理論力學(xué)簡(jiǎn)明教程復(fù)習(xí)題題庫(kù)

理論力學(xué)復(fù)習(xí)題計(jì)算題題庫(kù)第一章質(zhì)點(diǎn)力學(xué)點(diǎn)沿空間曲線運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)M處其速度為v^4/+3；，加速度S與速度P夾角乃=30°,且a=10m/s2o求軌跡在該點(diǎn)密切面內(nèi)的曲率半徑p和切向加速度%O答：由已知條件V=4Z+3j得v—^42+32=5m/s法向加速度弓=.sin30°=5mls22則曲率半徑p=^=5m 切向加速度aT=acos30°=8.6&n/s2一點(diǎn)向由靜止開始作勻加速圓周運(yùn)動(dòng)，試證明點(diǎn)的全加速度和切向加速度的夾角a與其經(jīng)過的那段圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角/3之間有如下關(guān)系tano=2"證明：設(shè)點(diǎn)M沿半徑為證明：設(shè)點(diǎn)M沿半徑為R的圓作圓周運(yùn)動(dòng))t時(shí)刻走過的路程為AM=s,速度為v,對(duì)應(yīng)的vtanavtana=—=—aTRa圓心角為月。由題設(shè)條件知 %皿TOC\o"1-5"\h\za,=^=v^=C (&)rdtds ',c為常數(shù)積分(b)式得［vdv=^aTds所以v2=2ar5 (c)將(c)式代入(a),并考慮s=R0,所以tan?=2/3質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程為x=3/(m),y=2/2(777)求t=1秒時(shí)，質(zhì)點(diǎn)速度、切向加速度、法向加速度的大小。解：由于、=3（，解：由于、=3（，%）9=4f=4（7%3所以有v=心2+寧2=J9+16=5（，%）又：v=杯+寧2=構(gòu)+16尸貝I]a；=v=l（9+16z2）^1-32z=——_=3.2時(shí)2 2（9+16z2）2S無=0j=4頓）。=山2+尹=4時(shí)）'a1-at2=V16-3.22=2.4頃）an?2??2點(diǎn)M沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)。如果％=-K（K為已知常數(shù)），以初%始位置為原點(diǎn)，原點(diǎn)初速度為塢。求點(diǎn)的弧坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)方程及點(diǎn)的速度減少一半時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間。解：設(shè)點(diǎn)的初始位置為Ao依題意dv v2——d— — dtTKKR積分上式「車=-片豚------得咋坐」兒v-KR）。v0vKR KR+vQt則弧坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)方程為+也］KR+kot IKR）當(dāng)v=咆時(shí)$=坐2V。一質(zhì)點(diǎn)沿圓滾線s=4“sin。的弧線運(yùn)動(dòng)，如0為常數(shù)，則其加速度亦為一常數(shù)，試證明之。式中。為圓滾線某點(diǎn)P上的切線與水平線（X軸）所成的角度，S為P點(diǎn)與曲線最低點(diǎn)之間的曲線弧長(zhǎng)。角辛：因s=4“sin。v=—= cos6=4tzocos0

式中常量（題設(shè)）ydv. 2?zi V7777t/v.二aT=——=-Aaa>sin0an=——Hl]Q=——=4。cosf)dt p dOcr|\IV216a1CD1COS20A2八所以％=—= =4皿cos。p4icos。故a=Ja；+a：=4aa)2Vsin26^+cos2=4aco2-常數(shù)結(jié)論得證設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿螺旋線X=2sin4"y=2cos4"z=4.運(yùn)動(dòng)’試求質(zhì)點(diǎn)的速度、加速度和軌道的曲率半徑。角學(xué)：因x=2sin4$,y=2cos4"z=4t故i:=8cos4。=4y,y--8sin4。=-4x,z=4所以y=yjx2+y2+z2=4yjx2+y2+1=4^5又云=4寧=一16x,寧=-4x=-16y,z=0所以a=7-r2+y2+z2= +y2=32. =0x2+y2+1J/+_/+1又. =0x2+y2+1J/+_/+1rdt2'所以0,=a=16yjx2+y2=32eb80cu血/?=——=——=2.532小環(huán)的質(zhì)量為m。套在一條光滑的鋼索上，鋼索的方程式為『=%y,試求小環(huán)自x=2a處自由滑至拋物線頂點(diǎn)時(shí)的速度及小環(huán)在此時(shí)所受到的約束反作用力。解：小環(huán)受力如圖示，重力，源豎直向下，約束力斤的方向沿著拋物線的法線m——=mgsinff(1)小環(huán)在任意位置P處的運(yùn)動(dòng)微分方程為徂V一m——=R—mgcosd(2)P因也=也迎=,也而tan弟sinM-也=-也(s增大而y減小故為didsdtds dxds負(fù)值)(1)式變?yōu)閙v—=-mg與即vdv=-gdy(3)dsds2積分J：vdv=-￡gdy得v=』2ag(因x=2a,y=}=<2)此即小環(huán)自x=2a處自由滑至拋物線頂點(diǎn)時(shí)的速度。又亍="則"半=三項(xiàng)=空=4ax2adx2a在拋物線頂點(diǎn)處x=Q,y=0,yf=0,yff=^~2a所以在拋物線頂點(diǎn)處q=土金=2。y由(2) 7?=m—+mgcosff= +mg―2mg (因在頂點(diǎn)處p la。=0,cos。=1)小環(huán)在頂點(diǎn)處所受到的約束反作用力為2〃zg。質(zhì)點(diǎn)所受的力如恒通過一定點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)必在一平面上運(yùn)動(dòng)，試證明之。證明：取力通過的定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)的位矢了與力所共線，則M=rxF=0所以質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒，即頂=。TOC\o"1-5"\h\zJ*=m{yz-zy)=C} (1)其分量式為jy=m(zx-xz)=C2 (2)Jz=m(xy-yx)=C3 (3)由xx(1)+yx(2)+zx(3)得至ljC}x+C2y+C3z=0由解析幾何知識(shí)知上式為一平面方程，故質(zhì)點(diǎn)只能在這個(gè)平面上運(yùn)動(dòng)?！矬w質(zhì)量m=10kg，在變力F=10(l-t)N作用下運(yùn)動(dòng)。設(shè)物體初速度v0=0.2m/s,開始時(shí)力的方向與速度方向相同。問經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間后物體速度為零，此前走了多少路程？(知識(shí)要點(diǎn))質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問題解答：由m^-=F得「dv=[10(1-0^積分得dt J'bJoV=-5/2+1(V+0.2(777/s)再積分￡ds=(-5Z2+1W+0.2)出得S=-：廣+5產(chǎn)+由v--5t2+1Or+0.2=0解得t=2.025再代入前式得S=7.07m質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)，其速率保持為常數(shù)，試證明速度矢量V與加速度矢量a正交。證明：采用自然坐標(biāo)系，由題意知0斤C為常量TOC\o"1-5"\h\z工曰—一dvd- de一 dr drj 。=——=—(er)=——t+c——=c——dtdt dt dt dt又在自然坐標(biāo)系中年=函dt匚匚]、j一dv d -一、de一 dr dr .一P/T以。=——=—(er)=—t+c——=c——=c(pndt dtdt dt dt由于^偵 故得證動(dòng)點(diǎn)M以勻速v=5(m/5)沿軌跡y=|x2運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)x=2m時(shí)動(dòng)點(diǎn)M的速度沿x和y分量的大小，以及M的加速度解：由v2-x2+y2-25 ⑴根據(jù)y=-x~求導(dǎo)數(shù)得y=—xx而x=2m時(shí)y=—x. Q)'3 ' 3 ' 3

⑵代入⑴得牛2=25.整理得x=3(m/5)代入(2)得y-4(m./s)又aT=—=0則即G=為at3又由數(shù)學(xué)知識(shí)知p=(17?2而根據(jù)微分得當(dāng)\y| 5 □x=2m時(shí)：2 n，2 n，16)!所以有「=嚀)2— 925-(6尸23125藥_1252一183故。==3.6(m/s2)

p1Z3軸的單位矢，試證明該力場(chǎng)是否為保守力場(chǎng)，若為保守力場(chǎng)，求出其勢(shì)能函數(shù)。解:—? —? —*i J kVxF=d ddrr,d(3xz2)S(x2)i-rd(2xy+z3)d(3xz2)i=11( 1+j 1dx dydzdy dz dz dx2xy+z3x23xz2某力場(chǎng)的力矢為產(chǎn)=(2叩+z3)z+X2j+3xz2k其中IJ.k分別為x,y,z+k竺12—「S+b)=/(0-0)+j(3z2-3z2)+k(2x-2x)=0dxdy故力場(chǎng)為保守力場(chǎng)。

