專題05 數(shù)列-2020年新高考數(shù)學(xué)二輪專項(xiàng)習(xí)題練

23-PAGE專題05數(shù)列一、單選題1．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A． B． C． D．2．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且、、成等差數(shù)列，若，則（）A． B． C． D．3．已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，若，，則（）A．110 B．150 C．210 D．2804．若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A． B． C． D．5．設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則的通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．6．對(duì)于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中，對(duì)自然數(shù)，規(guī)定為數(shù)列的階差分?jǐn)?shù)列，其中.若，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A． B．C． D．7．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，已知向量，，且，則A．12 B．10 C．5 D．8．?dāng)?shù)列滿足：，給出下述命題正確的個(gè)數(shù)是：（）①若數(shù)列滿足：，則；②存在常數(shù)，使得成立；③若（其中），則；④存在常數(shù)，使得都成立A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)二、多選題9．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，公差，則下列命題正確的是（）A．若，則必有 B．若，則必有是中最大的項(xiàng)C．若，則必有 D．若，則必有10．已知等比數(shù)列中，滿足，則（）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列中，仍成等比數(shù)列11．設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并且滿足條件，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為12．設(shè)為不超過(guò)x的最大整數(shù)，為能取到所有值的個(gè)數(shù)，是數(shù)列前n項(xiàng)的和，則下列結(jié)論正確的有（）A． B．190是數(shù)列中的項(xiàng)C． D．當(dāng)時(shí)，取最小值三、填空題13．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)所在的項(xiàng)數(shù)為_(kāi)_______.14．設(shè)數(shù)列滿足，，若數(shù)列的前2019項(xiàng)的乘積為3，則______．15．在數(shù)列中，，且.（1）的通項(xiàng)公式為_(kāi)_________；（2）在、、、、這項(xiàng)中，被除余的項(xiàng)數(shù)為_(kāi)_________．四、解答題16．已知數(shù)列滿足，且.(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.17．已知等差數(shù)列{an}滿足a5＝9，a2＋a6＝14.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.18．設(shè)為等差數(shù)列的公差，數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足（），且，若實(shí)數(shù)（，），則稱具有性質(zhì).（1）請(qǐng)判斷、是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若是單調(diào)遞增數(shù)列，求證：對(duì)任意的（，），實(shí)數(shù)都不具有性質(zhì)；（3）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，若對(duì)任意的，都具有性質(zhì)，求所有滿足條件的的值.參考答案1．B【解析】【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，求得；再根據(jù)下角標(biāo)的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)可知：，解得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2．C【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意得出關(guān)于的二次方程，求出的值，然后利用等比數(shù)列求和公式可求出的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由于、、成等差數(shù)列，且，，即，即，解得，因此，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和，解題的關(guān)鍵就是計(jì)算出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3．D【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，，，也成等差數(shù)列，由此求得的值.【詳解】解：等差數(shù)列前項(xiàng)和為，，，也成等差數(shù)列故，又故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用.4．C【解析】【分析】對(duì)已知，進(jìn)行化簡(jiǎn)，令，可得，即為等比數(shù)列，利用可計(jì)算出的首項(xiàng)和公比，從而可求得的通項(xiàng)，得到的通項(xiàng).【詳解】，令，可得為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，，故選C項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查換元法求數(shù)列的通項(xiàng)，等比數(shù)列求通項(xiàng)，考查內(nèi)容比較簡(jiǎn)單，屬于簡(jiǎn)單題.5．B【解析】【分析】先根據(jù)遞推公式求出首項(xiàng)，再遞推一步，兩個(gè)等式相減，即可判斷出數(shù)列是等比數(shù)列，最后求出通項(xiàng)公式即可.【詳解】因?yàn)椤?，時(shí)，，可得，時(shí)，…②，①-②得，，所以是等比數(shù)列，.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了通過(guò)遞推公式求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.6．B【解析】【分析】根據(jù)題中定義結(jié)合等式可得出，等式兩邊同時(shí)除以，可得出，可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得出.【詳解】根據(jù)題中定義可得，即，即，等式兩邊同時(shí)除以，得，且，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，，因此，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，涉及數(shù)列的新定義以及等差數(shù)列的定義，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.7．C【解析】【分析】利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì)及其對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得出．【詳解】向量＝（，），＝（，），且?＝4，∴+＝4，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：＝……＝＝＝2，則log2（?）＝．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì)及其對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．8．A【解析】【分析】由得，，然后結(jié)合條件，逐一判斷四個(gè)命題的真假．【詳解】由，得，即數(shù)列是遞增數(shù)列．對(duì)于①，若，則，成立，正確；對(duì)于②，若數(shù)列為遞減數(shù)列，如：，滿足題意，但是當(dāng)時(shí)，，不存在常數(shù)，使得成立，錯(cuò)誤；對(duì)于③，若數(shù)列為遞減數(shù)列，如：，滿足題意，，但是，錯(cuò)誤；對(duì)于④，若數(shù)列為遞減數(shù)列，如：，滿足題意，但是當(dāng)時(shí)，，故不存在常數(shù)，使得都成立，錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列遞推式以及數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力，屬于中檔題．9．