2023屆高考數(shù)學考前沖刺指導(dǎo)練習（3）數(shù)列、不等式部分（含答案）

2023屆高考考前指導(dǎo)卷（三）

數(shù)列、不等式部分

考點一：（數(shù)列部分：數(shù)列的概念，數(shù)列的通項、求和，等差、等比數(shù)列的基本量運算）

1.（2008?北京?高考真題（理））已知數(shù)列｛%｝對任意的p,geN*滿足與+,=%,+%,且?=-6,那么《°等于

A.-165B.-33C.-30D.-21

2.（2017?全國?高考真題（理））等差數(shù)列｛“”｝的首項為1,公差不為0.若久，的，生成等比數(shù)列，則｛的｝前6項的

和為()A.-24B.-3C.3D.8

3.（2007?遼寧?高考真題（理））設(shè)等差數(shù)列｛《｝的前”項和為S,,,若邑=9,56=36,則%+4+%=（）

A.63B.36C.45D.27

4.（2021?北京?高考真題）已知｛%｝是各項均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且q23,若q+4+…+q=100,則〃的最大值為

（）A.9B.10C.11D.12

5.（2007?海南?高考真題（理））己知x>0,y>0,x,4力,y成等差數(shù)列，x,c,d,y成等比數(shù)列，則如①的最小值

cd

是A.0B.1C.2D.4

6.（2015?全國?高考真題（文））己知｛““｝是公差為1的等差數(shù)列，5,為｛%｝的前"項和，若S$=4S4,則%=

A.yB.yC.1（）D.12

7.（2020?山東?高考真題）在等比數(shù)列｛q｝中，q=l,對=-2,則佝等于（）

A.256B.-256C.512D.-512

8.（2021?全國.高考真題（文））記5“為等比數(shù)列｛q｝的前幾項和.若y=4,54=6,則4=（）

A.7B.8C.9D.10

9.（2008?四川?高考真題（理））已知等比數(shù)列｛4｝中生=1，則其前3項的和邑的取值范圍是（）

A.（B.（-oo,0]u[l,+a>）C.[3,+oo）D.（-oo,-l]U[3,-H?）

+

10.（2020.全國.高考真題（理））數(shù)列｛/｝中,4=2,對任意m,neN,am+?=aman,若

%+|+4+2+~+%+1。=2"-25，則k=()A.2B.3C.4D.5

11.（2020?全國?高考真題（文））設(shè)｛4｝是等比數(shù)列，且4+%+/=1,生+/+4=2,則4+%+4=（）

A.12B.24C.30D.32

12.（2019?全國?高考真題（理））已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛《,｝的前4項和為15,且%=3%+4%,則。3=

A.16B.8C.4D.2

考點二：等式與不等式部分（不等式的性質(zhì)、基本不等式求最值、絕對值不等式以及不等式的證明、線性規(guī)

劃問題）

13.（2022?上海?高考真題）已知方＞c＞d,下列選項中正確的是（)

A.a+d>b+cB.a+c>b+dC.cid>bcD.aobd

14.（2007?上海?高考真題（理））已知為非零實數(shù)，且。＜2,則下列命題成立的是

ba

A.a2<b2B.ab2<crbcD.-<—

-ah

15.（2008?廣東?高考真題（文））設(shè)若a-例＞0,則下列不等式中正確的是（）

A.h-a>0B.a^b3<0C.a2-b2<0D.。+。>0

16.（2015?天津?高考真題（理））設(shè)xeR,則中是“d+x-2＞0”的（)

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

17.（2020?山東?高考真題）己知變量x,，滿足某約束條件，其可行域（陰影部分）如圖所示，則目標函數(shù)

z=2x+3y的取值范圍是（)

A.[0,6]B.[4,6]

C.[4，同D.[6,10]

2x+3y-3<0

18.（2017?全國?高考真題（理））設(shè)X,y滿足約束條件2x—3y+320,則z—2x+y的最小值是（)

y+320

A.—15B.-9C.1D.9

19.（2019?北京?高考真題（理））若x,y滿足1%區(qū)1一，且這T,則3x+y的最大值為

A.-7B.1C.5D.7

x+y-340

20.（2012?福建?高考真題（文））若直線y=2x上存在點（x,y）滿足約束條件,x-2y-3<0,則實數(shù)m的最大值

x>m

為

A.-1B.1C.-D.2

2

21.（2021.全國.高考真題（文））下列函數(shù)中最小值為4的是（)