日 6U.工乙=_丁=2。+OXz3 ⑴由口 dU2F、,= =尤-- ⑵Fz=-—=3xz2-zaz (3)(1)式積分得：U=-x~y-z3x+f(y,z)—(4)對(duì)⑷式求偏導(dǎo)數(shù)得：號(hào)一—即m=。上式得：f(y,z)=g(z)代入(4)式得：U=-x2y-z3x+g(z) (5)對(duì)⑸式求偏導(dǎo)數(shù)得：匹=-3專+亟也=—3?即也1)=0積分oz oz 8z得:g(z)=C代入(5)式得：U--x2y-z3x+c取x=0,y=0,U=0貝l]c=0所以勢(shì)能函數(shù)為 U=~x-y-z\某力場(chǎng)的力矢為心=6ab^y-2Cfcx3y2.Fy=6abx^-IC^x4y.Fz—1Sabxyz試證明該力場(chǎng)是否為保守力場(chǎng)，若為保守力場(chǎng)，求出其勢(shì)能函數(shù)。VxF='dFzdxFVxF='dFzdxFvISy=(1Sabxr-1Sabx^)z+(1%abzy-1Sabzy)j+(6abz一40bx3y一6abz+4(fe.r3=0故力場(chǎng)為保守力場(chǎng)。TOC\o"1-5"\h\zdU,2 q9Fx= =6ab^y-20by (1)dx^TT由Fv=-—=6abx^-1Qbx4y (2)dyFz= =18abxy^ (3)一dz對(duì)(1)式積分得：U=-6ab^yx+5bx4y2+/(y,z) (4)對(duì)(4)式求偏導(dǎo)數(shù)得：=-6ab^x+10&x4y+可'⑶圳=-F=-6abx^+10&x4ydy dy即住E=o上式得：y⑶z)=g(z)代入(4)式得：dyU=-Gabz'yx+Sbx^y2+g(z) (5)對(duì)(5)式求偏導(dǎo)數(shù)得：—=_l8abz2xy+i^=-F.=-ISabxyz2dz dz即冬21=0積分得：g(z)=c代入(5)式得：OZU=-6ab^yx+5bx^y2+c (6)取x=O,y=O,z=O,U=O貝"=0所以勢(shì)能函數(shù)為U=5bx4y2-6abxy^Fx=anx+any+ai3z已知作用于質(zhì)點(diǎn)上的力為Fy=a2lx+a22y+a23zFz=a3ix+a32y+a33z式上系數(shù)?,(/,；=1,2,3)都是常數(shù)，問這些為滿足什么條件，才有勢(shì)能存在？如這些條件滿足，試計(jì)算其勢(shì)能。解：要滿足勢(shì)能存在須使力場(chǎng)為保守力場(chǎng)，既力場(chǎng)的旋度為零，所以VxF=0TOC\o"1-5"\h\zdFxdF="13= =a3\dz oxSFy dFz=a23="Z—=a32dz oy即勢(shì)能存在與滿足條件是：弓2=角1。13=。31“23=。32dvTOC\o"1-5"\h\zPx=a\\X+。12>+a!3Z=一"廠 I)OXI dv由乙="21尤+。22>+a23Z=一~ (2)dy

dvFz=I3］尤+Q32y+以33z= (3)dz(1)式積分得V=-^-anx2-al2yx-al3zx+f(y,z) @)式對(duì)y偏微分二(2)式得dV 8f(y,z) =_。12工+ =-al2x-a22y-a23zdy dy艮［］母(1)=-a22y-a2iz (5)式積分得f(y,z)^~-^a22y2-a23zy+g(z) (6)式代入(4)式得V=-—anx2-anyx-aX3zx-\ <222y2-a23zy+g(z) (7)2 2式對(duì)z偏微分二(3)式得8V Qg(z)_—=-tz13x-€z23y+——=-ai3x-a23y-a33zdz dz即耍=_%z (8)dz式積分得g(z)=-^a33z2+c (9)(9)式代入(4)式得

V—_— —6Z|2 _63 5】22y2_^23 一^33^+。 Q。)取x=O,y=O,z=O,V=O則c=0得勢(shì)能為T7 1 ? 1 2 1 2V—-—6Zj-^12 -QgZX —CI22y-^23 -a%3Z=—+a22y2+a33z2+2al2xy+2a23zy+2a31zx)某力場(chǎng)的力矢為F=xi+yj+zk試證明該力場(chǎng)是否為保守力場(chǎng)，若為保守力場(chǎng)，求出其勢(shì)能函數(shù)。V

于

由

解EA&FV

于

由

解EA&F一

-頂。￥f

TZ。一辦E-故力場(chǎng)為保守力場(chǎng)F、由＜FyavF、由＜Fyav =X.dxdV——=y.?…①TOC\o"1-5"\h\zavF_= =z.dz2積分(1)式得V=-^-+/(.y,z) (4)(4)式對(duì)y偏微分二(2)式得當(dāng)=絲啟=-丁積分得dydy2f(y，z)=-；+g(z) (5)2 2代(5)入(4)得V=-號(hào)-；+g(z) ⑥(6)式對(duì)z偏微分二(3)式得咨=釁=七積分得g(z)=-^+c (7)dzdz 2

2 2 2代(7)入(6)得一3-￥號(hào)+2 2 2取x=O,y=O,z=O,V=O貝l]c=O得勢(shì)能函數(shù)為V=—奇―；一亍有一質(zhì)點(diǎn)在xy平面上運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)受到的力為萬=(x+y)Z+(x-y)J,質(zhì)點(diǎn)在平面上由點(diǎn)A(1,0)沿直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B(1,1)，求力信所作的功解法1：由功的定義計(jì)算TOC\o"1-5"\h\zpB— pB 「BW= ?dr=j^Fxdx+Fydy)-JA(X+y)dx+(x-y)dy又jt=1,故=0— (*B (*B clW=JFdr-{Fxdx+Fydy)=J(x+y}dx+{x-y)dy=J(1一y)dy所以1 ： A °解法2：由功的定義計(jì)算W=J：尹等=J：(F/x+Fydy)= [：；；(》-=(|— +(xj-|j2)|^,11=1—=—22或W=^F-dr=^Fxdx+Fydy)={(x+y)dx+(x-y)dy=g；*x2+A-y-|y2)*5-護(hù)時(shí)=(?-昌=!解法3：由保守力性質(zhì)計(jì)算VxF-a

dx

Fx—? —*j kVxF-a

dx

Fx—? —*j kd_d_dydzFFyz性—勺+絲

dydzj"8zdF:VdxJ(0-0)r+(0-0)y+(l-l)^=0故力場(chǎng)信為保守力場(chǎng)

FavFx=~—=x+y.OXFavFx=~—=x+y.OXdV =x-y.6

dv-4)Fy-(2)Fz=—4=0....dz(3)2TOC\o"1-5"\h\z積分(1)式得V=-^--xy+f(y) ⑷(4)式對(duì)y偏微分二(2)式得絲=-》+比=-x+Y

dy dy積分得fM=^y2+c (5)2 2代(5)入(4)得V=-號(hào)+；-xy+c (6)2 2取x=o,y=o,z=O,v=O貝"=0得勢(shì)能函數(shù)為/=-：+；-xy則由保守力與功的關(guān)系可知w=—m—%)=%f=(-*+卜f"(-*+卜- =-；-(-：+!T)=!Fx=x+2y+z+5設(shè)作用于質(zhì)點(diǎn)上的力場(chǎng)的力矢為F、,=2x+y+zFz=x+y+z-6求此質(zhì)點(diǎn)沿螺旋線X=cosay=sinaz=70運(yùn)行，自。=0至0=2》時(shí)力場(chǎng)所作的功解：由保守力性質(zhì)計(jì)算VxF-dxFxdydzFzy_VxF-dxFxdydzFzy_Idydz?(dFxIdzdF:VdxJ(l-l)Z+(l-l)}+(2-2)^-0故力場(chǎng)信為保守力場(chǎng)

