現(xiàn)代測試技術第二章

現(xiàn)代測試技術第二章第一頁，共六十四頁，2022年，8月28日測量誤差的基本概念；系統(tǒng)誤差的消除；隨機誤差的處理；粗大誤差的剔除；測量結果的估計；測量結果的表示；微小誤差準則與對比標準的選取本章主要內容第二頁，共六十四頁，2022年，8月28日2.1測量誤差基本概念2.1.1測量誤差的幾個名詞術語

1、真值：被測量本身客觀存在的實際值。真值是客觀存在，但是不可測量的。在實際計量和測量中，經(jīng)常使用“約定真值”、“理論真值”和“相對真值”。約定真值：按照國際公認的單位定義，利用科學技術發(fā)展的最高水平所復現(xiàn)的單位基準。以法律形式規(guī)定的。可以忽略的。理論真值：理論上推導分析出來的。相對真值（實際值）：是在滿足規(guī)定準確度時用來代替真值使用的值。（儀表校準）第三頁，共六十四頁，2022年，8月28日2、標稱值：計量或測量器具上標注的量值。3、示值：由測量儀器給出的量值，也稱測量值。4、準確度：表示測量結果與真值的一致程度，是一個定性概念。與其相近的另一個概念是不確定度。5、重復性：在相同條件下，對同一被測量進行多次連續(xù)測量所得結果之間的一致性。6、誤差公理：一切測量都具有誤差，誤差自始自終存在于一切科學實驗之中。第四頁，共六十四頁，2022年，8月28日2.1.2測量誤差的表示

1絕對誤差：ΔA=Ax-A0

絕對誤差的負值稱之為修正值，也叫補值，一般用c表示，即c=-ΔA=A0-Ax

儀器的修正值一般是計量部門檢定給出。示值加上修正值可獲得真值，即實際值。2相對誤差：

因真值A0是無法知道，往往用測量值代替，即

在實際測量中，相對誤差常常用來評價測量結果的準確度，相對誤差越小準確度愈高。

絕對誤差相對誤差引用誤差容許誤差第五頁，共六十四頁，2022年，8月28日第六頁，共六十四頁，2022年，8月28日3引用誤差：絕對誤差與測量儀表量程之比，用百分數(shù)表示，即最大引用誤差：確定測量儀表的準確度等級應用最大引用誤差。電測量儀表的準確度等級指數(shù)a分為：0.1、0.2、0.5、1.01.5、2.5、5.0等7級。最大引用誤差不能超過儀表準確度等級指數(shù)a的百分數(shù)，即電測量儀表在使用時所產(chǎn)生的最大可能誤差可由下式求出：

第七頁，共六十四頁，2022年，8月28日［例］某1.0級電壓表，量程為300V,當測量值分別為U1=300V,U2=200V，U3=100V時，試求出測量值的(最大)絕對誤差和示值相對誤差。

［解］：ΔU1=ΔU2=ΔU3=±300×1.0%=±3VγU1=(ΔU1／U1)×100%=(±3/300)×100%=±1.0%γU2=(ΔU2／U2)×100%=(±3/200)×100%=±1.5%γU3=(ΔU3／U3)×100%=(±3/100)×100%=±3.0%

測量儀表產(chǎn)生的示值測量誤差γx不僅與所選儀表等級指數(shù)a有關，而與所選儀表的量程有關。一般不小于滿度值的2/3。第八頁，共六十四頁，2022年，8月28日4容許誤差：指測量儀器在使用條件下可能產(chǎn)生的最大誤差范圍，可用工作誤差、固有誤差、影響誤差、穩(wěn)定性誤差來描述。

容許誤差通常用絕對誤差表示：Δ=±(Axα%+Amβ%)

模擬儀表使用，例：電位差計β可忽略Δ=±(Axα%+n個字)數(shù)字式儀表 一般常用

式中Ax

——測量值或示值；Am

——量限或量程值；α——誤差的相對項系數(shù)；β——固定項系數(shù)。當α>5ββ項可忽略

“n個字”所表示的誤差值是數(shù)字儀表在給定量限下的分辨力的n倍，即末位一個字所代表的被測量量值的n倍。

例如，某3位數(shù)字電壓表，當n為5，在1V量限時，“n個字”表示的電壓誤差是5mV，而在10V量限時,n個字”表示的電壓誤差是50mV。第九頁，共六十四頁，2022年，8月28日例：某四位半數(shù)字電壓表，量程為2V，工作誤差為=0.025%UX1個字，用該表測量時，讀數(shù)分別為0.0012V和1.9888V，試求兩種情況下的絕對誤差和相對誤差。解：四位半表分辨率為0.0001V.9999第十頁，共六十四頁，2022年，8月28日2.1.3測量誤差的分類

