2022年新高考數(shù)學(xué)試題解析版（全國I卷）

2022年全國新高考I卷數(shù)學(xué)試題答案

2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新高考I卷）

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

I.答卷前,號(hào)生務(wù)必將自J的姓名、考生號(hào)等填寫在答題k和試卷指定位置上,

2.FI-選擇題時(shí)，選出用小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題H的答案標(biāo)號(hào)涂黑

如需改動(dòng),用橡皮擦卜凈后，再選涂其他答案標(biāo)也回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題k

匕寫在本試卷上無效,

3.請(qǐng)保持答題K的整潔。考試結(jié)束后,將試卷和答題B?并交ML

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共*）分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若集介A/={x|&<41,N=【x|3x?l},則A/DN=

A.；x|04<2；B.令<2：

C.J.v1<16［D.

【答案】D

【解析】集合A/=；x|0令<16；,集合N=；.v|xel},八彳口'=令〈⑹.

33

故選D.

2.若“1-二）=1,則二+〒=

A.-2B.-IC.1D.2

【答案】D

［解析】對(duì)原式兩邊同時(shí)乘以i得：:-1=，，即二=1+八所以h=I——即二+〃=2.故

選D.

3.在△/8C中，點(diǎn)。在邊I,,BD=IDA.記。/=〃八CD=n.?JCB=

A.3，"-2〃B.-2，"+3〃C.3，"+2〃D.2，"+3〃

【答案】B

［解析】因?yàn)镃^B=~CA~A月’&T,又因?yàn)?7）=~CQi,所以

「月=—2。/+31。.即「8=—2〃7+3〃.故選1工

4.南水北調(diào)工程緩解r北方一鳴地區(qū)水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫,已知該

水庫水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140km2:水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面

的面積為180km2.將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作?個(gè)可臺(tái),則該水庫水位從海拔

148.5m上升到1575m時(shí),增加的水量約為（、斤=2,65）

A.1.0xl0Mm3B.1.2xlOMm'

C.1.4xl09m'D.1.6xlOym,

【答案】C

【解析】由題意y=14()knf,52=180knr,力=(157.5—148.5)km=9km,代入棱臺(tái)

體枳「=；（5；+5；+廊"?，公式可得：1,^1.4xl09m3.故選C.

5.從2至8的7個(gè)整數(shù)中的機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為

A.1C.17

B.-1).-

6323

【答案】D

【解析】總事件數(shù)共C；=d=21,

第?個(gè)數(shù)取2時(shí)，第二個(gè)數(shù)可以是3.5.7；

第一個(gè)數(shù)取3時(shí),第:個(gè)數(shù)可以是4,5,7,8：

第?個(gè)數(shù)取4時(shí),第二個(gè)數(shù)可以是5.7：

第?個(gè)數(shù)取5時(shí),第.個(gè)數(shù)可以是6.7.8：

第一個(gè)數(shù)取6時(shí),第：個(gè)數(shù)M以是7：

第?個(gè)數(shù)取7時(shí)，第:個(gè)數(shù)可以是8：

所以尸=3+4+2"3+1+1142

2)1-21-3?

JT?

6.記函數(shù)/(A)=sin(<9.v+-)+0)的最小正周期為T.7；|TT<7L＜萬，n.y=/（工）的函

數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（勺.2）中心對(duì)稱，則/（：）=

B.35

A.10C."0D.3

【答案】A

【解析】?=存（2.3）,y=/（x）的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)點(diǎn).2）中心為稱，則行6=2,11

/(—)=2.所以sin(巫〃+巴)+2=2,則包”+4=2履/eZ：解得“=生二山

224246

__._5兀、5717r,,..

(?)G(2.3)(/5n)A=2.69=—,Ai/(—)=sin(—?—+2=-I+2=I.

7.設(shè)a=O.le*b=—，c=-ln0.9,則

9

A.a<h<cB.c<h<aC.c<a<bI),a<c<h

【答案】C

[解析]令a=工c',b=Y~—，c=-ln(l-x).

IIna-In6=N+In.v-|ln.v-ln(l-^)]

I—x

y=x+ln(I-X),A:e(0.0,1]：>*=1-----=----<0,

1-XI-A,

所以j《0,所以Ina-In%0,所以

②a-c-jev+ln(I-.v)e(0,0I],

令4。)=(1+工)(1-刈--1,所以右(工)=(1一/-2工把'>0,

所以A6)>A(0)>0,所以y、0,

所以n—c>0,所以a>c.