dVFx=dVFx= =jr+2y+z+5dxdvFv= =2x+>+z...廠、V /r7= =;r+y+z—6...dz(1)(2)(3)2TOC\o"1-5"\h\z積分(1)式得V= -2xy-xz-5x+/(v,z) ⑷(4)式對(duì)y偏微分二(2)式得竺=-2x+也=-2廠y-zdy dy積分得/(y,z)=-|y2-zy+g(z) (5)2 2代(5)入(4) =-^--^--2xy-xz-5x-yz-i-g(z) (6)(6)式對(duì)z偏微分二(3)式得竺=-x-￥+耍=-x-v-z+6dz dz,2積分得g(z)=-_+6z+c (7)代(7)入(6)得V=—————Lz?—2xv-xz-5》-vz+6z+c (6)2 2 2 -取x=O,y=O,z=O,V=O則c=0得勢(shì)能函數(shù)為V2V21,222-2xy-xz-5x-yz+6z又由x=cos。,"sin0,z=70知當(dāng)0=OB寸x=l,y=0,z=0;0=2〃日寸x=1,y=0,z=1則由保守力與功的關(guān)系可知w=-(y2-v1)=vl-v2TOC\o"1-5"\h\z.lo^-2 ^2/^ c ,、 .lo^-2 ^2/^ c /、=("]~~y~~z-2xy-xz-5x-yz+6z)(l^o)~(~-x--y--z-2xy-xz-5x-yz+6z)(1>0,i4^)=(---5)-[----(14^-)2-14^-5+84^-]=---5+-+98^-2+14^+5-84^-=98>r2-70^-2 22 2 2有一劃平面曲線的點(diǎn)，其速度在y軸上的投影于任何時(shí)刻均為常數(shù)c,

3試證明在此情形下，加速度的量值可用下式表示a=二cp證明1：由清=尸+》2=充2+。2 Q)(1)式求導(dǎo)得V—=x-x=ax(因y=c,y=0,古攵i=a)⑵=(3)得⑵=(3)得。"或2)=/_(。)2V P3整理得。=二結(jié)論得證cp證明2：如圖設(shè)v與y軸夾角為Q)則由y=c,y=0,故'有U=%'2由圖示幾何關(guān)系知CLn—6ZCOSdf— 即Pa= (1)pcostz又v=vcosoc=c 則有cosa=f.......…(2)v3(2)代入(1)得a=L 結(jié)論得證cp33、船得一初速席,在運(yùn)動(dòng)中受到水的阻力,33、船得一初速席,在運(yùn)動(dòng)中受到水的阻力,阻力的大小與船速的平方成正比，而比例系數(shù)為其中〃為船的質(zhì)量。問經(jīng)歷多長(zhǎng)時(shí)間船速減為其初速的一半。（15分）解：由題意知阻力為f-km$則船的運(yùn)動(dòng)方程為”火=-饑"即atv0而，=0時(shí)1，=1，°設(shè)船經(jīng)歷時(shí)間為邛寸，V號(hào)積分上式得｛.訂冰=_《辦即- =-kt"o農(nóng)從而得，=上kv。質(zhì)點(diǎn)M在力X=Psincot的作用下沿x軸作直線運(yùn)動(dòng)，在初瞬時(shí)t=O,v=vo,x=x0°求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。角學(xué):由mv=F=X=Psi(nt積分[mdv=Psmcotdt,得Jv0JoTOC\o"1-5"\h\zp pm(v-v0)=—(l-co刷)BPx=v=v0-{ (1-coscot}積分co mo)rxrt /曰 jT rdx=\QvQ+ (l-cos攻)dt待x=X。+(v0+ )t sin奴JxoJoma> mcomco已知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，求其軌跡方程，并自起始位置計(jì)算弧長(zhǎng),求出點(diǎn)沿軌跡的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.x=4t-2t2,y=3t-1.5t2x=5cos5t2,y=5sin5t2x=4cos2t,y=3sin2t解(1)由x=4t-2t2,y=3t-1.5t2…….(1)兩式相除得亍Kr兩式相除得亍Kr苫4(2T)3(2-0所以軌跡方程為y=°x是一直線方程'4,H-t-4-4/-4(1-Z),v-3-3/-3(1-0 (2)無=—4j=—3 (3)所以速度為v= +尹=J16(1*+9(1-舟=5(i_,)全加速度為a=農(nóng)+y2=716+9=5而切線加速度為七=2=—5，法線加速度=o由此說明質(zhì)點(diǎn)作勻減速直線運(yùn)動(dòng)。TOC\o"1-5"\h\z(2)由x=5cos5t2,y=5sin5t2 (1)得軌跡方程為S+y2=25是一圓的方程，其半徑R=5由(〔)式彳t充=-5(Vsin5f2,寧=5(Vcos5產(chǎn) Q)所以速度為v= +,2=^2500/2(sin25/2+cos25/2)=50/ (3)切線加速度為％=牛=50說明質(zhì)點(diǎn)作勻加速圓周運(yùn)動(dòng)dt法線加速度為％=丈=丑也=50O2P5全加速度為a=^x-+y2=J2500+250000"=50^/1+100/4TOC\o"1-5"\h\z(3)由x=4cos2t,y=3sin2t (1)2 2得軌跡方程為3+瑚=1為-橢圓方程由(〔)式得i=-8sin2lj=6cos2l (2)工偉無=—16cos2l,寧=—12sin2l……0)所以速度為?2v=7-V+V2=y]64sin22t+36ms22t=2716sin22z+9cos22z (3)?2全加速度為

a=7-x2+v2=7(-16cos2?)2+(-12sin2?)2=4V16cos22/+9sin22/ 如圖6-1所示，半徑為R的車輪在直線軌道上滾動(dòng)而不滑動(dòng)，已知輪心C的速度是常量u,求輪緣上一點(diǎn)M的軌跡，速度和加速度及軌跡的曲率半徑.圖6-1圖6-1解將M點(diǎn)與地面的接觸時(shí)的位置作為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)0,并建立直角坐標(biāo)系如圖所示，經(jīng)過時(shí)間t,M點(diǎn)的坐標(biāo)為:x=ut-Rsin0y=y=R-Rcos0因輪純滾動(dòng)，線段0D與弧長(zhǎng)DM相等,DMut(b= =——RR整理后得運(yùn)動(dòng)方程為八.ut整理后得運(yùn)動(dòng)方程為x=ut-Rsm——R八uty=A-cos——從運(yùn)動(dòng)方程中消去時(shí)間t后，得軌跡方程為：x+Jy（2R-y）=Rarccos—―-R.即M點(diǎn)的軌跡為旋輪線（或擺線），速度在x,y軸上的投影、大小ut=x=u-ucos——R及方向余弦分別為v=及方向余弦分別為v==2usin—xy2RTOC\o"1-5"\h\zvr .ut .(bcosa=—=sin——=sin—v2R2Z?U Ut 8cosp=—=cos——=cos—V 2R 2M點(diǎn)的加速度在x,y軸上的投影、大小及方向余弦分別為..u2.uta=v=x=——sin——R R...u2 utay,-vy,=y=——cos——yyRRa—2 /a—.ax.ut.,cosa=—=sin——=sin?aRcos/?'=—=cos—=cos,aR即各點(diǎn)加速度指向輪心2 2又a=」a；淑”專,而L，由此可求得:又a=」a；證明題證明：質(zhì)量為勿的質(zhì)量從圓的最高點(diǎn)。由靜止開始沿任一條光滑弦下滑到圓周上所需的時(shí)間相同。證明：考慮質(zhì)點(diǎn)在任意一條與過圓心的鉛垂線夾角為的弦上的運(yùn)動(dòng)，則在任意位置的受力如圖所示。沿弦的方向用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程得質(zhì)點(diǎn)加速度a=geos。,即質(zhì)點(diǎn)作勻加速運(yùn)動(dòng)。考慮到初始條件，不難求得其運(yùn)動(dòng)方程為s=-ae=-gt2c^e2 2又弦長(zhǎng)（從圓頂點(diǎn)滑到圓周上的路程）為s=2rcos0質(zhì)量為勿的質(zhì)量從圓的最高點(diǎn)。由靜止開始沿任一條光滑弦下滑到圓周上所需的時(shí)間，性欄笠欄,與。無關(guān)，故質(zhì)量為勿的質(zhì)Va\geos。\g量從圓的最高點(diǎn)0由靜止開始沿任一條光滑弦下滑到圓周上所需的時(shí)間相同。證畢。重為P的小球位于半徑為r的光滑球面頂點(diǎn)，小球從靜止開始下滑，求小球脫離球面的位置。解：小球運(yùn)動(dòng)過程中受力為重力和支持力，只有重力作功，機(jī)械能守恒。設(shè)球面頂點(diǎn)處為零勢(shì)能面由機(jī)械能守恒定律有0=4?烏2-P（r-rcos^）2gTOC\o"1-5"\h\z故i，2=2gr（l-cos。） Q）小球在法向方向運(yùn)動(dòng)微分方程為￡?—=Pcos0-Ngr小球脫離球面時(shí)N=0,所以有v2=grcosO Q）（1）代入（2）式有g(shù)rcos。=2gr（l-cos。）整理有cos6=—,6=arccos-=48°ir3 3又由幾何關(guān)系知cos°=H （h為自球面頂點(diǎn)起下降高度）得r3h=-3討論：由以上結(jié)論知小球脫離球面位置與小球（質(zhì)量）無關(guān)，當(dāng)球面不光滑時(shí)與小球（質(zhì)量）有關(guān)。可得到運(yùn)動(dòng)軌道方程是r="cos0,此為圓的極坐標(biāo)方程，所以質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道為以a為半徑的圓。第二章質(zhì)點(diǎn)系力學(xué)一門大炮停在鐵軌上，炮彈質(zhì)量為m,炮身及炮車質(zhì)量和等于M,炮車可以自由地在鐵軌上反沖，如炮身與在地面成一角度a,炮彈對(duì)炮身的相對(duì)速度為V,試求炮彈離炮身時(shí)對(duì)地面的速度v及炮車反沖的速度U。

