3y+2=0,

解得：Y,=1,Y2=2,

:.X1=1,X2=-2,

:.F(Ll)或F(-2,2)（不符合題意舍去），

:.F(l,1),A(-1,0),

設直線網(wǎng)解析式為：y=kx+b(k丑0)，將兩個點代入可得：

{l=k+b,

0=-k+b

解得｛勹'

11

:.y=-:;X+-;:-'

22

上聯(lián)立兩個函數(shù)得：

｛葉書y=-X2+2x+3?，

11

將O代入＠得：-x+~=-x2+2x+3,

22

整理得：2x2-3x-5=0,

5

解得：x,=-1,易＝－，

2

5.7

當x=－時，y=-,

24

?·.P`,i).

例5.(2022靜安區(qū)一模24)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=}+b必和過點A(2,

0)和點B(-1,m)，頂點為點D.

(1)求直線A龐勺表達式；

(2)求tan乙AB戊勺值；

(3)設線段B肛尹軸交于點P，如果點勿五軸上，且AABC與AAB階甘似，求點項勺坐標．

,y

X

.D

【分析】(1)將A(2,0)代入y=i+bx,求出拋物線解析式，再將B(-1,Ill)代入y=x仁

2x,求出1酌值，然后用待定系數(shù)法求直線A肪勺解析式即可；

(2)利用勾股定理判定AAB膚售直角三角形，即可求解；

(3)求出P點坐標(1.,0)，設C(t,0)，當乙ABC＝乙A丹咐，叢ABPv勹l::.APC,過B點作BQ

2

..L葉由交千點Q，則tan乙BC()=1.＝呈＿，求出C()=9，即可求C(-10,0)；當P點與C點重合

3CQ

時，叢AB在'.'.16ABP，即可求C點坐標．

【解答】解：（l）將A(2,0)代入y=}+bx,

.'.4+2b=O,

:.b=-2,

:.y=x"2-2x,

將B(-1,Ill)代入y=x乙－2x,

:.m=3,

.·.B(-l,3),

設直線A汛勺解析式為y=kx+b,

1b:::::

:.y=-x+2;

(2)','y=}-2x=(x-l)2-l,

:.D(1,-1),

:.AD=聶，AB=2-[5,BC=-3-[2,

·:AU=AD+BC,

:.AAB歷違直角二角形，

.'.tan乙AB.D＝坐＝上

AB3

(3)設直線B沈勺解析式為y=k1,1+b1,

廠:2;113

.'.y=-2x+l,

令y=O,則x=－1，

2

:.P（上，0),

2

設C(t,0),

如圖1,當乙ABC=-乙AP壓寸，AABCOAAP從

:.乙ACB＝乙ABP

過B點作B()l.x軸交于點(),

1_3

.'.tan乙BC產(chǎn)－＝—＇

3CQ

.?.e()=9,

:.CO=10,

:.C(-10,O);

當C點與P點幣合時，6AB絲遼1ABP,

此時C(-=..1,0);

2

綜上所述C點坐標為(-10,0)或（一1，0).

2

x

c

D

圖l

【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，

利用分類討論，數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．

霆ZB

1.(2021年寶山二模24)在平面直角坐標系x0月刁，拋物線y=ai+bx-1(a#-0)經(jīng)過點A

(-2,0),B(I,0)和點D(-3,n)，與灘交于點C.

(1)求該拋物線的表達式及點莊勺坐標；

(2)將拋物線平移，使點岱各在點B處，點歷客在點E處，求么0龐的面積；

(3)如果點陪訂軸上，6.PCD與6.AB岱且似，求點沌勺坐標．

y

OIlX

解：（I)？拋物線y=ai+bx-1纖過點A(-2,0),B(1,0)和D(-3,n),

?f4a-2b=l

..{a+b=1,

解得[::'

121

占拋物線解析式為：y=-x+-X-1·

22

.'.n~lX(-3)"~21X(-3)-1=2,

22

:.D(-3,2);

(2)？將拋物線平移，使點味§在點B處，點歷客在點E處，

.'.￡(-2,3),

115

:.st,(/{)t=9-~X3X2X2-－＝一；

222

(3)如圖l，連接CJJ,AC,CB,過點川乍[JEJ_片由十點h'，

y

E

X

圖l

·:A(-2,0),B(1,0),C(-1,0),D(-3,2),

:.OB=OC,DE=CE=3,AB=3,BC＝石，CD=3..J'2,

:.乙ABC=乙OCD=45°,

.：APCD與6AB湘似，點P在片由上，

:．分兩種情況討論：

CD如圖2,當乙BAC＝乙C阱時，叢DC戶立::,.ABC,

r

D

.IB及

C、

圖2

.ABBC

..::

CDPC

.3寸

泣PC'

:.PC=2,

:.P(O,I),

＠如圖3,當乙BAC＝乙拼鈕寸，~PC_[Ju-,~ABC,

y

IP

A

X

.BCAB

..=

CDPC

竺互二

泣pc'

:.PC=9,

:.PCO,8).

:．點府勺坐標為(0,8)或(0,1)時，6.PCD與AABC相似．

2.(2021崇明二模24)(12分）已知拋物線y=ax2+bx-4經(jīng)過點A(-LO),B(4,0),

與升由交千點C,點歷違該拋物線上一點，且在第四象限內(nèi)，聯(lián)結(jié)AC、BC、C從BD.

(1)求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出對稱軸；

(2)當SABC[J=4St:,嘔時，求點硝坐標；

(3)在(2)的條件下，如果點E是啡h上的一點，點F是拋物線上一點，當點A、D、E、F

為頂點的四邊形是平