8.已知正四枝錐的側(cè)楂長為/,其各頂點(diǎn)都在同?球而匕若該球的體積為36*且

3W/W36,則該正四棱雉體積的取值范圍是

Q1B?耳苧

A.[18.-]C.[j,y]D.[18.27]

【答案】C

【解析】記三棱錐而與側(cè)棱夾角為，，島為〃，底面中心到各頂點(diǎn)的距離為，〃,

1212__->21I

cos〃=二-------------=-G,貝I]/=6cos〃，ni=1s\n()=6sin〃cos〃，

2x3x1622

ni6sin〃cos”

h==6cos2。，S、\=-x2mx2m=2nr,

tan0sin<9

cos〃

故廠=2.S.)；xInrh=I44(sin67cos:()Y,

令y=sin6/cos20=sin。(1-sin20)-A(1-A*2)=-v'+x,x=sin0e|—,—|

了=-3.\’+I,故?丁'<(),_),'>0.

即J=144yM=144x[yx(^y)-]2=y,

1n?n=144x(^y-x(l)：)'=?

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共2。分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分。

9.已知正方體4BCD-4B￡口,則

A.立線8Q與D4所成的用為90°

B.直線BC；與所成的知為90°

C.直線改；與平面BB、D,D所成的角為45°

1).H線8g與平面AHCI)所成的用為45°

【答案】ABD

【解析】在正方體,48。-48cA中,因?yàn)镾C；_LBC，BCt1A,Bt,所以8C；_L平面

A、B、CD，所以BCt±DA,,BCt±C.\,故選項(xiàng)A.B均正確:

設(shè)4cleIBQ=O,因?yàn)?cl1平面BBRD，所以直線BC,H平ifil88QQ所成的角為

COI

?B(),在出用中，sinNG8O=」一=-,故N(；8O=30。,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤：

'BC}2

宜線8G勺平面」際7)所成的角為N(；8c=45。，故選項(xiàng)D正確.綜匕答案選ABD.

10.己知函數(shù)/(x)=.v，-x+l,則

A./(x)行兩個(gè)極值點(diǎn)

B./(x)有三個(gè)‘考點(diǎn)

C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=,/(.v)的對(duì)稱中心

D.直線j=2x是曲線j=./(.V)的W線

【答案】AC

【解析】/'(2=3--1,所以/(X)1兩個(gè)極值點(diǎn)-乎與乎,又/(，4,

所以/(*只仃-個(gè)號(hào)點(diǎn)：lll/O)+/(-x)=2川?知，點(diǎn)(0,1)是曲線)，=/(.、?)的時(shí)稱中心：曲

線v=/(.V)住點(diǎn)(1,1)處的切線方程為j，=2x-\.所以答案選AC.

II.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Z(l，l)在拋物線C：犬=2分，(p>0)h,過點(diǎn)8(0,-I)的點(diǎn)線

交C于兩點(diǎn)，則

A.(.的準(zhǔn)線為j=-lB.內(nèi)線18與(’相切

C.\OP\-\OQ\>\OA[D.\BP\\BQ\>\BA\:

【答案】BCD

【解析】由題意可知：l=2p,所以拋物線C：/=j，，故C的準(zhǔn)線為j=-L故A

不對(duì):

由y'=2x得曲線C在點(diǎn).4(1,1)處的切線斜率為2,所以切線方程為y=2x-l,故在線

與C相切;

過力：8(0,-1)的且線設(shè)為j=kv-l,交。J兒0兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別設(shè)為。。小)，2(士.4)，

聯(lián)立宜線與C方程可得1nV-公+1=0，所以有$+三=八、聲=1,

H.A=A2-4>0?R|1A:>4?進(jìn),步可得％+為=爐-2,乂%=1.此時(shí)

|OP|.|。。|=+j，；XxJ+”，)="11+.1：心+爐)=JM.E(.11R+M+為+1)=斤>4

乂Qf=2,所以C正確;

\BP\\BQ\=BP-BQ=(A;.\\+1)(.*.y2+1)=.vrv2+)\y2+j;+y2+1=A：+1>5,乂

|8/斤=5,故D正確:綜上,答案選BCD.

12.已知函數(shù)/(.、?)及其導(dǎo)函數(shù)/'(x)的定義域均為R,記gK).若/g-2x),g(2+x)

均為偶函數(shù)，則

A./(0)=0B.g(-g)=OC./(-1)=/(4)I).g(-l)=g(2)

【答案】BC

【解析】lll/g-2x)為偶函數(shù)可知/(x)關(guān)于百線.v=g對(duì)稱，

IIIg(2+.r)為偶函數(shù)可知：g(.v)關(guān)于百.線x=2乂寸稱.