解：由于在水平方向(X方向)無外力作用，火藥爆炸力為內(nèi)力，故水平方向動(dòng)量守恒即mvx+MU=Q (1)又由相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系知Vcosa+U=vx,Vsina=vy Q)vr= Vcosa7W+rn0)(2)代入(1)得v=Vsina > 0)m

U= VCOS6ZM+m,所以m(2M+m)2COSCL.........(M+m)v=Jv；+v；=j —]V2cos2a+V2sin2a=j—]V2cos2?+V2m(2M+m)2COSCL.........(M+m)??(4)TOC\o"1-5"\h\z如設(shè)V與水平面夾角為幻則加。=土= a d(5)vrM Mx aM+m討論：由(4)式知炮車反沖時(shí)vyV,由(5)式知0>a重G的物體4帶動(dòng)單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為g的軟鏈，以速度*向上拋出，如圖示。假定軟鏈有足夠的長(zhǎng)度，求重物所能達(dá)到的最大高度。解：取0Z軸鉛直向上，0點(diǎn)位于地面。將在空中運(yùn)動(dòng)的鏈條的物體A視為主體。則井入主體的質(zhì)量元(原先靜止于地面)的絕對(duì)速度z7=0于是密歇爾斯基方程為茶俺)=產(chǎn) (1)因m=G+qz,F=(G+^z)g(-k^z=zk,代入(1)式得§[(G+很)刃=—(G+qg)gat用(G+qg)dz乘上式兩端得[(G+0z)》H[(G+qz)z]=-g(G+qz)2dz已知初始條件為z=0時(shí),八V。所以積分上式得-(G+qz)2z2= (G+qzf+1G2v02+G3當(dāng)5=0時(shí)，上升高度z正好2 3q 23q就是最大值h即卜q』+亶-1qH2Gg,某質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，其運(yùn)動(dòng)方程用矢量式可表達(dá)為r(r)=x(r)Z+y(r)J+z(t)k,式中：/為質(zhì)點(diǎn)的矢徑,i，7*分別為X,y,z的單位矢。試求：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能、動(dòng)量及對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)0的動(dòng)量矩。質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)A(a,b,c)的動(dòng)量矩。作用在質(zhì)點(diǎn)上的力及力的功率。解：(1)動(dòng)能T^^mv2=^m(x2+y2+z2)動(dòng)量月=mv=m(xi+yj+zk)動(dòng)量矩Lo=nkyz—zy)i-b(zx-xz)j+(xy-yx)k\(4)動(dòng)量矩(5)力戶=ma—nir—m(xi+方+zk)功率尸= = =m(x-x+y-y-^z-z)一人在水平臺(tái)上走動(dòng)，此臺(tái)可通過其中心的鉛直軸而旋轉(zhuǎn)，人走的軌跡是以平臺(tái)中心為圓心，r為半徑的圓周，假定人重為p,平臺(tái)重也為p,其半徑也為r,試求當(dāng)人在平臺(tái)上走完一周時(shí)平臺(tái)轉(zhuǎn)過的角度。解：以作平臺(tái)為質(zhì)點(diǎn)系，受力為重力，方向均向下，與轉(zhuǎn)軸平行，力矩為零。假設(shè)平臺(tái)與轉(zhuǎn)軸接觸面光滑無摩擦，故質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒。在質(zhì)點(diǎn)系起始時(shí)，/=0,Go=0在某時(shí)刻人相對(duì)于平臺(tái)的速度為u,平臺(tái)的角速度為刃，則人的絕對(duì)速度為v=u-\-a)r人的動(dòng)量矩為：G=—r(u+cor)方向沿轉(zhuǎn)g軸方向。平臺(tái)動(dòng)量矩為：G2Ia)=^-—r2a)方向也沿轉(zhuǎn)軸方向。一2g由動(dòng)量矩守恒定律得：Gl+G2=—r(u+cor)+—r2co-0 /.co=- 2g 3,d6=-■ds積分得：dd=f2^-—ds3r 3r故Q—堂332、一均質(zhì)木板放在光滑的水平面上，板的一端站著一個(gè)人。在某一時(shí)刻，人以不變的速度u向x軸正向運(yùn)動(dòng)。設(shè)板的質(zhì)量為mi,人的質(zhì)量為m2。試求t秒鐘后，人的絕對(duì)速度v與位移以及板的絕對(duì)速度Vi與位移。解：以人和板為研究對(duì)象。系統(tǒng)受力：人的重力P,板的重力W,光滑的水平面對(duì)板的正壓力Fn。以上受力均在豎直方向，所以水平方向受力為零，則動(dòng)量守ydOds □n(o=—,u=— EPatatd0dt2ds3rdt恒。在初始時(shí)刻t=0,人和板都靜止，動(dòng)量p菽0,任意時(shí)刻t,設(shè)板的絕對(duì)速度Vi沿x軸正向，則由點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)可知，人的絕對(duì)速度為v=Vi+U。由動(dòng)量守恒定律得：miVi+m2(Vi+u)=0解此方程得均= u負(fù)號(hào)表示板的運(yùn)動(dòng)方向與x軸正向相反。m2由此得人的絕對(duì)速度為V=均+u=u 竺一u=———U正號(hào)表示人的運(yùn)動(dòng)方m2+mxmx+向與X軸正向相同因u與V都是常量，故人和板的位移分別為Ax=Vt=—————"f,A%1=Vyt= ——utm1+m2 ml+m2設(shè)矢量r在笛卡兒坐標(biāo)系中的投影為(X,y,z),證明力諾=3雙疥=0并求使7=gm伸的函數(shù)。角軍：(1)diw=(T-+j—+k-^]?(xi+yj+zk)=—+^+—=3dxdydz) dxdydz(2)rotf=Vxr=(2)rotf=Vxr=EAazz一項(xiàng)。￥VTz5-X(3)由,論=0可知?jiǎng)莺瘮?shù)。必存在)由7=xi+yj+zk,7=gra^=^i+^jA