1系統(tǒng)誤差：大小、方向恒定不變或按一定規(guī)律變化，可預知、可修正。

基本誤差:測量設備不準確或準確度等級不高。

附加誤差:超過正常工作范圍帶來的誤差。

理論誤差（方法誤差）:測量方法、理論不完善所帶來的誤差

人員誤差：試驗人員疏忽大意、測量素質不高產(chǎn)生的人員誤差。2隨機誤差：誤差是隨機的、可變的，不可預知、不可修正，但可用統(tǒng)計學方法處理。3粗大誤差：明顯偏離真值（異常值、壞值），應剔除。

系統(tǒng)誤差隨機誤差粗大誤差第十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日1.系統(tǒng)誤差定義：在同一測量條件下，多次重復測量同一量時，測量誤差的絕對值和符號都保持不變，或在測量條件改變時按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。例如儀器的刻度誤差和零位誤差，或值隨溫度變化的誤差。產(chǎn)生的主要原因是儀器的制造、安裝或使用方法不正確，環(huán)境因素（溫度、濕度、電源等）影響，測量原理中使用近似計算公式，測量人員不良的讀數(shù)習慣等。系統(tǒng)誤差表明了一個測量結果偏離真值或實際值的程度。系差越小，測量就越準確。系統(tǒng)誤差的定量定義是：在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值與被測量的真值之差。即第十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日2.隨機誤差定義:在同一測量條件下（指在測量環(huán)境、測量人員、測量技術和測量儀器都相同的條件下），多次重復測量同一量值時（等精度測量），每次測量誤差的絕對值和符號都以不可預知的方式變化的誤差，稱為隨機誤差或偶然誤差，簡稱隨差。隨機誤差主要由對測量值影響微小但卻互不相關的大量因素共同造成。這些因素主要是噪聲干擾、電磁場微變、零件的摩擦和配合間隙、熱起伏、空氣擾動、大地微震、測量人員感官的無規(guī)律變化等。第十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日例：對一不變的電壓在相同情況下，多次測量得到1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V。單次測量的隨差沒有規(guī)律;但多次測量的總體卻服從統(tǒng)計規(guī)律;可通過數(shù)理統(tǒng)計的方法來處理,即求算術平均值。隨機誤差定義：測量結果與在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值之差

第十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日3.粗大誤差：

定義：粗大誤差是一種顯然與實際值不符的誤差。產(chǎn)生粗差的原因有：①測量操作疏忽和失誤如測錯、讀錯、記錯以及實驗條件未達到預定的要求而匆忙實驗等。②測量方法不當或錯誤如用普通萬用表電壓檔直接測高內阻電源的開路電壓③測量環(huán)境條件的突然變化如電源電壓突然增高或降低，雷電干擾、機械沖擊等引起測量儀器示值的劇烈變化等。含有粗差的測量值稱為壞值或異常值，在數(shù)據(jù)處理時，應剔除掉。

第十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日2.1.4有效數(shù)字1數(shù)據(jù)的舍入規(guī)則小于5舍去；大于5進1；等于5則應用偶數(shù)法則，末位是偶數(shù)，則末位不變；末位是奇數(shù)，則末位增加1。例如，將下列數(shù)據(jù)舍入到小數(shù)第二位。25.3250→25.32（∵0.0050=0.005，末位為偶數(shù)舍去） 17.6955→17.70（∵0.0055=0.005，末位為奇數(shù)進1） 123.105→123.10（∵0.0050=0.005，末位為0，按偶數(shù)處理，舍去）2有效數(shù)字若截取得到的近似數(shù)，其截取或舍入誤差的絕對值不超過近似數(shù)末位的半個單位，則該近似數(shù)從左邊第一個非零數(shù)字到最末一位數(shù)字為止的全部數(shù)字，稱之為有效數(shù)字。3測量結果有效數(shù)字位數(shù)的確定

第十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日數(shù)據(jù)記錄、運算的準確性要和測量的準確性相適應！測量值的末位數(shù)與誤差的末位數(shù)對齊

有效數(shù)字:所有準確數(shù)字和一位欠準確數(shù)字第十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日數(shù)學：

物理測量：

01234(a)分度值1mm

L=3.23cm三位01234(b)分度值1cm

L=3.2cm二位有效數(shù)字位數(shù)越多，測量精度越高第十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日數(shù)字取舍規(guī)則運算結果(測量值)的末位數(shù)應與誤差的末位數(shù)對齊。

