2023屆高考數(shù)學(xué)一輪知識點訓(xùn)練：軌跡與軌跡方程（含答案）

2023屆高考數(shù)學(xué)一輪知識點訓(xùn)練：軌跡與軌跡方程

一、選擇題(共18小題)

1.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點力(1,1)和直線1:%+2丫—3=0距離相等的點的軌跡是()

A.直線B.拋物線C.橢圓D.雙曲線

2.設(shè)力為圓(X—1尸+*=1上動點，PA是圓的切線，且|P4|=1,則P點的軌跡方程為()

A.(%—I)2+y2=4B.(%—I)2+y2=2

C.y2—2xD.y2——2x

3.方程/+xy=x的曲線是()

A.一個點B.一條直線

C.兩條直線D.一個點和一條直線

4.方程(x2+y2-2x)Jx+y-3=0表示的曲線是()

A.一個圓和一條直線B.一個圓和一條射線

C.一個圓D.一條直線

5.已知點A,B分別是互不垂直的兩條異面直線a,b上的點，且直線4B與a,b均垂直，Pea,

Qeb,若直線PQ與AB所成銳角6為定值，則PQ的中點M的軌跡是()

A.橢圓B.拋物線C.圓D.線段

6.設(shè)4(—5,0),B(5,0),M為平面上的動點，若當(dāng)|M4|-|MB|=10時，M的軌跡為()

A.雙曲線的一支B.一條線段C.一條射線D.兩條射線

7.在正方體ABCD-A^C^中，點E在面ABCD上運動，且滿足EB=EDr,則點E的軌跡是

()

A.拋物線B.直線C.橢圓D.雙曲線

8.若4ABe的兩個頂點坐標(biāo)力(一4,0),B(4,0),ABC的周長為18,則頂點C的軌跡方程為

()

A,江+式=1B."+二=1?HO)

C.5+?=l(yH0)D.fJ+?=l(yH0)

9.平面直角坐標(biāo)系上動點滿足-3尸+y2+收+3尸+*=6,則動點M的軌跡是

()

A.直線B.線段C.圓D.橢圓

1().下列說法正確的是()

A.平面中兩個定點A,B,k為非零常數(shù)，若||PA|-|PB||=k,則動點P的軌跡是雙曲線

B.定圓。上有一定點4和一動點B(不與4重合)，。為坐標(biāo)原點，若9=3@+而)，

則動點P的軌跡是橢圓

C.斜率為定值的動直線與拋物線y2=2p工(p>o)相交于A,8兩點，。為坐標(biāo)原點，0P=

^(OA+OB),則動點P的軌跡是直線

D.以上說法都不對

11.已知△4BC的面積為右且兩個頂點是4(3,0),B(0,4),則點C的軌跡方程是()

A.4x+3y-13=0

B.4x+3y-11=0

C.4x+3y=0或4x+3y-11=0

D.4x+3y-13=0或4x+3y-11=0

12.已知圓(x+2)2+y2=36的圓心為M,設(shè)4為圓上任一點，N(2,0),線段4V的垂直平分線交

M4于點P,則動點P的軌跡是()

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

13.已知相異兩定點A,B,動點P滿足|PA|2—『8|2=m(meR是常數(shù))，則點P的軌跡是

()

A.直線B.圓C.雙曲線D.拋物線

14.點P(4,-2)與圓/+y2=4上任一點連線的中點軌跡方程是()

A.(X-2尸+(y+I)2=1B.(x-2)2+(y+I)2=4

C.(%+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y—I)2=1

15.已知圓6：0+2)2+丫2=36,定點尸2(2,0),4是圓&上的一動點，線段「2人的垂直平分線交

半徑于P點，則P點的軌跡C的方程是()

22222222

A.x-+^v-=1B.±+x匕=v1C.±+x匕=v1D.±x+匕v=1

43953459

16.已知定圓相(%一3)2+丁2=16,點4是圓加所在平面內(nèi)一定點，點。是圓時上的動點，若線

段P4的中垂線交直線PM于點Q,則點Q的軌跡可能是：①橢圓；②雙曲線；③拋物線；④

圓：⑤直線；⑥一個點.其中所有可能的結(jié)果有()

A.2個B.3個C.4個D.5個

17.在△ABC中，已知4(一1,0),C(l,0).若a>b>c,且滿足2sinB=sinA+sinC,則頂點B的

軌跡的方程是()

A.=+?=l(x<0)B.?+?=l(x<0)

C.y+^=l(x>0)D.y+^=l(x>0)

18.在四棱錐P--ABCD中，側(cè)面PAD為正三角形，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD1

底面4BCD,M為底面ABC。內(nèi)的一個動點，且滿足MP=MC,則點M在正方形ABCD內(nèi)的軌

跡為()

二、填空題(共7小題)

19.在平面直角坐標(biāo)系中，動點PQ,y)到兩條坐標(biāo)軸的距離之和等于它到點(1,1)的距離，記點P

的軌跡為曲線W.