A.y=x2+2x+4B-J=|Sin%|+|sinx|

4

C.y=2x+22-xD.y=\nx+-----

X

22

22.（2021?全國?高考真題）已知耳，鳥是橢圓C：土+?=1的兩個焦點，點用在C上，則|叫卜阿閭的最大值

為（）

A.13B.12C.9D.6

（文））若實數(shù)“力滿足!+]=而，

23.（2015?湖南?高考真題則曲的最小值為

ab

A.y[2B.2C.26D.4

(文))f(x)=x+-^-z(x>2),在x=a

24.（201（重慶?高考真題處取最小值，則2=

x-2

A.1B.1+V3C.3D.4

25.（2013?福建?高考真題（文））若2'+2>'=1，則》+丫的取值范圍是（）

A.[0,2]B.[—2,0]C.[—2,+oo）D.2]

跟蹤練習

26.（2020.全國.高考真題（文））數(shù)列｛風｝滿足4+2+（-1）&=3〃-1,前16項和為540,貝U《=.

27.（2013?全國?高考真題（理））若數(shù)列｛加｝的前n項和為Snn2;an+1g,則數(shù)列｛a/的通項公式是a「=.

28.（2008?四川?高考真題（文））設(shè)數(shù)列｛4｝中，q=2,4川=a“+〃+1,則通項。“=.

29.（2020?全國?高考真題（文））記S”為等差數(shù)列｛叫的前〃項和.若q=-2,a2+a6=2,則兒=.

30.（2015?廣東?高考真題（理））在等差數(shù)列⑶｝中，若a3+a4+as+a6+a7=25,則a2+as=.

31.（2011?天津?高考真題（文））己知｛an｝為等差數(shù)列，Sn為｛a“的前n項和,nGN*,若a3=16,S2o=2O,則Sio值

為.

32.（2009?寧夏?高考真題（理））等差數(shù)歹U｛""｝前n項和為S”.已知$2“1=38,則01=.

33.（2014?廣東?高考真題（理））若等比數(shù)列1J的各項均為正數(shù)，且=勿5,則

Inq+In/+...+In%）=.

34.（2018?全國?高考真題（理））記S.為數(shù)列｛4｝的前〃項和，若S,=2a,,+1,則=

35.（2020?江蘇?高考真題）設(shè)｛“〃｝是公差為d的等差數(shù)列，｛加｝是公比為q的等比數(shù)列.已知數(shù)歹加｝的前”

項和5“=,『一〃+2"-1("eN，),則d+q的值是

4“+1,”為奇數(shù),

36.（2021?全國?高考真題）已知數(shù)列｛4,,｝滿足q=1,a

n+i4+2,〃為偶數(shù).

（1）記2=生“，寫出4，4，并求數(shù)列｛2｝的通項公式；（2）求｛%｝的前20項和.

37.（2021?湖南?高考真題）己知各項為正數(shù)的等比數(shù)列｛q｝中，4=1,%=4

（1）求數(shù)列｛叫的通項公式；（2）設(shè)2=log2。,,，求數(shù)列｛2｝的前〃項和S..

,、9

38.（2021?浙江?高考真題）已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，4=-；，且4sm=3S“-9.

（1）求數(shù)列｛為｝的通項；

⑵設(shè)數(shù)列圾｝滿足池,+（〃-4）a.=0（〃eN*）,記出｝的前"項和為，若二4皿對任意〃eN*恒成立,求實數(shù)

2的取值范圍.

39.（2020,全國?高考真題（文））設(shè)等比數(shù)列｛“〃｝滿足"+生=4,%-4=8.

（1）求｛“〃｝的通項公式；（2）記S”為數(shù)列｛k>g3a〃｝的前〃項和.若S”+S,”M=S,11t3，求機.

40.（2018?全國?高考真題（理））等比數(shù)列｛叫中，4=1,%=4%.

（1）求｛可｝的通項公式；（2）記E,為㈤｝的前"項和.若S“=63,求加.

41.（2012?江西?高考真題（理））己知數(shù)列｛a“的前n項和S“=-g〃2+如伏wN"）,且S”的最大值為8.

（1）確定常數(shù)k,求a“；（2）求數(shù)列1（方9-2產(chǎn)a1）的前n項和Tn.

42.（2011?全國?高考真題（理））等比數(shù)列｛%｝的各項均為正數(shù)，且2《+3%=1,/=9。必.

（1）求數(shù)列｛4“｝的通項公式；（2）設(shè)bn=/og3ai+bg3a2+...+log3an,求數(shù)列J：?的前”項和刀,.