小于5舍去；大于5進1；等于5則應用偶數(shù)法則，末位是偶數(shù)，則末位不變；末位是奇數(shù)，則末位增加1。25.3250→25.3217.6955→17.70第十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日2.2系統(tǒng)誤差的消除2.2.1從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的來源上消除基本誤差：選擇準確度等級高的儀器設備；附加誤差：使儀器設備工作在其規(guī)定的工作條件下，使用前正確調零、預熱以消除儀器設備的；方法誤差和理論誤差：選擇合理的測量方法，設計正確的測量步驟；人員誤差：提高測量人員的測量素質，改善測量條件(選用智能化、數(shù)字化儀器儀表等)。第二十頁，共六十四頁，2022年，8月28日2.2系統(tǒng)誤差的消除

2.2.2利用修正的方法來消除

C稱為修正值，由計量部門檢定時給出

2.2.3利用特殊的測量方法消除

替代法；差值法；正負誤差補償法；對稱觀測法；迭代自校法

第二十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日替代法

在測量條件不變的情況下，用一已知的標準量去替代未知的被測量，通過調整標準量而保持替代前后儀器的示值不變，標準量的值等于被測量值。

第二十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日交換法通過交換被測量和標準量的位置，從前后兩次換位測量結果的處理中，削弱或消除系統(tǒng)誤差。特別適用于平衡對稱結構的測量裝置中，并通過交換法可檢查其對稱性是否良好。第一次平衡 第二次平衡 上兩式相乘、開方得：第二十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日例：在電橋中采用交換法測電阻第二十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日2.3隨機誤差的處理

2.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性和概率分布1測量誤差的數(shù)學表達根據(jù)誤差理論，任何一次測量中，一般都含有系統(tǒng)誤差ε和隨機誤差δ，即ΔA=ε+δ=Ax-A0在一般工程測量中，系統(tǒng)誤差遠大于隨機誤差，即ε>>δ，相對來講隨機誤差可以忽略不計，此時只需處理和估計系統(tǒng)誤差即可。在精密測量中，系統(tǒng)誤差已經(jīng)消除或小得可以忽略不計時，即ε≈0。第二十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日②對稱性①單峰性

③有界性2隨機誤差的統(tǒng)計特性0④抵償性即第二十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日3隨機誤差的概率分布（1）正態(tài)分布的隨機誤差，其概率密度函數(shù)

式中σ和σ2——隨機誤差δ的標準差和方差

第二十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日

（2）均勻分布

特點：在某一區(qū)域內，隨機誤差出現(xiàn)的概率處處相等，而在該區(qū)域外隨機誤差出現(xiàn)的概率為零。均勻分布的概率密度函數(shù)φ(δ)為

式中a——隨機誤差δ的極限值。儀器度盤刻度差引起的誤差；儀器最小分辨率限制引起的誤差數(shù)字儀表的量化(±1)誤差數(shù)字計算中的舍入誤差對于一些只知道誤差出現(xiàn)的大致范圍，而不知其分布規(guī)律的誤差，在處理時經(jīng)常按均勻分布的誤差對待。

第二十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日

（3）t分布主要用來處理小樣本(即測量數(shù)據(jù)比較少)的測量數(shù)據(jù)。正態(tài)分布理論只適合于大樣本的測量數(shù)據(jù)。t分布的概率密度函數(shù)φ(t)為：

和標準正態(tài)分布的圖形類似；特點是分布與標準差的估計值無關，但與自由度(n-1)有關；當n較大(n>30)時，t分布和正態(tài)分布的差異就很小了，當n→∞時，兩者就完全相同了。第二十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日4隨機變量中幅值的特征參量隨機變量通常有兩個重要特征參數(shù)，即數(shù)學期望和方差(標準偏差)。數(shù)學期望體現(xiàn)了隨機變量分布中心的位置；方差反映了隨機變量對分布中心的離散程度。1測量數(shù)據(jù)的數(shù)學期望

式中n—測量次數(shù)；Ai—第i次的測量讀數(shù).2隨機變量的方差和標準差標準偏差（簡稱標準差）：第三十頁，共六十四頁，2022年，8月28日2.3.2隨機誤差的估計

1算術平均值原理

測量列的算術平均值是最佳可信賴值，是被測量A數(shù)學期望(真值)M(A)的最佳估計，這一原理被稱之為算術平均值原理。算術平均值的數(shù)學表達為：算術平均值具有以下特點：一致性:隨著測量次數(shù)n的增加，趨于被測參數(shù)的