(1)給出下列三個結(jié)論：

①曲線IV關(guān)于原點對稱；

②曲線“關(guān)于直線y=x對稱：

③曲線W與x軸非負(fù)半軸，y軸非負(fù)半軸圍成的封閉圖形的面積小于-

其中，所有正確結(jié)論的序號是.

(2)曲線W上的點到原點距離的最小值是.

2().在相距1000m的A,B兩哨所，聽到炮彈爆炸聲音的時間相距2s,已知聲速340m/s.以4B

的中點。為原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy,則炮彈爆炸點所在曲線的

方程為.

21.已知。為坐標(biāo)原點，點P是曲線0:2/+xy-3y2=5上一動點，則線段。P中點M的軌跡方

程為.

22.平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點，己知兩點4(6,0),8(-2,6).若點C滿足而=a+0礪,

其中2a+夕=1.則點C的軌跡方程為.

23.動點M(x,y)到點(2,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大2,則動點M的軌跡方程為.

24.打開“幾何畫板”進(jìn)行如下操作：①用畫圖工具在工作區(qū)畫一個圓C(圓C為圓心)；②用取點

工具分別在圓C上和圓外各取一點4B；③用構(gòu)造菜單下對應(yīng)命令作出線段48的垂直平分線;

④做直線4C；設(shè)直線AC與I相交于點P,當(dāng)A在圓C上運動時，點P的軌跡是.

25.線段AB和CD互相垂直平分于點0,|4例=21m=4,動點P滿足\PA\-\PB\=\PC\■\PD\,

若以。為原點，CD所在的直線為x軸，則動點P的軌跡方程為.

三、解答題(共8小題)

26.已知4(-3,2),B(3,-2)兩點，求證：與這兩點距離相等的點M的軌跡方程是3x-2y=0.

27.已知動點M與定點F(c,0)的距離和M到定直線八x=貯的距離的比是定值￡(其中a>0,

ca

C>0).

(1)求動點M的軌跡方程；

(2)當(dāng)a,c變化時，指出(1)中軌跡方程表示的曲線形狀.

28.已知等腰三角形底邊的兩個端點的坐標(biāo)分別是B(4,2),C(-2,0),求第三個頂點4的軌跡方程.

29.已知AABC中的兩個頂點是8(0,6),C(0,-6),邊與AC邊所在直線的斜率之積是看求頂

點A的軌跡方程.

2

30.已知傾斜角為：的直線交橢圓：+y2=i于4兩點，求線段48的中點P的軌跡方程.

44B

31.己知定點4(3,1),動點B在圓％2+*=4上，p在線段4B上，且BP:P4=1:2,求點P的軌

跡方程.

32.設(shè)。為坐標(biāo)原點，動圓P過定點M(4,0),且被y軸截得的弦長是8.

(1)求圓心P的軌跡C的方程；

(2)設(shè)4,B是軌跡C上的動點，直線。4OB的傾斜角之和為三求證：直線AB過定點.

4

33.已知橢圓C：4+§=l(?>/>>0)的長軸是短軸的兩倍，以短軸一個頂點和長軸一個頂點為端

點的線段作直徑的圓的周長等于V5ir,直線I與橢圓C交于4(右,乃)，B(x2,y2)兩點.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點。作直線［的垂線，垂足為0.若0410B,求動點。的軌跡方程.

答案

1.A

2.B

【解析】提示：由勾股定理可得P到圓心(1,0)的距離為V2.

3.C

4.D

［解析】由題意，(/+y2-2x)y/x+y-3=0可化為x+y-3=0^(,x2+y2-2x=0(x+y-

3>0),

因為x+y-3=0在x2+y2-2尤=0的上方，

所以/+y2-2x=0(x+y-3>0)不成立，

所以x+y-3=0,

所以方程(%2+y2-2x^x+y-3=0表示的曲線是一條直線.

