勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)(全國(guó)優(yōu)秀課)

-.z.課題：勾股定理〔1〕教材：〔人教版〕義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)八年級(jí)〔下〕教師年級(jí)初二授課時(shí)間科目數(shù)學(xué)班級(jí)初二〔1〕班課題勾股定理〔1〕教學(xué)目標(biāo)1．理解勾股定理的兩種證明方法——畢達(dá)哥拉斯證法和趙爽的弦圖證法；應(yīng)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的直角三角形三邊計(jì)算問(wèn)題；2．通過(guò)對(duì)直角三角形三邊關(guān)系的猜測(cè)驗(yàn)證，經(jīng)歷從特殊到一般的探索過(guò)程，開(kāi)展合情推理，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想；3．在勾股定理的探索過(guò)程中感受數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，增進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心.教學(xué)重點(diǎn)探究并理解勾股定理．教學(xué)難點(diǎn)探索勾股定理的驗(yàn)證方法.教學(xué)方法啟發(fā)式與探究式相結(jié)合.教學(xué)手段多媒體投影、計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，自制教具實(shí)驗(yàn)輔助.教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖舊知新問(wèn)，引出新課提問(wèn)：你們對(duì)直角三角形都有哪些了解？預(yù)案：學(xué)生易答：直角三角形中有一個(gè)直角，兩個(gè)銳角互余；三角形兩邊之和大于第三邊等.預(yù)設(shè)問(wèn)題：直角三角形的三邊長(zhǎng)之間滿足怎樣的等量關(guān)系呢？為什么？你能直接從圖形中看出來(lái)嗎？從而引出今天我們將共同探討問(wèn)題——直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系.猜測(cè)探索，形成方法在2500年前，古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家畢達(dá)哥拉斯就已經(jīng)對(duì)此問(wèn)題有了明確的結(jié)論并給與了證明，相傳他對(duì)三角形三邊關(guān)系的發(fā)現(xiàn)竟然是從地磚中得到的，現(xiàn)在就讓我們一同回到2500年前，體驗(yàn)一下畢達(dá)哥拉斯的經(jīng)歷：【活動(dòng)1】："地磚里的秘密？〞地磚中隱含著直角三角形三邊關(guān)系的什么"秘密〞呢？〔圖1〕預(yù)設(shè)問(wèn)題：?jiǎn)栴}1：地磚是由全等的直角三角形拼接而成的，每個(gè)直角三角形都相鄰三個(gè)正方形，這三個(gè)正方形面積間有怎樣的關(guān)系？你是怎樣看出來(lái)的？問(wèn)題2：如果用直角三角形三邊長(zhǎng)來(lái)分別表示這三個(gè)正方形的面積，又將反映三邊怎樣的數(shù)量關(guān)系？問(wèn)題3：等腰直角三角形滿足上述關(guān)系，則一般直角三角形呢？【發(fā)現(xiàn)】：【活動(dòng)2】："勾三，股四，弦?guī)缀危卡暪膭?lì)學(xué)生利用畢達(dá)哥拉斯的面積方法在圖2的網(wǎng)格圖中嘗試探索"勾三股四的直角三角形的弦長(zhǎng)〞．：Rt求AB的長(zhǎng)．〔圖2〕預(yù)設(shè)問(wèn)題：正方形P、Q的面積為什么易求？正方形R的面積不易求的原因是什么？怎樣將正方形R的面積轉(zhuǎn)化為幾個(gè)"格點(diǎn)圖形〞的面積和或差來(lái)計(jì)算呢？預(yù)案："割〞"補(bǔ)〞"割〞"補(bǔ)〞"旋轉(zhuǎn)〞"平移〞"旋轉(zhuǎn)〞"平移〞由此發(fā)現(xiàn)直角邊長(zhǎng)為3和4的直角三角形的三邊具有怎樣的關(guān)系？預(yù)案：：Rt求AB的長(zhǎng)．【板書】猜測(cè):直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.【活動(dòng)3】我們一起來(lái)驗(yàn)證！