結(jié)合g(x)=/'(x),根據(jù)g(x)關(guān)于直線x=2對(duì)稱可知〃/)關(guān)于點(diǎn)(2./)對(duì)稱，

根據(jù)/(.、,)大于直線.\=[對(duì)稱川.知：g(.v)大于點(diǎn)(1,0)對(duì)■稱，

綜匕函數(shù)/(TV)與g(x)均是周期為2的周期函數(shù)，所以仃/(0)=/(2)=/,所以A不正確：

/(-1)=/(!)./(4)=/(2),/(1)=/(2)，故/(-1)=/(4),所以C正確.

g(-J)=g(5)=o，g(-l)=g。)，所以B正確:

又g(l)+g(2)=0,所以g(-l)+g(2)=0,所以D不正確.

故選BC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共2()分。

13（1-，）。+I，）*的展開式中-J,"的系數(shù)為?用數(shù)字作答）.

【答案】-28

【解析】原式等「（'?+】，）*一1。+1,）、，由：頂式定理，式展開式中（1,"的系數(shù)為

（；—（；=-28.

14”出引朗/+/=|fn（.v-3）-+（i--4）-=16都相切的一條汽線的方程

【答案】.\二一1，或卜=二工一”.或1:=一3工+*（笞時(shí)其中之一即可）

-2424,44

【解機(jī)111國可得，兩網(wǎng)外切,”均與內(nèi)線/「v=-1相切的過兩同同心的內(nèi)?線/的方

44

程為1，二一工.“［得〃乂交點(diǎn)為—ill切線定理得，兩|員⑸?公切線/，過點(diǎn)/）.改

33

L-4I

/、:v+-=A-（.V+1）,ill.'.'Aj'll|'L線扣離公式可存-L=l=1,解存k=—,即

…3VF7724

7”

I.y=-x--.方由「兩同外切.閃此作公以點(diǎn)處行住公切線/「〃爬仃,解仔

15.，若曲線j,=(x+aH有兩條過坐標(biāo)取點(diǎn)的切線.則。的取值范圍是.，

【存案】(?--4)U(o.y>)~

【解析】易行曲線不過原點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為卜o.(h?o)e")，則切線斜率為一

fk)=(?o+a+l)c'.M得切戊方程為丁-(%+a)e；=(%+。+1)。'"('一天)，又切線過京點(diǎn).

可得-(q*""=%(%+&+恨"，化簡得XoN+aq-a-O(*),乂切線行網(wǎng)條，即※

方程有兩不等實(shí)根.由判別式4="+47>0,得"<y,或。>0.-

16LlMtmC「泊-7.兩4、兒N為小鳥—為

?.過AH正3JAFZ的自找'.JC^ID,E兩，1|D￡|=6.△&W\I<S.

【—案】13

析】怖"：!禹心率為」.小妨陵C二一+二-1,，!.△.”/?為止二川形.川n線

24c-3c-

/)E黑；”小號(hào)龍?向形儀成川刊.」曰=|￡7q,"，引/它.」闈i同件或打

A.比的閭K等價(jià)］￡>E|+|Q段+|E周=".另設(shè)H線/汪fi^)y="—(x+c).'肺

M,

超h在聯(lián)立利13y+8cx-32c'=0.一一，、

;

ill#.1<^A|D￡|+1?,-*4\'A+I?^xl+x2)*-4.v,.v,<!(

,nrl)T~I,8c.2.I2!k--48,??13,o\

V；+，<(—、>+-----=—c=6,即，.4</'I>.X.

13V1313138———

四、解答題：本題共6小題，共7(>分u超答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟;

17.，1。分，

記S”為裁列0：的瑞，，，，、出‘I"[q=],：*HE公4為!為容彳數(shù)列.

d3

?I求也：得地項(xiàng)公足

?2)證明：1，2_+…+J_<2.

q0、凡

[解析]：I；.S；-q所以』「I,

所以Pr是懺耿為1,公彳為:的-S厚心列，

?.,3

所以2-I十(〃一I),一‘色.所以、「與仁.

/333

1〃二工時(shí)，〃“二.、〃-S“?二一^―可-U,?