43.（2013?廣東?高考真題（文））設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列｛4｝的前“項和為S"，滿足45,,=。3-4〃-1,〃￡，,且

/，%嗎4構(gòu)成等比數(shù)歹!）.

1）證明：生="4%+5；（2）求數(shù)列｛4｝的通項公式；（3）證明：對一切正整數(shù)〃，有

4a2a2a3anan*\2

44.(2021?全國?高考真題(文))設(shè)｛為｝是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列也,｝滿足仇=早.已知以，3%,9%成等

差數(shù)列.

C

⑴求｛%｝和也｝的通項公式；(2)記S”和7”分別為｛叫和也｝的前〃項和.證明：

45.(2021?全國?高考真題(文))已知函數(shù)/(x)=x-2,g(x)=2x+3—2x—l.

(1)畫出y=/(x)和y=g(x)的圖像；

(2)若"x+a)Wg(x),求a的取值范圍.

46.(2021?全國?高考真題(理))已知函數(shù)/(x)=|x-a|+k+3|.

(1)當a=l時，求不等式/(x)26的解集；⑵若求。的取值范圍.

47.(2016?江蘇?高考真題)［選修4—5：不等式選講］

設(shè)a>0,Ix-liv],|y-2|<-1,求證：|2x+y-4|<a.

48.(2019?全國?高考真題(文))已知/(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).

(1)當a=l時，求不等式/。)<。的解集；(2)若xe(-8,l)時，/(x)<0,求。的取值范圍.

49.(2011.福建?高考真題(理))選修4-5：不等式選講

設(shè)不等式卜-1|<1的解集為M.

(I)求集合M；(H)若a,b￡M,試比較ab+1與a+b的大小.

50.(2018?全國?高考真題(理))設(shè)函數(shù)/(力=|2%+1|+卜-1|.

(1)畫出y=/(x)的圖像；(2)當xe[0,+8),f^x)<ax+b,求a+6的最小值.

51.(2019?全國?高考真題(文))已知“，b,c為正數(shù)，且滿足%=1.證明:

—《，廠+力~+c，2；(2)(a+1>'+3+c)3+(c+224.

52.(2017?全國?高考真題(理))已知a>0,b>0,“3+^=2,證明:

⑴(a+33+加"4；(2)a+b<2.

53.(2016?全國?高考真題(文))選修45不等式選講

已知函數(shù)f(x)=x-J+x+g,M為不等式f(x)<2的解集.

(I)求M；(II)證明：當a,bwAf時，，,+耳<|1+聞.

參考答案:

1.c

【解析】

【詳解】

對任意的p,qGN*,滿足ap+q=ap+q,，p=q=n時,有a2n=2an.

又a2=—6,；.a8=2a4=4a2=-24,故aio=a2+a8=-30.

2.A

【解析】

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列的基本量求得數(shù)列的公差，再用其前〃項和公式即可求得結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)題意得即(4+2z/『=(q+d)(q+5"),

解得d=0(舍去)，d=-2,

所以數(shù)歹的前6項和為S6=6q+6x^5d=6xl+^6xx5(-2)=-24.

故選：A

3.C

【解析】

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列的前"項和的性質(zhì)，列式求解.

【詳解】

由等差數(shù)列的八項和的性質(zhì)可知，S，S「S、,S「s6成等差數(shù)列,

即9,27,Sg-S,,成等差數(shù)列，所以9+Sg-&=54,所以S「&=45.

即a7+a8+%=45.

故選：C

4.C

【解析】

【分析】

使數(shù)列首項、遞增幅度均最小，結(jié)合等差數(shù)列的通項及求和公式求得〃可能的最大值，然

后構(gòu)造數(shù)列滿足條件，即得到〃的最大值.

【詳解】

若要使〃盡可能的大，則4,遞增幅度要盡可能小，

不妨設(shè)數(shù)列｛生｝是首項為3,公差為1的等差數(shù)列，其前〃項和為或，

則.=森+2,&=節(jié)匕12=102>100，

所以“411.

對于.="+2,'=^3+^123x11=88<100，

取數(shù)列｛%｝各項為.="+2(n=1,2,...10),4]=25,

則4+%"I----b67||=100,

所以n的最大值為11.

故選：C.

5.D

【解析】

【詳解】

解：二“，a,b,y成等差數(shù)列，x,c,d,y成等比數(shù)列

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)可知：a+b=x+y,cd=xy,

(a+b)2_(x+y)2(2y[xy)2_

一二一今

cdxyxy

當且僅當x=y時取“=”，

6.B

【解析】

【詳解】

試題分析：由$8=4S.得M+28"=4(44+64),解得“后,須=q+9=].