：Rt求證：預(yù)案1：可代表邊長(zhǎng)為的正方形的面積，則就存在一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，需要四條長(zhǎng)為的線段，即四個(gè)與全等的直角三角形，用這樣的四個(gè)三角形能拼成邊長(zhǎng)為的正方形嗎？應(yīng)用代數(shù)方法能否證明？試動(dòng)手拼一拼，證一證.證法1：將四個(gè)全等的直角三角形圍成如下圖的正方形∵.∴.證法2：將四個(gè)全等的直角三角形圍成如下圖的正方形∵.∴.預(yù)案2：沿用面積法的思路：可代表邊長(zhǎng)為的正方形的面積；可代表邊長(zhǎng)為的正方形的面積；可代表邊長(zhǎng)為的正方形的面積；要證明，則需證明邊長(zhǎng)為的正方形和邊長(zhǎng)為的正方形通過(guò)"割補(bǔ)拼接〞后得到邊長(zhǎng)為的正方形，請(qǐng)嘗試實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.方法如下圖：【歷史介紹】預(yù)案1中的方法1是我國(guó)漢代的趙爽在注解"周髀算經(jīng)"時(shí)給出的方法，人們稱之為"趙爽弦圖〞，2002年召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)就將"趙爽弦圖〞定為會(huì)標(biāo)；預(yù)案2中的方法是我國(guó)古代的*徽在他的"九章算術(shù)"中應(yīng)用面積"出入相補(bǔ)〞的原理給出的"青朱出入圖〞法.公元1世紀(jì)中國(guó)一部天文學(xué)著作"周髀算經(jīng)"中記載的商高和周公的對(duì)話：周公問(wèn)商高"我聽(tīng)說(shuō)您對(duì)數(shù)學(xué)非常精通，我想請(qǐng)教一下：天沒(méi)有梯子可以上去，地也沒(méi)法用尺子去一段一段丈量，則怎樣才能得到關(guān)于天地的數(shù)據(jù)呢？〞商高答復(fù)說(shuō)："數(shù)的產(chǎn)生來(lái)源于對(duì)方和圓這些形體的認(rèn)識(shí).其中有一條原理：當(dāng)直角三角形‘矩’得到的一條直角邊‘勾’等于3，另一條直角邊‘股’等于4的時(shí)候，則它的斜邊‘弦’就必定是5.〞【階段小結(jié)】以上的兩種方法都不約而同地通過(guò)割補(bǔ)拼接的方法把直角三角形三邊關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為正方形面積問(wèn)題得以解決的。其中的依據(jù)是圖形經(jīng)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面積不會(huì)改變.這種原理在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也會(huì)應(yīng)用到.歸納總結(jié)，描述定理【文字語(yǔ)言】直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．【符號(hào)語(yǔ)言】Rt∵∴【圖形語(yǔ)言】穩(wěn)固練習(xí)，適當(dāng)拓展例如圖，要借助一架云梯登上24米高的建筑物頂部，為了平安需要，需使梯子底端離墻7m.這個(gè)梯子至少有多長(zhǎng)？如果梯子的頂端下滑了4米，則梯子的底端在水平方向上也滑動(dòng)了4米嗎？為什么？自我檢測(cè)：〔根底題〕在以下圖形中標(biāo)出直角三角形中未知邊的長(zhǎng)度：414188404066〔提高題〕選擇：〔1〕"趙爽弦圖"是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形〔如圖〕，假設(shè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別是2和1,則小正方形〔陰影區(qū)域〕的面積與大正方形的面積比為()A．B．C．D．〔2〕如圖，直線上有三個(gè)正方形，假設(shè)的面積分別為5和11，則的面積為〔〕ababcl課堂小結(jié)，布置作業(yè)小結(jié)提示：〔1〕勾股定理的使用條件是什么？〔2〕直角三角形三邊有什么樣的數(shù)量關(guān)系？〔3〕勾股定理的探索和應(yīng)用過(guò)程中你用到了哪些數(shù)學(xué)方法？領(lǐng)悟到了什么樣的數(shù)學(xué)思想？作業(yè)布置：〔根底必做題〕1.求出以下直角三角形中未知邊的長(zhǎng)度：2.課本習(xí)題18.1第11題；〔提高選作題〕收集勾股定理證明方法的資料，以小報(bào)或PPT的形式與同學(xué)們交流.學(xué)生交流對(duì)直角三角形中的角、邊關(guān)系的認(rèn)識(shí).