dxdydzxvz

---

海一欲海一ay海一az

/-,<<故TOC\o"1-5"\h\z代（4）入（2）得絲E=y積分得f=U+g（z） ⑸dy 22 2代（5）入（4）得?=3+：+g（z） ⑥代（6）入（3）得咨F=z積分得g（z）W+c （7）dzdz 22 2 2代（7）入（6）得0=土+匕+￡+c2 2 2質(zhì)量為嗎及R的兩自由質(zhì)點(diǎn)互相以引力吸引，引力與其質(zhì)量成正比,與距離的平方成反比，比例常數(shù)為卜開始時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)皆處于靜止?fàn)顟B(tài),其間距離為a,試求兩質(zhì)點(diǎn)間的距離為？ \2 /》m2時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)的速度。 y//V2mi解法1:用機(jī)械能守恒定律求解令質(zhì)量為凹自由質(zhì)點(diǎn)的速度為V],質(zhì)量為R的自由質(zhì)點(diǎn)速度為此，則因兩質(zhì)點(diǎn)互相吸引，故"1%方向相反，取塢方向?yàn)檎较蛉鐖D示由于兩質(zhì)點(diǎn)無外力作用，故動(dòng)量守恒有 —m2v2=0 （1）兩質(zhì)點(diǎn)間的相互吸引力為萬有引力是保守力由保守力性質(zhì)得勢(shì)能為.有=『--㈣吃式中「是兩joo joor質(zhì)點(diǎn)間的距離。由機(jī)械能守恒定律-匝竺=1叫甫+』皿"一旻a2 2 a即ImiV；+177"；=啊粗2 (2)2 2 a解(1)(2)式得-=j 次y2=miI—V<2(m1+m2) Vag+m2)解法2：用動(dòng)能定理求解令質(zhì)量為皿自由質(zhì)點(diǎn)的速度為V”質(zhì)量為理的自由質(zhì)點(diǎn)速度為％,則因兩質(zhì)點(diǎn)互相吸引，故塢咨方向相反，取3方向?yàn)檎较蛉鐖D示由dT=SW得』(1料甘+—m2r^)-F-dr=一"叫：2日,TOC\o"1-5"\h\z2 2 r積分上式得+-m-,v^=切W2 (1)2 2 a由于兩質(zhì)點(diǎn)無外力作用，故動(dòng)量守恒有響一5=0 (2)解(1)(2)式得V]= v2=mx\ \ +m2) \a(m{+m2)解法3:用兩體問題方法求解由于兩質(zhì)點(diǎn)無外力作用可視為兩體問題由兩體問題運(yùn)動(dòng)方程=F得d2rn dvn m,m2dvn km{m2dt2dt m{+m2dt又的2=的2兒=vdvndtdrndtd*2代入(1)式有——-——"12刁、2=也m{+m2 rn積分『氣屯2=1，業(yè)/^2得噠\*遠(yuǎn).........Q)*2 V "由于兩質(zhì)點(diǎn)無外力作用，質(zhì)心作慣性運(yùn)動(dòng)，原來質(zhì)心靜止，故由

+m2v2［曰TOC\o"1-5"\h\z=_lj =0侍mlvi+m2v2=0 (3)mx+m2又根據(jù)速度合成方法知V12=v,-v2.......0)解(2)(3)(4)式得Vl=~m2J V2=叫 'a(m{+m2) \ +m2)丹為負(fù)值表明與免方向相反如圖示，一長(zhǎng)為/的均質(zhì)鏈條在水平面上自然堆成一堆，線密度為某人持鏈條一端以勻速V將其提高，試證：當(dāng)他的手離開水平面的高( 2、度為X時(shí)(XY1),鏈條對(duì)手的作用力大小為F=x+—pg1 ??J解法1:用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解取鏈條整體為研究對(duì)象，在t時(shí)刻，整體所受的外力有重力P=p\g，拉力F和水平面對(duì)靜止的那部分鏈條的支持力F=-p{l-x)go由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可得mac=F+pig-p(j-x)g式中@為質(zhì)心的加速度。上式在x軸上的投影式為履°=F-p\g+p{l-x)gpXFp(l—X).0 2由于鏈條的質(zhì)心坐標(biāo)為，—土2則有丸=嚀丸=—2 2代入投影式得農(nóng)%■=F—Qlg+p(l—x)g,m%~=F—pxg所以尸=pxg+m—=x+—\pg1Ig)解法2：用動(dòng)量定理求解取鏈條整體為研究對(duì)象，在t時(shí)刻，整體所受的外力有重力P=/71g,拉力F和水平面對(duì)靜止的那部分鏈條的支持力F=-q(/-x)￡鏈條整體的總動(dòng)量在豎直方向分量為R=pxv+/7(/-X).O-pxv整體所受的外力有重力p=plg,拉力產(chǎn)和水平面對(duì)靜止的那部分鏈條的支持力F=-p(l~x)g上式在X軸上的投影式為Fx=F-pxg由動(dòng)量定理罷=孔得-=—(/uv)=p—v=pv1=Fx=F-pxgat atat atF=pxg+pv2解法3：用變質(zhì)量問題方法求解如圖示，取已上升部分為主體，其質(zhì)量為〃1=那,速度為v,不斷增加部分為變體，力乃=國(guó)工其速度〃=0,主體和變體所受合外力為F合=F-pxg由密歇爾斯基方程—(mv)-M—=F-得dt dt°^-(pxv)= =F-pxgp^v=pv2= =F-pxgdt dt故尸=pxg+pv2圓環(huán)質(zhì)量為M,放在光滑水平面上，有一質(zhì)量為m的小蟲在圓環(huán)上爬行，如圖示，求證：小蟲在圓環(huán)上相對(duì)地爬行一周時(shí)，圓環(huán)的自轉(zhuǎn)角

度不超過180。。設(shè)初始時(shí)系統(tǒng)靜止。另正解：以小蟲+圓環(huán)為質(zhì)點(diǎn)系，圓環(huán)圓心為參考點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)系受力為重力，方向均向下，與轉(zhuǎn)軸平行，力矩為零。故質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒。在質(zhì)點(diǎn)系起始時(shí)，/=0,Go=0在某時(shí)刻小蟲相對(duì)于圓環(huán)的速度為u,圓環(huán)的角速度為口，則小蟲的絕對(duì)速度為v=〃+s小蟲的動(dòng)量矩為：G]=""+s)方向沿轉(zhuǎn)軸方向。圓環(huán)動(dòng)量矩為：G2=Ia>=Mr~co方向也沿轉(zhuǎn)軸方向。TOC\o"1-5"\h\z由動(dòng)量矩守恒定律得：Gj+G2=mr(u+a>r)+Mr1cd-0有= —d0_ 1 dsdt M dt(1+——)rio假設(shè)小蟲和圓環(huán)質(zhì)量相等M=m故。=-7i=-18Cf假設(shè)M=2m故。==-1203—般M>-m故3Y18Cf—光滑球A與另一靜止的光滑球B發(fā)生斜碰，如兩球均為完全彈性體,

且兩球質(zhì)量相等，則兩球碰撞后的速度互相垂直，試證明之。證明：設(shè)兩球質(zhì)量為光滑球A碰前速度矢量為E，光滑球B碰前速度矢量為0,A和B碰撞后的速度的速度矢量為元舌由于兩球碰撞過程中動(dòng)量守恒有MVX=MVX+MV^.......Q)又兩球?yàn)橥耆珡椥泽w動(dòng)能守恒有=Lmv；-+|w2,2.......Q)(1)式代入(2)式有(y;+v；y=v；2+v;2整理上式得2V；-V；=0,由于V；^O,V^O所以欲使兩矢量的乘積為零，只有兩矢量互相垂直即結(jié)論得證有三個(gè)完全彈性的小球，質(zhì)量分別為mi、m2、及m3,靜止于一直線上，今于第一球上加上丹的速度，其方向沿此直線，設(shè)m.Hh及為已知，求第二球的速度為何值，才能使第三球于碰撞后所得的速度最大。解：設(shè)第一、第二球碰撞后第一球的速度為"，第二球的速度為u；則由速度公式得"=柘-(1+e)R(vf)mx+m2咨=5(1+。)蟲dmx+m2而v2=O,e=l故口；=嶺+(1+。) _—=0+2x——=2”Mmx+m2 mx+m2mx+m2又設(shè)第三、第二球碰撞后第三球的速度為u；已知v；=o,e=l則由速度公式得v：=v；+(l+e)型上也=業(yè)匕= ~.m2+m3 m2+m3\ml+m2)[m2+m3)欲使第三球的速度最大，須有乎=0dv"耳(m}+m2)(m2+m3)-m2 +m3++m2) mxm3drn^ (774+m2)2(〃&+7713)2 (m}+)2(in2+m3)2所以有r=而；時(shí)第三球的速度最大。一條柔軟、無彈性、質(zhì)量均勻的繩子，豎直的自高處墜落至地板上，如繩子的長(zhǎng)度為/,每單位長(zhǎng)度的質(zhì)量等于b,求當(dāng)繩子剩在空中的長(zhǎng)度為*XYZ)時(shí)，繩子的速度及它對(duì)地板的壓力。設(shè)開始時(shí)繩子的速度為零，它的下端離地面的高度為人。解法1:用自由落體公式和動(dòng)量定理求解當(dāng)繩子的上端離地面的高度為X時(shí)，由自由落體公式知繩子的速度為v =』2g(J+h-x)地板對(duì)繩子的作用力有兩部分，其一為與已經(jīng)落地的繩子的重力大小相等，方向相反，設(shè)為M,N[=nig=cy(l-x)g其二是即將落地的繩子對(duì)地板的沖力，設(shè)為也設(shè)在力時(shí)間內(nèi)落地的繩子的質(zhì)量為dm=b.d7，該質(zhì)量元的動(dòng)量為dm-v,該質(zhì)量元一經(jīng)落地動(dòng)量即變?yōu)榱恪?dòng)量的變化為dp=dm-v-O-dm-v由動(dòng)量定理fK得 版=蛙=乏虹=6四=B'=b2g(l+h-x)dt dtdtdt(此處忽略重力)所以總的壓力為N=N[+N2=og\2h+3(l-x)]解法2:用變質(zhì)量物體的運(yùn)動(dòng)方程求解當(dāng)繩子的上端離地面的高度為x時(shí)，由自由落體公式知繩子的速度為v=^2gh'=yj2g(l+h-x)