無偏性：估計值A圍繞M(A)擺動，且

有效性:A擺動幅度比單個測量值??；

充分性：A包含了樣本(測量列)的全部信息

第三十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日2標準偏差的估計：

式中νi——剩余誤差，其定義是(i=1,2,…,n)方差估計值的實用算法和遞推公式分別為：

第三十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日3算術平均值的標準差

實際測量中，測量次數(shù)一般取10~20次。若要進一步提高測量準確度，需從選擇更高準確度的測量儀器、更合理的測量方法、更好的控制測量條件等方面入手?！阈g平均值的方差估計值

——算術平均值的標準差估計值第三十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日【例】用溫度計重復測量某個不變的溫度，得11個測量值的序列（見下表）。求測量值的平均值及其標準偏差。解：①平均值

②用公式計算各測量值殘差列于上表中③實驗偏差④標準偏差第三十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日4測量結果的置信度（1）置信度的概念——表征測量數(shù)據(jù)或結果可信賴程度的一個參數(shù)

置信區(qū)間[M(A)-Kσ(A),M(A)+Kσ(A)］K——置信因子置信概率Ai在置信區(qū)間中的概率P。置信概率可信度（2）置信度的幾何意義：在同一分布下，置信區(qū)間愈寬，置信概率(概率曲線、置信區(qū)間和橫軸圍成的圖形面積)也就愈大，反之亦然。在不同的分布下當置信區(qū)間給定時，標準差愈小，置信因子和相應的置信概率也就愈大，反映出測量數(shù)據(jù)的可信度就愈高。

第三十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日置信概率是圖中陰影部分面積置信區(qū)間內包含真值的概率稱為置信概率。置信限：

k——置信系數(shù)（或置信因子）第三十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日（3）正態(tài)分布的置信概率當分布和k值確定之后，則置信概率可定正態(tài)分布,當k=3時置信因子k置信概率Pc10.6826920.9545030.99730區(qū)間越寬，置信概率越大第三十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日第三十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日（4）t分布的置信限t分布與測量次數(shù)有關。當n足夠大時，t分布趨于正態(tài)分布。正態(tài)分布是t分布的極限分布。給定置信概率和測量次數(shù)n，查表得置信因子kt。自由度：v=n-1第三十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日第四十頁，共六十四頁，2022年，8月28日（5）非正態(tài)分布的置信因子由于常見的非正態(tài)分布都是有限的，設其置信限為誤差極限，即誤差的置信區(qū)間為置信概率為100％。（P=1)反正弦均勻三角分布例：均勻分布

有故:第四十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日第四十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日［例］對某電容進行了8次等精度、無系差、獨立測量，測量值如下(單位為μF):Ci75.01,75.04,75.07,75.03,75.09,75.06,75.02,75.08試求被測電容的估計值和當P=0.99時被測電容真值的置信區(qū)間。解：根據(jù)平均值原理，被測電容的估計值是測量數(shù)據(jù)的算術平均值，即

測量列的方差估計值為測量列的標準差估計值為第四十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日測量列平均值的標準差估計值為當P=0.99,k=7,由表2-2查得Kt=3.50,于是可得被測電容置信區(qū)間為故被測電容真值C0以0.99的置信概率可能處在75.01～75.09μF范圍內。

第四十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日（6）計算：要會通過查表由K求P，或由P求K

在正態(tài)分布下，n>20次。K=1P=68.27%K=2P=95.45%K=3P=99.73%表示：K＝3時區(qū)間內置信率為99.73%。第四十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日2.4粗大誤差的剔除大誤差出現(xiàn)的概率很小，列出可疑數(shù)據(jù)，分析是否是粗大誤差，若是，則應將對應的測量值剔除。

1.粗大誤差產(chǎn)生原因①測量人員的主觀原因：操作失誤或錯誤記錄；②客觀外界條件的原因：測量條件意外改變、受較大的電磁干擾，或測量儀器偶然失效等。第四十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日2.粗大誤差的判別準則統(tǒng)計學的方法的基本思想是：給定一置信概率，確定相應的置信區(qū)間，凡超過置信區(qū)間的誤差就認為是粗大誤差，并予以剔除。拉依達準則格羅布斯準則第四十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日（1）拉依達準則拉依達準則：設測量數(shù)據(jù)中，測量值Ak的隨機誤差為δK，當｜δK｜≥3σ(A)時，則測量值AK是含有粗大誤差的異常值，應予以剔除。在實際應用中，則使用剩余誤差和標準差的估計值，即