考點：等差數(shù)列.

7.A

【解析】

【分析】

求出等比數(shù)列的公比，再由等比數(shù)列的通項公式即可求解.

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,

因為q=l,a2=-2,所以9=幺=-2,

a\

所以=qq*=1x(―2)8=256,

故選：A.

8.A

【解析】

【分析】

根據(jù)題目條件可得反，54-S2,56-邑成等比數(shù)列，從而求出$6-邑=1,進一步求出答

案.

【詳解】

???S”為等比數(shù)列｛4｝的前〃項和，

s2,S4-S2，S6-S4成等比數(shù)列

/.S2=4,S4—S2=6—4=2

:.56-S4=1,

,56=1+54=1+6=7.

故選：A.

9.D

【解析】

設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為夕，由等比數(shù)列的通項表示邑(即q的代數(shù)式)，然后根據(jù)q的正

負性進行分類，分別求出$3的范圍即可.

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為＜7，

?.?等比數(shù)列｛%｝中4=1，

(1、1

S3=4+%+%=右|[+q——1+i7H—,

Aq)q

,當q>0時，S3=l+^+->l+2L--=3；

qq

邑e(Y,T]U[3,+<?).

故選：D.

【點睛】

本題考查由均值不等式求范圍，涉及等比數(shù)列，屬于基礎(chǔ)題型.

10.C

【解析】

【分析】

取機=1,可得出數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，求得數(shù)列｛〃,,｝的通項公式，利用等比數(shù)列求和公式

可得出關(guān)于左的等式，由ZeN*可求得出的值.

【詳解】

在等式am+n=aman中，令寺=1,可得an+i=ana｝=2an，二芳=2,

所以，數(shù)列｛%｝是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則=2x2"-'=2",

|(,5

4M+曝+…+/。==2H)=2^(2-1)=2(2'"-1).

.-.2*+|=25,則々+1=5,解得Z=4.

故選：C.

【點睛】

本題考查利用等比數(shù)列求和求參數(shù)的值，解答的關(guān)鍵就是求出數(shù)列的通項公式，考查計算

能力，屬于中等題.

11.D

【解析】

【分析】

根據(jù)已知條件求得9的值，再由46+%+4=4%4+4+4)可求得結(jié)果.

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,則4+%+%=q(i+q+/)=i，

22

%+a3+a4=a]q+atq+q/=atq[]+q+q^=q=2,

525

因止匕，綜+%+氏=+qq，=al^(l+^+^)=^=32.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查等比數(shù)列基本量的計算，屬于基礎(chǔ)題.

12.C

【解析】

利用方程思想列出關(guān)于4,4的方程組，求出4,4,再利用通項公式即可求得出的值.

【詳解】

%+qg+qg2+々聞3=]5,

設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列伍〃｝的公比為q,則

4g4=3a聞2+曲

解得I"=:，「?％=4^=4,故選C.

[q=2

【點睛】

本題利用方程思想求解數(shù)列的基本量，熟練應(yīng)用公式是解題的關(guān)鍵.

13.B

【解析】

【分析】

用不等式的基本性質(zhì)得解.

【詳解】

Q3>2>!>0,但3+0=2+1,3x0<2xl,A、C錯

Qa>b>c>d,a>c,b>d,所以〃+c>6+”.B正確.

Q30>2>-l>-2,?30x(-l)<2x(-2),D錯.

故選:B.

14.C

【解析】

【詳解】

ab>0”、、

右則〃2>b2,A不成立；右｛/<"-,B不成立；右。=1,b=2,則

a<b

2=2,==!n2>’,所以D不成立，故選C.

ab2ab

15.D

【解析】

【詳解】

解析】利用賦值法:令“=1*=0排除A,B,C,選D.

16.A

【解析】

【分析】

求絕對值不等式、一元二次不等式的解集，根據(jù)解集的包含關(guān)系即可判斷充分、必要關(guān)系.

【詳解】

由打一2卜1,可得l<x<3,即xe(l,3)；

由X2+X-2=(X-1)(X+2)>0,可得X<-2或X>1,HPxe(-oo,-2)U(l,+°o)；

，(1,3)是(o,-2)U(l,田)的真子集，

故卡-2卜1”是“/+*_2>0”的充分而不必要條件.