5.A

【解析】如圖，直線48與兩條異面直線a,b垂直，將b從8所移動到44,與a相交于4點，

故直線AB與底面APA1垂直，且4B與PQ所成的銳角0為定值，

故以AB為軸，夾角為。，PQ為母線畫圓錐，由P,Q分別在a,b上移動，故相當(dāng)于圓錐在移動，畫

出中點M隨橢圓的變化位置，因為48長度為定值，故可投影為平面問題，如圖，以直線a,b交點

為原點，角平分線為x軸建立如圖直角坐標(biāo)系，

為了方便計算不妨設(shè)a，b的夾角。=60。，宜線x軸與a,b夾角為30。，令定值IP'Q'1=1AB|

tan。=6,

則設(shè)動點0(百a,a),設(shè)M為PQ中點，故F(2x-Ha,2y—a)可得tan(—30°)=

得3a=V3x+3y,

由IP'Q'|=(2x-2V3a)+(2y-2a)2=36,

聯(lián)立解得5+L

p

6.C

【解析】根據(jù)題意，4(一5,0),8(5,0),則|AB|=10,

動點M滿足\MA\-\MB\=10,

即\MA\-\MB\=\AB\,

則M的軌跡為一條射線，頂點為B點，B點右側(cè)x軸上的部分.

7.B

8.D

9.B

【解析】設(shè)點&(3,0),尸2(-3,0),

22

因為動點M(x,y)滿足-3尸+y2+3)+y=6,

所以IMFil+\MF2]=6,

又|FFzl=6,

所以|MF|+\MF\

X2=\FXF2\,

所以動點M的軌跡是線段.

故選：B.

1().C

【解析】設(shè)4B是兩個定點，k為非零常數(shù)，

若IIP4I-|PB||=k<\AB\,可得P的軌跡為雙曲線；

若IIP川一[PB||=/c=|AB|,即為射線;

若||P4|-|PB||=k>依例，則軌跡不存在，故A錯誤；

過定圓C上一定點4作圓的動弦4B,。為坐標(biāo)原點.

若萬5=久次+而)，則P為48的中點，CP1AB,

則動點P的軌跡為以AC為直徑的圓，故B錯誤：

斜率為定值t的動直線與拋物線y2=2Px(p>0)相交于A,8兩點,

設(shè)”(荼y)B償,丫2)，OP=^(OA+OB)，可得P為48的中點,

[=咨=3.=上，即有yp=日,

yi+yypt

2p2p2

則動點P的軌跡是直線，故c正確.

11.D

12.B

【解析】?.，IPA|=|PNI，

??.IPMI+|PN|=|PM|+|PA|=|MA|=6>|MN|.

故動點P的軌跡是橢圓.

13.A

【解析】提示：記P(%,y),A(-c,0),8(c,0).則由|PA『一|P8『=m得，(x+c)2+y2—

[(%-c)2+y2]=m.因為4B為相異的兩點，所以cW0.化簡原式得x=*故軌跡為直線.

14.A

【解析】設(shè)圓上任一點Q(xo，yo),PQ中點為(x,y).則代入圓方程即可.

lyo—zy+z，

15.B

【解析】連接尸22，則F2P=P4

因為F2P+&P=PA+RP=FrA=6>FrF2=4,

由橢圓的定義可得點P的軌跡為以點Fi，F(xiàn)2為焦點，長軸為6的橢圓，

所以2a=6,即a=3,又因為焦點為(2,0),即c=2,

所以=&2-c2=9—4=5,

故點P的軌跡C的方程為：?+?=L

16.C

【解析】因為Q是線段PA的中垂線上的點，

所以QA=PQ,

(1)若4在圓M內(nèi)部，則MA<4,QM+QA=QM+QP=4,

所以Q點軌跡是以M,4為焦點的橢圓.

(2)若4在圓M外部，則IQA-QM|=\PQ-QM\=PM=4,MA>4,

所以Q點軌跡是以A，M為焦點的雙曲線.

(3)若A在圓M上，則P4的中垂線恒過圓心M,

即Q的軌跡為點M.

(4)若4為圓M的圓心，即4與M重合時，Q為半徑PM的中點，

所以Q點軌跡是以M為圓心，以2為半徑的圓.