3，

所以(〃一【匕,一(〃-1此?,lip-^---~~-，心2-：

%〃T

累枳法可得：％=誓。，心2,乂q=l滿足該式.

所以：??!得通頂公式為q,=誓■.

18.(12分)

記。的內(nèi)向B.。的對(duì)邊分別為〃，b,c,.知~^~=sm28

1+sinA1+cos24

TT

I)若。=子，求8：

2.L2

(2)求土”.的最小值.

C"

【解析】I)由已知條件得:sin25+sin.1sin2B=cosA+cosAcos2B

sin28=cos4+cos/Icos2^-sin力sin28=cosA+cos(A+IB)

=cos[7t-(^+C)]+cos|7t-(^+C)+2B|

=-COS(8+C+cos[7T+(4-C]

=-2coscosC

)聽以2sinAcos8二一2cosAcosC',即(sinH+cosC)cos/^=0.

由t2知條件：l+cos28w(),則8工g,nJ得cos。工()，

所以sinB--cosC,=-.B=-.

26

(2)由(.1)^lsinZ^=-cosC>0,則8一￡,sinB=sin(C-^)=-cos(',

sinA-sin(8+「)=sin(2(>--)=-cos2C,

2

」—+力’sin2A+sin2Bcos22C+cos2C

rti止弦A:理——；—=-----；----------=-------------；----------

bsin"Csin'C

=-------------------；------------------=——；—+4SIITQ-3

sin'CsiirC

—4sin'C-5=4x/2-5.

Rsin2c

當(dāng)fl.僅當(dāng)sin：C=也時(shí)等號(hào)成t,所以土絲的最小值為4&-5.

2C

19.(12分)

如圖，直潛柱/8C-48G的體積為4,ZMBC的面

枳為2Vl.

I，求」至『平面48,的距離:

2)設(shè)。為的'|>'!>.A.\=18,平面4，平面

，1明4,求：而用.4-8O-C的正弦值.

【解析】'1?設(shè)一到平面I*的距離為

r=1S'--I-1=-J'=lx4=-

'3''八'侑?3〃"=Wi33，

「IN=；S,'h=gx2y/i.h,

所以;x2&?%=；所以h=0，所以A到平面《水’的距離為72.

3)取$8的中點(diǎn)￡,連接Jf,

閃為「以=AB，所以AEVA.B.

因?yàn)槠矫?6c1平面4844,平而48cCl平為人碼4=48,

所以.4￡_L平1(114BC.AE=y/2.則44=AB=2,所以AE1BC,

W為苴二棱柱48。-44。，所以AtA1BC,

因?yàn)锳EcJ..I=A,所以BC1平而，8g1,所以BC1.1B,

|||I'(B,..^,J,J=-x2xfiCx2=4.所以8c=2,

以8c為x軸，8.1為J,軸.84為二軸.建".如圖所示的空間也用

坐標(biāo)系，

所以6(000),4()20),C(2.0,0),4(022),￡(0,1,1),D(IJ,1)

平血血的法向量設(shè)為〃;=%￡=(0「1」)，平面班M的法向量設(shè)

為%=(r.r;)，

0=(0,2,0)麗=(1，1),

=0(2v,=0

旃a二0，""以1x+y+:=0所以1=0.

設(shè)X=1,則二=-1,所以〃：=(L0.-1),所以COS<>=^

l"iH"一

i殳ihi角4-Hl)-C的平面f(］為a，則sina=Jl-cost/=當(dāng)?

所以：而用，1-3。-('的心弦值為走.

2

20.(12分)

-醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦腢生習(xí)慣，生習(xí)慣分為良好和

不夠良好兩類）的關(guān)系,在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)杳了100例（稱為病例組，,同時(shí)隹

未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組）,得到如卜數(shù)據(jù):

不夠良好良好

病例組4060

對(duì)照組1090

1，能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的H生習(xí)慣有差異?

2）從該地的人群中任選?人，/1衣示事件??選到的人I!上習(xí)慣不夠良好8表示事

件“選到的人患行該疾病二絲地與絲上？的比值是11上習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)

P(B\A)P(B\A)

程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為

■明:心船O

（竹）利用該調(diào)行數(shù)據(jù)，給出a川8）,p（4i心的估計(jì)值，并利用i）的結(jié)果給出/?的

估il值.