故選：A

17.C

【解析】

【分析】

作出目標函數(shù)對應(yīng)的直線，平移該直線可得最大值和最小值，從而得范圍.

【詳解】

如圖，作出直線，：2x+3y=0,向上平移直線/,/最先過可行域中的點A,此時

z=2x2+0=4,最后過可行域中的點8(2,2),此時=2x2+3x2=10,

所以z的取值范圍是[4,10].

故選：C.

y

x+y-2=Q

18.A

【解析】

【分析】

作出可行域，Z表示直線y=-2x+z的縱截距，數(shù)形結(jié)合知Z在點8(—6,-3)處取得最小

值.

【詳解】

作出不等式組表示的可行域，如圖所示，

目標函數(shù)z=2x+y,z表示直線y=-2x+z的縱截距,

2x+2y-3=0X——6,、

y7n8（-6，-3）,

y+3=0

數(shù)形結(jié)合知函數(shù)y=-2x+z在點8(—6,—3)處縱截距取得最小值,

所以z的最小值為-12—3=—15.

故選：A

【點睛】

本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，屬于基礎(chǔ)題.

19.C

【解析】

【分析】

首先畫出可行域，然后結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義確定其最值即可.

【詳解】

f—1<V

由題意,-八，作出可行域如圖陰影部分所示.

[y-lWxWl-y

當直線4：y=z-3x經(jīng)過點（2,-1）吐Z取最大值5.故選C.

【點睛】

本題是簡單線性規(guī)劃問題的基本題型，根據(jù)“畫、移、解”等步驟可得解.題目難度不大題，注重

了基礎(chǔ)知識、基本技能的考查.

20.B

【解析】

【詳解】

x+y-3<0,

x-2y-3<0,,

{x>m,

如圖所示，可得mWl，所以最大值為1,故選B.

21.C

【解析】

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷A選項不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等“，即

可得出反。不符合題意，C符合題意.

【詳解】

對于A,y=x2+2x+4=(x+l)2+3>3,當且僅當x=-l時取等號，所以其最小值為3,A

不符合題意;

對于B,因為0<kinx|41,>=卜而目+品224=4,當且僅當卜inx|=2時取等號，等

號取不到，所以其最小值不為4,B不符合題意；

4L

對于C,因為函數(shù)定義域為R,而2*>0,y=2x+22-x=2x+—>244=4,當且僅當

2*=2,即x=l時取等號，所以其最小值為4,C符合題意;

4

對于D,y=\nx+——，函數(shù)定義域為（O,l）U（l，?x）），而InxwR且InxwO,如當

Inx

lnx=-l,>=-5,D不符合題意.

故選：C.

【點睛】

本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等''的意義，再結(jié)合有關(guān)

函數(shù)的性質(zhì)即可解出.

22.C

【解析】

【分析】

本題通過利用橢圓定義得到附+|幽|=勿=6,借助基本不等式

區(qū)/訃園周《幽土竺鼻即可得到答案.

I2,

【詳解】

由題，cr=9,Z?2=4,貝4|+|知4|=2。=6,

所以閭4的"四］=9（當且僅當|M用=|加段=3時，等號成立）.

I2）

故選：C.

【點睛】

23.C

【解析】

【詳解】

1.1—+—=y/ab,a>0,b>0,,.14ab=—+—>2:.ab>2s/2,（當且僅當6=2。

ahab

時取等號），所以而的最小值為2a，故選C.

考點：基本不等式

【名師點睛】基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能,

因此可以用在一些不等式的證明中，還可以用于求代數(shù)式的最值或取值范圍.如果條件等

式中，同時含有兩個變量的和與積的形式，就可以直接利用基本不等式對兩個正數(shù)的和與

積進行轉(zhuǎn)化，然后通過解不等式進行求解.

24.C

【解析】

【詳解】

試題分析：把函數(shù)解析式整理成基本不等式的形式，求得函數(shù)的最小值和此時x的取值.

解：f(x)=x+―^=x-2+―^~r+2>4

x-2x_2

當x-2=1時，即x=3時等號成立.

：x=a處取最小值，

a=3

故選C

點評：本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用.考查了分析問題和解決問題的能力.

25.D

【解析】

【分析】

由基本不等式求解.

【詳解】

1=2,+2y>23x2,=，當且僅當2,=2y即x=y=T時等號成立、

所以2中4工=2-2,故2.

4

易知x，y中有一個可以取負無窮大，

所以x+y的范圍是

故選：D.