ABC【解析】【分析】直接根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式逐一判斷．【詳解】∵等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，若，則，∴，∴，∵，∴，∴，∴，A對(duì)；∴，由二次函數(shù)的性質(zhì)知是中最大的項(xiàng)，B對(duì)；若，則，∴，∵，∴，∴，，∴，，C對(duì)，D錯(cuò)；故選：ABC．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式及其應(yīng)用，屬于中檔題．10．AC【解析】【分析】根據(jù)題意求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出數(shù)列，，的通項(xiàng)公式，并判斷數(shù)列類型，由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，可求出，即可判斷選項(xiàng)的真假．【詳解】等比數(shù)列中，，所以，．于是，，，故數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是遞減數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列．因?yàn)椋圆怀傻缺葦?shù)列．故選：AC．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及通過(guò)通項(xiàng)公式判斷數(shù)列類型，屬于基礎(chǔ)題．11．AD【解析】【分析】分類討論大于1的情況，得出符合題意的一項(xiàng).【詳解】①,與題設(shè)矛盾.②符合題意.③與題設(shè)矛盾.④與題設(shè)矛盾.得，則的最大值為.B，C，錯(cuò)誤.故選：AD.【點(diǎn)睛】考查等比數(shù)列的性質(zhì)及概念.補(bǔ)充：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：.12．ACD【解析】【分析】先根據(jù)的定義可求得,再確定的遞推公式,從而求得的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí),,,,故,即,當(dāng)時(shí),,,,故,即,當(dāng)時(shí),,,,故,即,以此類推,當(dāng),時(shí),,,故可以取的個(gè)數(shù)為,即當(dāng)時(shí)也滿足上式,故.對(duì)A,,故A正確.對(duì)B,令無(wú)整數(shù)解.故B錯(cuò)誤.對(duì)C,.故.故.故C正確.對(duì)D,.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).因?yàn)?當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,故當(dāng)時(shí),取最小值,故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列中的新定義問(wèn)題,需要根據(jù)題意求解通項(xiàng)公式進(jìn)行分析,主要考查遞推公式推導(dǎo)通項(xiàng)公式的方法等.屬于難題.三、填空題13．11.【解析】【分析】，時(shí)，，得到關(guān)于的不等式組，解得的范圍，結(jié)合，得到的值，再與時(shí)進(jìn)行比較，得到答案.【詳解】令，當(dāng)時(shí)，設(shè)為最大項(xiàng)，則即解得.而，所以又時(shí)，有，所以數(shù)列的最大項(xiàng)所在的項(xiàng)數(shù)為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列中的最大項(xiàng)，屬于簡(jiǎn)單題.14．2【解析】【分析】本題先根據(jù)遞推式的特點(diǎn)可知，然后將遞推式可轉(zhuǎn)化為再根據(jù)逐步代入前幾項(xiàng)即可發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以最小正周期為4的周期數(shù)列．再算出一個(gè)周期內(nèi)的乘積為1，即可根據(jù)前2019項(xiàng)的乘積為3求出a的值．【詳解】解：由題意，根據(jù)遞推式，，故遞推式可轉(zhuǎn)化為．，，，，．?dāng)?shù)列是以最小正周期為4的周期數(shù)列，．，，解得．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查周期數(shù)列的判定以及周期數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，本題屬中檔題．17．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得知數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出；（2）設(shè)，可得出，由為奇數(shù)，可得出為的倍數(shù)或?yàn)榈钠鏀?shù)倍且為偶數(shù)，求出兩種情況下值的個(gè)數(shù)，相加即可得出答案.【詳解】（1）且，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，，；（2）被整除且余數(shù)為的整數(shù)可表示為，令，可得，，且，則為奇數(shù)，則為的倍數(shù)，或者為的奇數(shù)倍且為偶數(shù).當(dāng)為的倍數(shù)時(shí)，的取值有：、、、、，共個(gè)；當(dāng)為的奇數(shù)倍且為偶數(shù)時(shí)，的取值有：、、、、，共個(gè).綜上所述，在、、、、這項(xiàng)中，被除余的項(xiàng)數(shù)為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列通項(xiàng)的求解，同時(shí)也考查了數(shù)列中項(xiàng)的整除問(wèn)題，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.16．（1）見(jiàn)解析，（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明數(shù)列是等差數(shù)列，并通過(guò)數(shù)列的通項(xiàng)公式得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)因?yàn)?，根?jù)錯(cuò)位相減法即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和．【詳解】(1)因?yàn)閮蛇叾技由希盟?，即，所以?shù)列是以為公差，首項(xiàng)為的等差數(shù)列．所以，即．(2)因?yàn)?，所以?shù)列的前項(xiàng)和，①則，②由，得，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的證明，等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，以及錯(cuò)位相減法的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．17．（1）an＝2n－1（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，將條件轉(zhuǎn)化為基本量再進(jìn)行計(jì)算，得到和的值，從而得到{an}的通項(xiàng)公式；（2）先得到的通項(xiàng)，然后當(dāng)q＞0且q≠1時(shí)，對(duì)進(jìn)行分組求和，分為一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列，分別求和再相加，當(dāng)q＝1時(shí)，是一個(gè)等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和公式進(jìn)行求和.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則由a5＝9，a2＋a6＝14得解得所以{an}的通項(xiàng)公式an＝2n－1.(2)由an＝2n－1，得.當(dāng)q＞0且q≠1時(shí)，Sn＝[1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)]＋(q1＋q3＋q5＋q7＋…＋q2n－1)；當(dāng)q＝1時(shí)，bn＝2n，則Sn＝n(n＋1)．所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)基本量求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，分組求和法求數(shù)列前項(xiàng)的和，屬于中檔題..18．（1）不具有性質(zhì)，具有性質(zhì)，理由見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）和.【解析】【分析】（1）求得時(shí),數(shù)列的前7項(xiàng),可得和首項(xiàng),得到等差數(shù)列的通項(xiàng),即可判斷、是否具有性質(zhì)；（2）由題意可得,代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式,化簡(jiǎn)整理可得入,結(jié)合集合中元素的特點(diǎn),即可得證；（3）求得的特點(diǎn),結(jié)合集合的特點(diǎn),即可得到所求取值.【詳解】解：（1）由得,又,得,可得,從而,故不具有性質(zhì),具有性質(zhì).（2）,因?yàn)閿?shù)列