20.0500.01()().001

n(ad-he)2P(K^k)

附：K-

("+/))((+d)(a+c)(〃+d)

k3.841八63510.828

【解析】1）假設(shè)患該疾病群體與未患該疾病群體的I1生習(xí)慣沒有差異,

2()()(4()x90-60xl()f

則K-==24>10,828,

50x150x100x100

所以行99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣行差異:

PUB)

,,,?,_P(A)〃(1)P(AB)〃(際

2.(l，i\—="—————

l\B\A)P(B\A)P(AB)。(函-P(AB)P(AB)

P(A)P(A)

〃(叫尸(.竺)

P(AB)P(AB}P(B)電①⑻得亂

—=--------=-=———P=PE@

AB)P(AB)~P(AB)“后)"P(A\B)P(A\Ti)''

P?

（ii）III調(diào)杳數(shù)據(jù)可知，（川8）=曲量,〃（川瓦=齋/，

29

則尸（1|8）=1-尸（川8）=],隔間二卷,所以/?='?畢=6?

510

21.（12分）

己知點(diǎn)月（2,1）在雙曲線C：匚一一=1（?>I）I..自線/交C于。.。兩點(diǎn)，百線

a'a--\

AP.的斜率之和為0.

I）求/的斜率：

2）若5/。/。=2啦.求八240的血枳.

【答案】（I）/的斜率為0：（2）△尸的面積為”也

~9

41

【解析】（1）將點(diǎn)/代入雙曲線方程得下一一5—=1.化簡得/-4/+4=0得:

a'a~-1

a2=2.故雙曲線方程為工-y

由題顯然直線/的斜率存住，設(shè)/：），=依+，〃，設(shè)）,則聯(lián)辦'i線4

雙曲線得：（2A:-l）-v：+4A/?.v+2m'+2=0,

4km2nr+2

故N+x2

vj-1.kx、+/〃-1kx+m

2二0,

$-2x,-2%-2-2

化簡得:2處工2+（團(tuán)-1-24）卜]+七）-4（zw-1）=0,

2

2k（2m+2）（4km、z

故；-_1-+（〃->2A）（-#二J-4（〃-1）=0,

即（A+l）（/〃+2A—1）=0,向有線/不過力點(diǎn)，故A=—I.

（2）設(shè)直線HP的傾斜分為a,山tan/P/O=2上.得tan烏絲=立.

~22

\\\2a+ZPAQ=n.得〃”=tana=J?.,即箕7=血，

?—萬-p-V、11n10—45/24^2—5

聯(lián)-77-^2，及一1-一齊二1得M二-----—?y\=-----

M_2233

代入直線/得〃7=3,故X]+X,=型，XR,="

而-尸|=退|西一21?Q|=也\x2-2|,

llItanZPAQ=25得sinAPAQ=坐，

故SA/,」0=^\AP\\AQ\sm^PAQ=|.v,.v2-2（^+.x2）+4|=.

22.（12分）

（_!.知函數(shù)/（A-）=e1-ax和g（.、?）=av-ln.v行相同的最小化

I）求a：

2）證明:存在直線歹=6,其與兩條曲線y=/（x）和y=g（x）共有三個(gè)不同的交點(diǎn),

并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列

【解析】（1）f'（x）=ex-a,g'（x）=a--

x

①aWO時(shí)，/Q）>0恒成立，所以/（X）在R上小調(diào)遞增，即/（X）沒有最小他

該類情況應(yīng)舍去.

②a>0時(shí)，/?。?8,In。）上小于O在（lna,+<?）上大于0,

所以/(工)住(一8」n〃)卜邛調(diào)遞減，在(Ini,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(工)住工=In〃處有最小值為/(lna)=〃-41n4,

所以g'(x)在［o.；J上小「0,在(；+oo［:大J0,

所以g(N)在(0」)上單調(diào)遞減，在［L+oo］上單調(diào)遞增，

所以g(.V)在x=1處行最小位為g仕］=1+Ina.

a\a)

I川為/(A)=ex-ax和g(x)=ox-1nx行相同的最小ffi.

所以有/(ln〃)=4一〃ln〃=g［'］=I+Inn,即〃一c/ln〃=1+lna

因?yàn)閍>0,所以匕式等價(jià)于In。-0=0,

a+\

令力卜)=In.v--j-(.v>0).

V-+1

則/(*=———T>0憫成立，所以/7(.v)在(0.+8)上單調(diào)遞增

工(.V+1)-

乂因?yàn)榱?1)=0=/?(n)11a>0,所以c/=1.

(2)證明：山(1)/(.v)=ex-x*g(.v)=x-lnA*.

￡L/(x)在(一8,0