26.7

【解析】

【分析】

對〃為奇偶數(shù)分類討論，分別得出奇數(shù)項、偶數(shù)項的遞推關(guān)系，由奇數(shù)項遞推公式將奇數(shù)

項用為表示，由偶數(shù)項遞推公式得出偶數(shù)項的和，建立為方程，求解即可得出結(jié)論.

【詳解】

an+2+(-!)"??=3n-l,

當〃為奇數(shù)時，an+2=an+3n-l；當”為偶數(shù)時，an+2+a?=3n-l.

設(shè)數(shù)列｛q｝的前"項和為S”，

S|6=4+“2+“3+“4+…+”16

=4+。3+。5------。15+(02+。4)+?,?(。心+。16)

=4+(4+2)+(%+10)4-(%+24)+(%+44)+(6+70)

+(4+102)+(%+140)+(5+17+29+41)

=8q+392+92=+484=540,

??q=7.

故答案為：7.

【點睛】

本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，以及數(shù)列的并項求和，考查分類討論思想和數(shù)學計算能

力，屬于較難題.

27.?！?(-2尸;

【解析】

【詳解】

2121

試題分析：解：當n=l時，ai=Si=-ai+-,解得ai=l,當n?2時，an=Sn?Sn-i=()?

3333

整理可得[an=—[anT,即上匚=-2,故數(shù)列｛a,J是以1為首項,

-2為公比的等比數(shù)列，故an=lx(-2)向=(-2)n-i故答案為(一2)E

考點:等比數(shù)列的通項公式.

28.△——^+1

2

【解析】

【詳解】

:4=2,。向=??+n+\：,a?=+("-1)+1,a,-=4-2+(〃-2)+1,

l“_2=4-3+("-3)+1,…，。3=。2+2+1,。2=4+1+1'/=2=1+1

將以上各式相加得：4=[(〃—1)+(〃-2)+(〃-3)+…+2+1]+〃+1

(〃一i)「5-1)+1](〃一i)〃〃(〃+i)^工十幾("十i),

=-————--^+“+1=^——^-+”+1=-^——Ui4故4r應(yīng)填一^——^+1；

2222

【考點】：此題重點考察由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項公式；

【突破】：重視遞推公式的特征與解法的選擇；抓住。,用=%+"+1中”向，a“系數(shù)相同是找

到方法的突破口；此題可用累和法，迭代法等；

29.25

【解析】

【分析】

因為｛%｝是等差數(shù)列，根據(jù)已知條件4+&=2求出公差，根據(jù)等差數(shù)列前〃項和，即可

求得答案.

【詳解】

,.,｛叫是等差數(shù)列，且4=-2,4+4=2

設(shè)｛。,,｝等差數(shù)列的公差d

根據(jù)等差數(shù)列通項公式：q=4+(〃-1”

可得4+d+%+5d=2

即：-2+d+(-2)+5d=2

整理可得：6d=6

解得：d=\

?.?根據(jù)等差數(shù)列前”項和公式：S,=〃q+Wd,nwN*

1()X(1)

可得：5,0=10(-2)+^°~=-20+45=25

Si。=25.

故答案為：25.

【點睛】

本題主要考查了求等差數(shù)列的前〃項和，解題關(guān)鍵是掌握等差數(shù)列的前〃項和公式，考查

了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

30.10

【解析】

【詳解】

試題分析：據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，項數(shù)之和相等的兩項之和相等，化簡已知的等式即可

求出as的值，然后把所求的式子也利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡后，將as的值代入即可求出

值.

解：由a3+iu+a5+a6+a7=（aj+a7）+（a4+a（>）+a5=5as=25,

得到35=5,

則a2+as=2a5=10.

故答案為10.

考點：等差數(shù)列的性質(zhì).

31.110

【解析】

【詳解】

由題意a3=16,故S5=5xa3=80,

由數(shù)列的性質(zhì)Sio-Ss=80+25d,Sis-Sio=8O+5Od,S20-Si5=80+75d,

故S2o=2O=32O+15Od,解之得d=-2

又Sio==80+80+25d=160-50=110

故答案為HO

點評：本題考點是等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)，以及數(shù)列的中項的運

用，本題技巧性較強，屬于等差數(shù)列的性質(zhì)運用題，解答本題，要注意從題設(shè)條件中分析

出應(yīng)該用那個性質(zhì)來進行轉(zhuǎn)化.

32.10

【解析】

【詳解】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得：am_l+a^=2au,又。“t則24.=”），

解得a.=0（舍去）或”.=2.

則=《站一”；/域=（2m-D,，

=>4加一2=38,所以m=10.