【活動(dòng)1】在三個(gè)問(wèn)題的引領(lǐng)下，學(xué)生逐漸發(fā)現(xiàn)三個(gè)正方形面積間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形的三邊關(guān)系，進(jìn)而提出一般直角三角形三邊關(guān)系的猜測(cè).【活動(dòng)2】學(xué)生小組合作，在網(wǎng)格紙上畫圖探究正方形R的面積，小組代表交流方法．【活動(dòng)3】學(xué)生動(dòng)手操作，在感受圖形變化的同時(shí)，用"數(shù)〞描述圖形的面積，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合地得出直角三角形的三邊關(guān)系.小組代表在黑板上用模具展示拼圖結(jié)果，師生共同應(yīng)用代數(shù)法轉(zhuǎn)化等式，證明猜測(cè).學(xué)生歸納總結(jié)直角三角形三邊關(guān)系，結(jié)合圖形語(yǔ)言，從文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言兩方面描述勾股定理.學(xué)生分析條件，確定直角位置及邊的位置，嘗試應(yīng)用勾股定理在直角三角形兩邊時(shí)求第三邊.學(xué)生獨(dú)立完成自我檢測(cè)題，并交流解題方法.學(xué)生在三個(gè)問(wèn)題的引領(lǐng)下回憶并歸納本節(jié)課的知識(shí)技能、思想方法、情感體驗(yàn).學(xué)生課后完成作業(yè)，其中的提高選作題可預(yù)留一周時(shí)間完成.激發(fā)學(xué)生探索勾股定理的興趣.通過(guò)【活動(dòng)1】對(duì)地磚中圖形的探索培養(yǎng)學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識(shí)生活中現(xiàn)象的能力；將面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形三邊長(zhǎng)之間的數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生體驗(yàn)"面積法〞在幾何證明中的作用，為探索一般直角三角形三邊關(guān)系提供了方法線索．【活動(dòng)2】對(duì)"勾三，股四，弦五〞這種較一般的直角三角形的三邊關(guān)系進(jìn)展探究，讓學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)畢達(dá)哥拉斯的面積法，也再次為猜測(cè)提供有力證據(jù)；不僅如此，正方形R面積的計(jì)算方法已經(jīng)表達(dá)"割〞和"補(bǔ)〞的思想，這為下一步應(yīng)用面積證法進(jìn)展一般化證明做好鋪墊．【活動(dòng)3】通過(guò)使用直角三角形模具完成拼圖過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)應(yīng)用圖形"割補(bǔ)拼接〞面積不變的特點(diǎn)來(lái)驗(yàn)證直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系的猜測(cè)，培養(yǎng)學(xué)生由數(shù)到形再由形到數(shù)的數(shù)學(xué)思想以及轉(zhuǎn)化的能力．在實(shí)驗(yàn)拼圖探究的過(guò)程中開(kāi)展學(xué)生的空間想象力和合情推理能力.教師把握時(shí)機(jī)向?qū)W生講述勾股定理的探索歷史，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)證明的靈活與精巧，體會(huì)勾股定理中蘊(yùn)含的歷史和文化，學(xué)生在發(fā)現(xiàn)自己的方法與古代數(shù)學(xué)家的想法不期而遇時(shí)，自豪感和自信心油然而生．通過(guò)以上三個(gè)活動(dòng)，學(xué)生經(jīng)歷了實(shí)際抽象、猜測(cè)探索、一般驗(yàn)證的探究過(guò)程，實(shí)現(xiàn)了從特殊到一般的思維跨越．讓學(xué)生從文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言三個(gè)方面對(duì)勾股定理進(jìn)展描述，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)能力．本例是勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，通過(guò)條件的變化體會(huì)在直角三角形中兩邊可求第三邊．根底題是對(duì)勾