第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.4高階

二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則第四節(jié)一、高階導(dǎo)數(shù)的概念機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束高階導(dǎo)數(shù)

第二章一、高階導(dǎo)數(shù)的概念速度即加速度即引例：變速直線運(yùn)動(dòng)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義.若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可導(dǎo),或即或類似地,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為n

階導(dǎo)數(shù),或的二階導(dǎo)數(shù)

,記作的導(dǎo)數(shù)為依次類推,分別記作則稱機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)求解:依次類推,例1.思考:

設(shè)問(wèn)可得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.

設(shè)求解:特別有:解:規(guī)定0!=1思考:例3.設(shè)求機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.

設(shè)求解:一般地,類似可證:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.設(shè)解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6.

設(shè)求使存在的最高分析:但是不存在.2又階數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則都有n

階導(dǎo)數(shù),則(C為常數(shù))萊布尼茲(Leibniz)公式及設(shè)函數(shù)推導(dǎo)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束規(guī)律用數(shù)學(xué)歸納法可證例7.求解:

設(shè)則代入萊布尼茲公式,得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例8.設(shè)求解:即用萊布尼茲公式求n

階導(dǎo)數(shù)令得由得即由得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例9.設(shè)由方程確定,解:方程兩邊對(duì)x

求導(dǎo),得再求導(dǎo),得②當(dāng)時(shí),故由①得再代入②得

求機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束①若參數(shù)方程二階可導(dǎo),且則由它確定的函數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù).利用新的參數(shù)方程,可得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束中?例10.設(shè),且求已知解:注意:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)(1)逐階求導(dǎo)法(2)利用歸納法(3)間接法——利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式(4)利用萊布尼茲公式高階導(dǎo)數(shù)的求法如,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)1.

如何求下列函數(shù)的

n

階導(dǎo)數(shù)?解:解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(3)提示:

令原式原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束各項(xiàng)均含因子(x–2)2.(填空題)(1)設(shè)則提示:(2)已知任意階可導(dǎo),且時(shí)提示:則當(dāng)3