取已落地部分為主體，其質(zhì)量為m=b(Z-x)速度為v=0不斷落地部分為變體dm=odx,—=^-=(yv(dxY0)其速度為"=vdtdt主體和變體受力為尸合=N-a(l-x)g方向向上由密歇爾斯基方程—(mv)-M—=Fa.得m也=N-a(l-x)gdt dtadt即-<7V(-v)=N-cr(/-x)g所以N=<7p2+b(Z_x)g=cr2g(l+h-x)+cr(Z-x)=og\2h+3(l-x)]長(zhǎng)L的均勻細(xì)鏈條伸直平放水平光滑桌面上，方向與桌面邊緣垂直(圖2.7.2)。開始時(shí)鏈條靜止,一半從桌上下垂，求鏈條末端滑到桌子邊緣時(shí)鏈條的速度VO解：如圖選取坐標(biāo)系，以下垂段為研究對(duì)象。圖2.7.2方法一：用變質(zhì)量物體的運(yùn)動(dòng)方程求解以長(zhǎng)為x的一段和Ax的一段分別作m和dm,m二入x,速度為v,dm二入dx,dx段合并于x段的速度…(x段的速度)，作用于它們的合外力為重力折g和桌面上的一段對(duì)它的拉力To由密歇爾斯基方鏟d dm *曰dt dtd(xdm—[mv)一——u=mg-Ldtdt.._ ■m—=mg-T-u—v,->dt (1)設(shè)線質(zhì)量密度入，取桌面上為主體，其質(zhì)量=速度為v,不斷減少部分為變體，速度(X段的速度)，作用于它們的合外力為桌面上的一段對(duì)它的拉力T,由密歇爾斯基方程"半=儡dt dt得"嶗" ⑵dv_dv將(2)代入(1),并注意m?x,V蠶,可得vdv=^-xdxe八fvvdv=「旦xdx ,v=-J3giI,積分：J。 J婦，求出2VS方法二：用機(jī)械能守恒定律求解以下垂的一段為研究對(duì)象，以桌面為零勢(shì)能位置，則由機(jī)械能守恒:其中：再=。'*=一扣丸E?危2,"岫由此得E向雨滴開始自由落下時(shí)的質(zhì)量為M,單位時(shí)間內(nèi)凝結(jié)在它上面的水汽質(zhì)量為入，略去空氣阻力，試求雨滴在t時(shí)間后所下落的距離。解：以豎直向下為正方向，取自由落下的雨滴為主體，其質(zhì)量為m=M+入t,速度為v,增加的水汽為變體，質(zhì)量為dm二入dt,速度為u=0,作用于其的合外力為雨滴的重力F合=(M+力)g由密歇爾斯基方程—(mv)-M—=F-得TOC\o"1-5"\h\zdt dt °—[(Af+2z)v]=(M+At)g Q)dt積分(1)式得(M+At)v=(Mt+^At2)g+c. (2)

因t=0時(shí)V=0,故0=0所以Mt+-At2 M2g/ds r2 1 Mg/22,⑶v——— g=—gt ,⑶dt M+M 2 22M+M積分⑶式得s=：g戶+碧—=4!^+為)+c (4)42Z2a因t=0時(shí)因t=0時(shí)s=0,故C=-M2g222InM所以sig戶+竺S輜ln(l+4‘)這就是雨滴在t時(shí)間后所下落的距4 22 22M離討論：由上式知$=%戶+性-嚀血(1+也八七產(chǎn)說明雨滴在t時(shí)

4 22 2A2M2間后所下落的距離小于自由落體在同等時(shí)間內(nèi)下落的距離。雨滴下落時(shí)其質(zhì)量的增加率與雨滴的表面積成正比，，試求雨滴下落速度與時(shí)間的關(guān)系解：以豎直向下為正方向，設(shè)起始時(shí)刻(t=0)雨滴半徑為a,某時(shí)刻雨滴半徑為r,取自由落下的雨滴為主體，其質(zhì)量為m=pV=p—rcP-k\『 (),速度為V不斷增加的水汽為變體，質(zhì)量為寫".危=“Q)速度為u=0,at作用于其的合外力為雨滴的重力F^=mg虹=3”..........⑶(1)式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)得力 dt蟲4=人 (4)(3)=(2)得出3燈積分(4)式得雨滴半徑變化規(guī)律是i+a所以主體質(zhì)量為m=k〔(為+a)，合外力為尸合=+a)3g由密歇爾斯基方程—(mv)-w—=F合得4底(為+。)3寸=k、(At+a)3gdt dt口dt積分￡d\kv(At+a)3v]=匚％(4,+dfgdt得1 41agagV=—gt Ygt4 4242(2t+a)3說明雨滴在t時(shí)間后所達(dá)到的速度小于自由落體在同等時(shí)間內(nèi)達(dá)到的速度質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M,如圖10-2所示，在Oxy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為：x=acoskt,y二bsinkt,其中a,b,k為正的常量，t為時(shí)間.求作用于該質(zhì)點(diǎn)上的力2 2解此題為第一類問題.其運(yùn)動(dòng)軌跡是橢圓二+答=1a~歹由x=acoskt,v-bsinkt先求加速度無二-ak2coskty=-bk2sinkt由運(yùn)動(dòng)微分方程得Fx=m.r=-mak2coskt=-k2mxFy=my=-bk2sinkt=-k2my或F=Fxi+Fyj=-k2mr質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，在力F=-mk?r作用下沿平面繞定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，如圖10-3所示.其中r是質(zhì)點(diǎn)對(duì)。點(diǎn)的矢徑，k為常數(shù).設(shè)t=0時(shí)x=l,y=0,V、=0,v=Vo,0為坐標(biāo)原點(diǎn).求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程和軌跡方程.圖10-3解此題屬于第二類問題，其直角坐標(biāo)形式的微分方程為mx=Fx,my=Fy其中Fx=-mk2rcos0=-mk2xFy=-mk2rsinc[)=-mk2y則其微分方程可改寫為：-k2x,亍=-廣y,其通解為x=Cisinkt+c2coskty=c3sinkt+c4coskt

初始才:件t二。時(shí)x=l,y=0,Ox=vx=0,Oy=vy=vo可求得其積分常數(shù)分別為Cl=0,c2=I,c3=Vo/k,c4=0由此得運(yùn)動(dòng)方程為x=Icoskt,y=vo/ksinkt其軌跡方程為x〃|2+k2y2/v20=1第三章剛體力學(xué)在直角坐標(biāo)系中，三軸的單位矢為荀，乙物體的慣量張量為30 0I=N02-1。設(shè)一轉(zhuǎn)軸通過上述直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，方向?yàn)?-11專+手』，那么物體對(duì)于該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是多少？002-1-113xNO0-一3X解：由于亓=萬+應(yīng)+依3xNO0-一3XLViV6u,—,—3 3\)勻質(zhì)圓盤，半徑為a,放在粗糙水平桌上，繞通過其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，開始時(shí)的角速度為氣。已知圓盤與桌面的摩擦系數(shù)為戶，問經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間后盤將靜止？解：當(dāng)角速度妨為常數(shù)時(shí)，則有切=氣+故；當(dāng)末角速度為零時(shí)，。則有—%?…??…(1)CO(注意，秋0,并非t為負(fù)值)。作用于圓盤的反力矩的大小為