（2）格羅布斯(Grubbs)準則格羅布斯準則是由數(shù)理統(tǒng)計方法推導出的比較嚴謹?shù)慕Y論，具有明確的概率意義。當測量數(shù)據(jù)中，測量值AK的剩余誤差νK滿足

則測量值Ak是含有粗大誤差的異常值，應予以剔除。第四十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日3應注意的問題①所有的檢驗法都是人為主觀擬定的，至今無統(tǒng)一的規(guī)定。當偏離正態(tài)分布和測量次數(shù)少時檢驗不一定可靠。②

若有多個可疑數(shù)據(jù)同時超過檢驗所定置信區(qū)間，應逐個剔除，重新計算，再行判別。若有兩個相同數(shù)據(jù)超出范圍時，應逐個剔除。③在一組測量數(shù)據(jù)中，可疑數(shù)據(jù)應很少。反之，說明系統(tǒng)工作不正常。第四十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日粗大誤差剔除的小結：

無系統(tǒng)誤差（準確度較高的表）等精度多次測量得Ai,i=1,2,3……n（1）求平均值：（2）求標準差：（3）剔除粗大誤差AK，若有重復（1）、（2）；（4）計算其算術平均值的標準差：（5）給出置信概率下結果：單位第五十頁，共六十四頁，2022年，8月28日例：用準確度較高的測量儀器對某電阻進行16次等精度測量，測量結果：34.86,35.21,34.97,35.14,35.35,35.21,35.16,35.22,35.30,35.71,35.94,35.63,35.65,35.70,35.24,35.36，求被測量電阻的測量結果。解：a.無系統(tǒng)誤差；b.c.

d.第13次，36.65-35.30=1.35>該值應剔除。e.重新計算15次測量的

f.第五十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日【例】對某電壓進行了16次等精度測量，測量數(shù)據(jù)中已記入修正值，列于表中。要求給出包括誤差在內的測量結果表達式。第五十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日第五十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日第五十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日2.5測量結果誤差的估計2.5.1直接測量結果的誤差估計1.已知儀表的量程和準確度等級，測量結果表示：

ΔA=±aAm%式中ΔA，γA——測量結果Ax的絕對誤差和相對誤差，Ax為測量結果；

a,Am——分別為儀器儀表的準確度等級和量程。第五十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日2.已知儀器儀表的基本誤差或允許誤差的測量結果(數(shù)字表)：ΔA=ΔΔ=±(Axα%+n個字)γA=(Δ/Ax)×100%式中Δ——儀器儀表的基本誤差或允許誤差

3.若進行了多次測量，則還應考慮隨機誤差的影響。若多次測量的標準偏差的估計值為σ，則測量誤差為

ΔA=±(aAm%+Kσ)ΔA=±(｜Δ｜+Kσ)式中K——置信因子。

第五十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日2.5.2間接測量結果的誤差估計（誤差合成）問題：用間接法測量電阻消耗的功率時，需測量電阻R、端電壓V和電流I三個量中的兩個量，如何根據(jù)電阻、電壓或電流的誤差來推算功率的誤差呢？1誤差合成的一般公式設測量結果y是n個獨立變量A1,A2，…，An的函數(shù)，即y=f(A1,A2,…,An)絕對誤差：

相對誤差：*重點是要確定傳遞函數(shù)CΔ和Cγ。函數(shù)總誤差等于各誤差分量的代數(shù)和第五十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日2誤差傳遞系數(shù)的確定確定誤差傳遞系數(shù)是誤差合成的關鍵。傳遞系數(shù)確定的常用方法有微分確定法、計算機仿真確定法和實驗確定法。

(1)微分確定法

條件：適合于確切知道函數(shù)的關系式，已知y=f(A1,A2,…,An)。

結論：（2）計算機仿真確定法（3）實驗確定法。

變量Ai對函數(shù)y的絕對誤差傳遞系數(shù)等于y對Ai的一階偏導數(shù)。

變量Ai對函數(shù)y的相對誤差傳遞系數(shù)，等于函數(shù)y的對數(shù)對Ai的一階偏導數(shù)乘以Ai。

第五十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日在實際應用中，由于分項誤差符號不定而可同時取正負，有時就采用保守的辦法來估算誤差，即將式中各分項取絕對值后再相加該公式常用于在設計階段中對傳感器、儀器及系統(tǒng)等的誤差進行分析和估算，以采取減少誤差的相應措施。但是，更嚴格和更準確地計算合成誤差的方法是測量不確定度理論中的合成不確定度評定。第五十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日

幾個典型特例：

第六十頁，共六十四頁，2022年，8月28日第六十