33.50.

【解析】

【詳解】

5s

由a10<3n+%%=2?得=2e’,atoatl=e,

50

所以Inq+In%+...+Ina20=\n(ata2...a20)=足際知嚴=Ine=50.

【點睛】

等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快

捷又方便的工具，應(yīng)有意識地去應(yīng)用.但在應(yīng)用性質(zhì)時要注意性質(zhì)的前提條件，有時需要進

行適當變形.在解決等差、等比數(shù)列的運算問題時，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少

運算量”的方法.

34.-63

【解析】

【分析】

首先根據(jù)題中所給的S,,=2a,+1,類比著寫出S向=2《m+1,兩式相減，整理得到

。向=2?！埃瑥亩_定出數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，再令"=1,結(jié)合4,5的關(guān)系，求得

q=7,之后應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式求得限的值.

【詳解】

根據(jù)S“=2a”+1,可得S向=2。的+1,

兩式相減得??+1=2%-2azi,即%=2a?,

當”=1時，5,==2a,+1,解得q=-1,

所以數(shù)列｛〃“｝是以-1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，

所以56==(］；)=-63,故答案是-63.

點睛：該題考查的是有關(guān)數(shù)列的求和問題，在求解的過程中，需要先利用題中的條件，類

比著往后寫一個式子，之后兩式相減，得到相鄰兩項之間的關(guān)系，從而確定出該數(shù)列是等

比數(shù)列，之后令〃=1,求得數(shù)列的首項，最后應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式求解即可，只要明

確對既有項又有和的式子的變形方向即可得結(jié)果.

35.4

【解析】

【分析】

結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列前〃項和公式的特點，分別求得｛《,｝,｛〃｝的公差和公比，由此求

得4+4.

【詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,等比數(shù)列他｝的公比為夕，根據(jù)題意夕制.

等差數(shù)列｛〃“｝的前”項和公式為P,=叫+當辿"=g/+(q-07,

等比數(shù)列也｝的前〃項和公式為Q?=Mj")=一+2_,

\—ql—q\—q

2

依題意S〃=Pn+Qn,即n_〃+2〃_］=g〃2++^i_,

\-q\-q

通過對比系數(shù)可知，，故d+g=4.

4=1

^=-i

"q

故答案為：4

【點睛】

本小題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的前"項和公式，屬于中檔題.

36.(1)3=2也=5也=31；(2)300.

【解析】

【分析】

(1)方法一：由題意結(jié)合遞推關(guān)系式確定數(shù)列｛"｝的特征，然后求和其通項公式即可;

(2)方法二：分組求和，結(jié)合等差數(shù)列前〃項和公式即可求得數(shù)列的前20項和.

【詳解】

解：(1)［方法一］【最優(yōu)解】：

顯然2n為偶數(shù)，則a2n+l=a2n+2,a2n+2=a2n+l+1,

所以%,+2=%,+3,即％=2+3,且4=%=q+l=2,

所以｛〃｝是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列,

于是偽=2也=5,6“=3〃-1.

［方法二］:奇偶分類討論

由題意知4=1，/=2,%=4,所以4=%=2也=%=%+1=5.

由。向一。,=1(〃為奇數(shù))及4+=4=2("為偶數(shù))可知，

數(shù)列從第一項起，

若”為奇數(shù)，則其后一項減去該項的差為1,

若〃為偶數(shù)，則其后一項減去該項的差為2.

所以為+2-“"=3("?N"),則2=4+(〃7)x3=3w-l.

［方法三］:累加法

由題意知數(shù)列｛可｝滿足4=1，-=”,+|+野(〃eN').

~3r-h'

所以4=a2=4+1—=1+1=2,

3(一63(-1)2一

h2=4=%+5—~-=6f3+l=^2+—H--—F1=%+2+1=2+3=5,

則勿=a2n=(4〃_々2〃-1)+(〃2〃-1-。2〃-2)+…+(〃2_Q|)+4=l+2+l+2+???+2+l+4

=〃x1+2(/2-1)+1=3〃-1.

所以。=2也=5,數(shù)列低｝的通項公式或二3〃一1.

(2)［方法一］:奇偶分類討論

s2()=4+a2+。3+???+。20=(%+%+。5+???々19)+(%+%+4+…+。20)

=(4—1+歷一1+4—1+…+b、o-1)+&+A+&+…+瓦。

(+

=2X^--!^-0-10=300.