L=Jr? =jr^P?rd。?dr）g由題意，圓盤的面密度為「二當(dāng)，代入上式7iaTOC\o"1-5"\h\z匕=用］土］『d3^r2dr=jug（當(dāng)］.2i.—=：^am ⑵\7ia/。 J3 3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為瘍=E （3）已知圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為/=!ma2 （4）將（2）（4）代入（3）得［*）勿=事s于是得脆-等 （5）代（5）入（1）得,=竺凹4〃g如圖示，一直角三角形薄板，兩個(gè)直角邊的長(zhǎng)度分別為a、b,試求該板的主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積。解：因該板的z坐標(biāo)為零，故慣性積Ix:=Iy:=0三角形斜邊的方程為三+豐=1即y=-（a-x）ab a取質(zhì)量元如圖示，dm=pds=mdxdy=dxdy17ab—ab2由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義知主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量L=Jy2dm=JJy2pdxdy=^\aodx^y2dy同理有” =x2pdxdy=荒￡/女廠dy2m14 1 2——,Q——1TICIa~12 62mra2m14 1 2——,Q——1TICIa~12 6=——xax'—(a-x)=—(ax-x)ax=^-(—ax——xabJo"a2 a23 4

同時(shí)由垂直軸定理還可求得九=/vv+/vv=yrn(?2+b2)6慣性積為Ixy=Jxydm=^xypdxdy=拿了地'ydy=常。是9"-，）J約。項(xiàng)-展動(dòng)慣量解：建主軸坐標(biāo)系如圖示，由于Z坐標(biāo)為零有一質(zhì)量為m、邊長(zhǎng)為a的正方形薄板，試求其過一頂點(diǎn)A且與對(duì)角線DB動(dòng)慣量解：建主軸坐標(biāo)系如圖示，由于Z坐標(biāo)為零平行于X軸距X軸為Y處取質(zhì)量元伽=pds=pady=當(dāng)ady=—dyaa?由轉(zhuǎn)軸公式得a [a[L=/"=f（v2+Z2）dm=jy2dm=—j^y2dy=—-y3\=—ma2d2 dd2 【Z同理平行于Y軸距丫軸為X處取質(zhì)量元功花=pds=padx=與adx=—dxaa由轉(zhuǎn)軸公式得由垂直軸定理知L=、+、=\ma-6對(duì)角線DB的方向余弦為a=0=cos^=旦/=cos—=04 2 2所以由主軸坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)軸公式得IDB=/]?2+/2/?2+/3/2=/]?2+/0/?2=2x—mcrx（寸2）2=—mc^

再由平行軸定理知偵="〃標(biāo)弓血+〃榜』=土膈一塊正方形薄板的邊長(zhǎng)為/,質(zhì)量為m,求在其中心的慣量張量，已知z軸垂直于板面，工與y軸平行于兩邊。解：由于薄板的坐標(biāo)z=0,所以慣量積八=上=0,又由于薄板相對(duì)于平面對(duì)稱，所以慣量積婦=02 1=—ml2122 1=—ml212_1_~2心=fft2+加=p\\y2dxdy=p^Ly2dy^Ldx=Ip~2 ~2因X軸與y軸均為對(duì)稱軸，所以Iyy=^ml2由垂直軸定理知九=/vv+/vv=，誠(chéng)26于是正方形薄板相對(duì)于中心的慣量張量為/=—mf于是正方形薄板相對(duì)于中心的慣量張量為/=—mf12一端系于天花板頂上的繩子，在另一端系一半徑為r,重量為p的滑輪，求滑輪中心向下運(yùn)動(dòng)的加速度和滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角加速度。解：建坐標(biāo)如圖示滑輪受力：重力P,繩子張力TTOC\o"1-5"\h\z一丸=P—T ⑴建動(dòng)力學(xué)方程式：fp-~r2（p=Tr （2）2g又由約束條件：r（p=xc即r（p=xc （3）T=-P3解(1)(2)(3)式得丸=與3??2g(P=—3r圖示半徑為R的均質(zhì)圓柱A纏以細(xì)繩，繩的B端固定，圓柱自靜止下落，其軸心速度為％=三司（h為軸心至初始位置的距離）。求圓柱A的運(yùn)動(dòng)方程。解：設(shè)圓柱質(zhì)量為m,繩的張力為T。mxA=mg-T由圖可知圓柱作平面運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為秫危=0IaO=TR由于IA= 5北人=又t=0時(shí)，xA=0,=0,=0代入上式得0=||展=聶2,*=0,叫=&2ji\jK 3解：1°研究系統(tǒng)。OD作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，AB作直線平動(dòng)，取9為桿OD的轉(zhuǎn)角。由題意知桿OD的角速度w轉(zhuǎn)向如圖示，并設(shè)出e的轉(zhuǎn)向。2°運(yùn)動(dòng)速度分析。桿AB上點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)方程為Z4=/tg0其速度、加速度為v其速度、加速度為vAy— i-COS(P有一直角三角形薄板，兩個(gè)直角邊的連長(zhǎng)分別為a、b,試求該板的三個(gè)主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和三個(gè)慣量積。解：由于板的z坐標(biāo)為零，故：慣量積匚=七=0三角形斜邊的方程為三+§=1ab即：y=—(a-x)'a在三角形薄板上取質(zhì)量兀dm.=pds=-^—dx'dy--dx-dy17 ab—ab2所以主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:Ixx=jy2dm=jy2pIxx=jy2dm=jy2p?dx-dy='比(誓=dx-^y3pb3必_pb3a

a12a3 12-(a-x)a0Z?3「a 3=p—-(a-x)dx-3a3J。▽m_2m—ab23/4 1°所以有Ixx=曲"= 業(yè)—=-mlr12 12 6Iyy=|x1dm=jx1p?dx-dy= x2dx^(a\iy=q匚x2dx-y同理： ° (， °=p—P(a-x)-x2-dx= -(—€zx2-—x4)|o=aJo a3 4 1—(Q—X)a0pba31 =—met12 6,2由垂直軸定理得1ZZ=baIyy=—m(a2+Z?2)6慣量積2 2 2Q :"-力 ij_j?dm=jj,-dx-dy= jx-Jxj*y-dy= jx?Jxjy?dy=-^mabM&-a2)ab

12(/+護(hù))(習(xí)題3.8題)求半徑為R,質(zhì)量密度為p(r)=p。。一%的非均質(zhì)圓球繞直徑的回轉(zhuǎn)半徑K,其中Q。,a均為常數(shù)。解：取半徑為rTr+dr的球殼做作質(zhì)量元，它的質(zhì)量dm和對(duì)直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dl分別為:dm=p{r}^7ir2dr=p0(1--—^-)47rr2dr= (r2球體對(duì)球心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dI=r2dm而球體對(duì)任一直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為1=^1'..?球體對(duì)直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I和總質(zhì)量m分別為

( ~“4、( ~“4、r2-I R-)-^]dr=^PoR^22 14—10cf.所以回轉(zhuǎn)半徑*=?)」(35—21〉)R長(zhǎng)為2/的均質(zhì)棒，一端抵在光滑墻上，而棒身則如圖示斜靠在與墻相距為d(dY/COS。)的光滑棱角上，求棒在平衡時(shí)與水平面所成的角e解：如圖示，均質(zhì)棒受力為光滑墻、光滑棱角的彈力M，M,及棒自身重力G,由于棒處于平衡狀態(tài)，根據(jù)力系平衡條件有Rv=Mcos°_G=0……(1)1 r\1M.=N2 G—cos°=0……(2)'-cos。2由(1)(2)得COS30=f所以0=arccos^-)^一根均勻的棍子。重為P,長(zhǎng)為長(zhǎng)為2/,今將其一端置于粗糙地面上,又以其上的C點(diǎn)靠在墻上，墻離地面的高度為h,當(dāng)棍子與地面的角度9為最小值代時(shí)，棍子在上述位置仍處于平衡狀態(tài)，求棍與地面的摩擦系數(shù)。