綜上，Q點軌跡可能是①②④⑥四種情況.

17.A

18.A

【解析】以。為原點，DA.DC所在直線分別為x、y軸建系，如圖所示.

設(shè)M(x,y,O),設(shè)正方形的邊長為a,則pgo，D，C(0,a,0),

則|MC|=y/x2+(y-a)2,

IMP1=](x_])+*+俘a),

由IMP|=|MC|,得x=2y,所以點M在正方形HBCD內(nèi)的軌跡為直線y=：x的一部分.

19.②③，2-戈

【解析】（1）由己知得P（x,y）點軌跡方程為IxI+1y1=-1尸+（y-1/,化簡得|町|=1一

x-y.由于點（y,x）也滿足方程，所以曲線關(guān)于直線y=x對稱，②正確；而點（-％-丫）不滿足方程,

所以①不正確；

可畫出曲線IV如圖所示：

（2）由圖象及曲線的對稱性可知，曲線W和直線y=x的交點4到原點的距離最小，求得最小值為

2-V2.

42y2

20.—------------=1

250000134400

【解析】由題意可得雙曲線的焦點在工軸上，中心在原點，且2c=1000,2a=2x340,

即c=500,a=340,

所以b2=c2-a2=5002-3402=134400,a2=250000,

22

所以雙曲線的方程沏嬴-品=】?

y2-.2

故答案為.―.......—=1.

以口木〃.2500001344001

21.8x2+4xy-12y2=5

【解析】設(shè)M（%y）,P（%o，yo），因為M是線段OP的中點，

x=2x,

則有0

?o=2y,

因為點P是曲線D:2/+盯_3y2=5上一動點，

所以2(2x)2+4xy—3(2y)2=5,即8x2+4xy—12y2=5.

22.6%+5y—18=0

【解析】設(shè)點C的坐標(biāo)為(x,y),由題意可得(%,y)=(6a-20,6夕),

所以fx=6a—20,

y=63，

又2a+/?=1,所以2X(1+,)+?=1,即6x+5y-18=0.

23.y2=8x(x20)或y=0(x<0)

【解析】因為動點M(x,y)到點(2,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大2,

所以-2)2+y2=|xI+2,

所以y2=4x+|4xI，

當(dāng)x20時，y2=8x,

當(dāng)x<0時，y=0.

所以動點M的軌跡方程為y2=8x(%20)或y=0(x<0).

24.雙曲線

【解析】由題意畫出圖形，如圖，

\CJA

因為線段AB的垂直平分線為I,

所以\PA\=\PB\.

所以\PC\-\PB\=\PC\-\PA\=。(定值)<\BC\.

所以由雙曲線的定義知，點P的軌跡是雙曲線.

25.2x2-2y2+3=0

26.略.

27.(1)設(shè)M(x,y),由已知，得組三察=:

IZ-TI°

所以_c)2+y2=:卜_,兩邊平方，得(x_c)2+y2=,

化簡，得動點M的軌跡方程為(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).

(2)因為a>0,c>0,所以

當(dāng)a=c>0時，(1)中軌跡方程化為y=0,它表示的曲線是直線入軸；

當(dāng)a>c>0時，(1)中軌跡方程化為馬+4=1,它表示中心在原點，焦點在x軸上，長半軸長

a2a2-c2

為a,短半軸長為后二『的橢圓；

當(dāng)c>a>0時，(1)中軌跡方程化為馬-Tj=l,它表示中心在原點，焦點在x軸上，實半軸長

為a,虛半軸長為7c2—M的雙曲線.

28.3%+y-4=0(%H1).

2夕?一?=1(無力°)?

3。C=一能第一<聆

31.空咨+突上=1(/+*=4的圓內(nèi)部分).

1616,

32.(1)設(shè)動圓圓心P(x,y),設(shè)圓交y軸于E,F兩點，連接PM,PE.

則|PM|=|PE|,過點P作PH1EF,則點H是EF的中點.

顯然\PE\=Vx2+42,\PM\=V(x-4)2+y2,

于是J(久一4尸+y2=于2+42,化簡整理得C:y2=8x,

故圓心P的軌跡方程為C-.y2=8x.

(2)設(shè)4a1，%),B(x2,y2)>

由題意得x-ix2(否則a+0=IT,且與H0,*2片0).

所以直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+b,

則與=或，x2=<即左=且，"=且.

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