2

［方法二］:分組求和

由題意知數(shù)列｛4｝滿足4=1，”2“=+1，42,+1="2“+2,

所以“2"+|=a2?+2=?2?-1+3.

所以數(shù)列｛%｝的奇數(shù)項是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列；

同理，由%,+2=%川+1=，“+3知數(shù)列｛為｝的偶數(shù)項是以2為首項，3為公差的等差數(shù)

列.

從而數(shù)列卜，“｝的前20項和為：

S2。=(4+%%--------49)+(“2+%+4-----------々20)

=10xl+-^^x3+10x2+-^^x3=300.

22

【整體點評】

(1)方法一：由題意討論｛2｝的性質(zhì)為最一般的思路和最優(yōu)的解法；

方法二：利用遞推關(guān)系式分類討論奇偶兩種情況，然后利用遞推關(guān)系式確定數(shù)列的性質(zhì)；

方法三：寫出數(shù)列的通項公式，然后累加求數(shù)列也“｝的通項公式，是一種更加靈活的

思路.

(2)方法一：由通項公式分奇偶的情況求解前"項和是一種常規(guī)的方法；

方法二：分組求和是常見的數(shù)列求和的一種方法，結(jié)合等差數(shù)列前〃項和公式和分組的方

法進行求和是一種不錯的選擇.

2

37.(I)a?=2"-1；(2)S

"2

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)條件求出q即可；

(2)^=log22"-'=n-l,然后利用等差數(shù)列的求和公式求出答案即可.

【詳解】

(1)'?,二=?2=4,且q>0,r.q=2,

4==2"7

(2)2=幅21=〃-1

小(0+〃-1)〃n2-n

3“=-------=----

"22

3

38.(1)^,=-3(2)-3<2<1.

【解析】

【分析】

(1)由4s“M=3S”-9,結(jié)合S”與乙的關(guān)系,分〃=1,〃22討論，得到數(shù)列｛4｝為等比數(shù)

列，即可得出結(jié)論；

(2)由3〃+5-4)勺=0結(jié)合⑴的結(jié)論，利用錯位相減法求出7.，北4"”對任意

恒成立，分類討論分離參數(shù)4,轉(zhuǎn)化為2與關(guān)于”的函數(shù)的范圍關(guān)系，即可求解.

【詳解】

(1)當〃=1時，4(《+心)=34-9,

當時,由4s“+1=35“-9①,

得4S,=35,i-9②，①-②得=3??

“2=~~7豐。,二”,產(chǎn)。'二=7，

16an4

又生=],.?.{q}是首項為-g,公比為[的等比數(shù)列，

a,444

?y

-43

（2）由池,+（〃一4）%=0,得々=一n寸/=（〃-4）（"）",

所以7>-3X>2X（￡|-lx圖+0x圖+.

%7x（升2x（（）-ix圖+…+（”-5）眇(1咽

兩式相減得％=-3，（+圖+（￡|+圖+?圖-(“一啕

916⑷，"3丫”

=~4+1_3-（"4）5

4

=-滑-4圖-（〃-4）.圖f圖，

所以7；=-4小弓）向，

由7；4地得-4n.（（嚴4-4）.弓）"恒成立，

即“〃-4)+3〃20恒成立,

〃=4時不等式恒成立；

〃<4時，2<--=-3--—,得;1<1；

n—4〃一4

〃>4時，2>--=-3--,得義之一3；

n-4n-4

所以一34丸工1.

【點睛】

易錯點點睛：(1)已知S“求勺不要忽略〃=1情況；(2)恒成立分離參數(shù)時，要注意變量的

正負零討論，如(2)中〃"-4)+3/20恒成立，要對〃—4=0,〃-4>0,〃-4<0討論，還

要注意"-4<0時，分離參數(shù)不等式耍變號.

39.(1)。,,=3"\(2)m=6.

【解析】

【分析】

(1)設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為,，根據(jù)題意，列出方程組，求得首項和公比，進而求得通

項公式；

(2)由(1)求出｛log?/｝的通項公式，利用等差數(shù)列求和公式求得S“，根據(jù)已知列出關(guān)

于m的等量關(guān)系式，求得結(jié)果.

【詳解】

(1)設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為

根據(jù)題意，有卜*=:，解得卜=；，

[a]q-4=X[4=3

所以q=3”，

(2)令々=log3%=10g33"T="-1,

f-e,u?！?0+〃-1)n(n-l)

所以5,=---=---，

XH4Sccc-j-ze+(m+2)(m+3)

根據(jù)s,“+s?1+l=s”+3，可得—--