解：如圖示棍子受力為：重力P,c點(diǎn)上的作用力Ni,A點(diǎn)上的作用力此,摩擦力f建坐標(biāo)如圖示由于棍子處于平衡狀態(tài)，根據(jù)力系平衡條件有R=Mcos(90°—9。)一f=0 (1)R、=Nlsin(90°~(pJ+N2-P=0……(2)對(duì)A而言有Af：=Plcos%一N[-土=?！?)

sin0o由(3)得M=F—sin伊0cos(p0h由(1)得f=N[sin(po-sin2(pQcos(p°h由(2)得M=F-Mcos%=P-P—sin%cos2(pQh所以〃=￡/sin2%cos%

h-1sin(p0cos2所以〃=￡矩形均質(zhì)薄片ABCD,邊長(zhǎng)為a與b,重為mg,繞豎直軸AB以初角速氣轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)薄片的每一部分都受到空氣的阻力，其方向垂直于薄片的平面，其量值與面積及速度平方成正比，比例系數(shù)為k,問經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，薄片的角速度減為初角速的一半。解：建坐標(biāo)系Oxyz與薄片固連，解：建坐標(biāo)系Oxyz與薄片固連，z軸為轉(zhuǎn)軸。則沿Z軸方向有方=肱=……⑴JZ=—?%在薄片上取質(zhì)量元面積為ds=a.dy，該區(qū)域受到的阻力為df=k-ds-v2=kad乂(OzV)2#對(duì)z軸的力矩為辦匕=~df'y=-kaa^y^dy所以"=[dM_=-k—col……(2)zJoz4又薄片對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為[a2Ca2 1)ydm=J。ypbdy=—mab(jn=pab) (3)由(1)(2)(3)得禮=性=-熾崖號(hào)籍得為a)zz號(hào)籍得為a)z7777.dco3kcib2xn/F,4m而饑=Y=:—成積分dt= dt4m J。3ka2b4m3ka1ba)(i均勻長(zhǎng)方形薄片的邊長(zhǎng)為a與b,質(zhì)量為m,求此長(zhǎng)方形薄片繞其對(duì)角線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：用主軸坐標(biāo)系求解，建主軸坐標(biāo)系如圖示設(shè)薄片質(zhì)量密度為p,厚度為tO由轉(zhuǎn)軸公式得/=/q2+10由圖知=\2by2pt{ady)=一ptab3TOC\o"1-5"\h\zJ一 19a ]I2=Rx2pt(bdx)=一pta3b2 12

又a=cos。=/a,/3=sin0=/—J/+Z?2 /?+?所以有,,2 ,,2 ,/ ] / 1 b21a2b2a2而m=ptab故/=6a2+b2一輪的半徑為r,以勻速v。無滑動(dòng)地沿一直線滾動(dòng)，求輪緣上任一點(diǎn)的速度及加速度。又最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的速度和加速度各是多少。哪一點(diǎn)是轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心。解：如圖示建立坐標(biāo)系oxyz,由于球作無滑滾動(dòng)，球與地面接觸點(diǎn)A的速度為零，所以A點(diǎn)為轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心。以0為基點(diǎn)，設(shè)球的角速度為o)=-cok,貝UvA=v0+a)xOA=voz+(-?Z)xJr/)=(v0一rco)i=0設(shè)輪緣上任一點(diǎn)P,5?與x軸的夾角為幻則不=尸cos尿+尸sin?(v0+,刃sin一尸刃cos?故"=v0+a)xOP(v0+,刃sin一尸刃cos?vp=J(v()+rasin方+(-Seos。]=voA/2(l+sin0)=上■住血乂，=&o+4^xOP+勿x(勿x°F)=^xl^xOP)=-co2OP而加速度為P°dt \J\J=-ra)1cos源一rco1sin命=-rai1(cosM+sin成)

當(dāng)9=90。時(shí)為最高點(diǎn)，其速度和加速度分別為vtop=(v0+r&>sin90°]-rcocos90°j=(v0+ra))i=2voiatop=-rar(cos90°z+sin90°j)=-rarj當(dāng)e=-90°時(shí)為最高點(diǎn)，其速度和加速度分別為ybottom=(v0+rasin(-90°)J--racos(-90°)j=(%—&)『=0abottom=-ra2(cos(-90°)r+sin(-90°)j)=ra2J滾子質(zhì)量m,外輪半徑為R,滾子的鼓輪半徑為r,回轉(zhuǎn)半徑為p,習(xí)題3.32)高為h、頂角為2a的圓錐在一平面上滾動(dòng)而不滑動(dòng)，如已知此錐以勻角速刃繞?！摧S轉(zhuǎn)動(dòng)，試求圓錐底面上A點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)加速度%和向軸加速度a2的量值。解：如圖示，動(dòng)坐標(biāo)系oxyz隨圓錐一起運(yùn)動(dòng)，ox軸過圓錐與地面的接觸線0B,設(shè)圓錐繞自己的軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為又圓錐的軸線繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為后=辰所以合角速度為S)合=&)+GJ)由于0B為瞬軸，故勿合沿ox軸，由圖可知sinor=—，艮■ 故步△=-cocotaiTOC\o"1-5"\h\zco sina又A點(diǎn)的位置矢量為—* —■ 一h— —OA=OAsin2ak+OAcoslai= (coslai+sin2ak)cosa所以A點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)加速度_ —- dco入 __ __a.= xOA=( +刃x刃入)xOA=(刃x刃入)xOA1dt dta a (cos2m+sin2ak)cosa (cos2m+sin2ak)cosa (-sinlai+cos2aE)sina向軸加速度為x一-—(cos2cri+sin2ak)cos。&2=x一-—(cos2cri+sin2ak)cos。2g)2h27 cosaksincr故轉(zhuǎn)動(dòng)加速度的量值是y也sina向軸加速度的量值是a,=^cos2?sina一直線以勻角速刃在一固定平面內(nèi)繞其一端0轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)直線位于0X的位置時(shí)，有一質(zhì)點(diǎn)P開始從0點(diǎn)沿該直線運(yùn)動(dòng)，如欲使此點(diǎn)的絕對(duì)速度V的量值為常數(shù)，問此點(diǎn)應(yīng)按何種規(guī)律運(yùn)動(dòng)。解：如圖示以0X為極軸，直線轉(zhuǎn)動(dòng)的方向?yàn)闃O角建立極坐標(biāo)系，0Z軸垂直紙面向外，設(shè)P點(diǎn)的相對(duì)速度為討=湃,故P點(diǎn)的絕對(duì)速度為 * —?v=vr+勿xOP=rer+a)kxrer=rer+cofe0設(shè)P點(diǎn)的絕對(duì)速度的量值為V,則有尸+濟(jì)2=,2上式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)得2r(r+^2r)=0由題意知"0所以有r+?2r=0其通解為r=Acoscot+Bsincot當(dāng)7=o時(shí)有r=0,r=v代入上式得A=0,B=—co故運(yùn)動(dòng)規(guī)律為r=—sinmtco如題圖51所示，細(xì)直管長(zhǎng)0A=l,以勻角速度3繞固定軸0轉(zhuǎn)動(dòng)。管內(nèi)有一小球M,沿管道以速度v向外運(yùn)動(dòng)。設(shè)在小球離開管道的瞬

時(shí)v=l00,求這時(shí)小球M的絕對(duì)速度。答：N(1/a,/)=45°題圖51解：小球離開管道的相對(duì)速度是=la） 方向沿管道向外牽連速度是ve=lco方向垂直于管道故小球離開管道的絕對(duì)速度是.=舟無="如設(shè)絕對(duì)速度方向與管道的夾角為幻貝膳=arctan^-=45°一、分析力學(xué)部分半經(jīng)為r的光滑半球形碗，固定在水平面上，一均質(zhì)棒斜靠在碗緣，一端在碗內(nèi)，一端在碗外，在碗內(nèi)的長(zhǎng)度為c,試用虛功原理證明棒的全長(zhǎng)為：/=4倍-2尸）C解：建坐標(biāo)如圖示，棒受主動(dòng)力為重力,作用點(diǎn)在質(zhì)心C±,方向豎直向下，即P=—mg由虛功原理得 =（-乃瀏?（&：+質(zhì)）=-mg切=0由圖可知sin。又由幾何關(guān)系知sin。=山技 所以y=-￡|乓二

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