初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

初

中

函

數(shù)

知

識(shí)

點(diǎn)

總

結(jié)知點(diǎn)、面角標(biāo)1面直角坐標(biāo)系在平面內(nèi)畫兩條互相垂直且有公原點(diǎn)的數(shù)軸，就組成了平面直角坐標(biāo)系。其中，水平的數(shù)軸叫做x或軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；兩軸的交點(diǎn)（公的點(diǎn)叫直坐系點(diǎn)；建立了直角坐標(biāo)系的平面，叫做坐標(biāo)平面。為了便于描述坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的位，把坐標(biāo)平面被x軸和y割而成的四個(gè)部分，分別叫做第一象限、第二象限、三象限、第四象限。注意：x和y軸點(diǎn)，不屬任何象限。2的坐標(biāo)的概念點(diǎn)的坐標(biāo)用ab示，其順是橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后，中間有“縱坐標(biāo)的位置不能顛倒。平面內(nèi)的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對(duì)，當(dāng)是兩個(gè)不同點(diǎn)的坐標(biāo)。知點(diǎn)、同置點(diǎn)坐的征1各內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征y點(diǎn)P(x,y)第一象限x0,0點(diǎn)P(x,y)第二象限x0,點(diǎn)P(x,y)第三象限y0點(diǎn)P(x,y)第四象限2標(biāo)軸上的點(diǎn)的特征

b

時(shí)b（ba點(diǎn)P(x,y)x軸點(diǎn)P(x,y)y軸

y0

，x任意實(shí)數(shù)，y為意實(shí)數(shù)點(diǎn)P(x,y)在x上，又在y上xy同時(shí)零即P坐標(biāo)003條坐標(biāo)軸夾角平分線上點(diǎn)坐標(biāo)的特征點(diǎn)P(x,y)第一、三象限夾角平線x與y相點(diǎn)P(x,y)第二、四象限夾角平線x與y互反數(shù)4坐標(biāo)軸平行的直線上點(diǎn)的標(biāo)的特征位于平行于x的直線上的各點(diǎn)縱坐標(biāo)相同。位于平行于y軸的上的各點(diǎn)橫坐標(biāo)相同、關(guān)于x軸y軸遠(yuǎn)點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征點(diǎn)P與點(diǎn)p于x軸橫相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)點(diǎn)P與點(diǎn)p’于y軸對(duì)縱相，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)點(diǎn)P與點(diǎn)p’于對(duì)稱6到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離

橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)點(diǎn)P(x,y)坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離點(diǎn)P(x,y)x軸距于點(diǎn)P(x,y)y軸離等于

（3P(x,y)點(diǎn)的距離等知點(diǎn)、數(shù)其關(guān)念1量與常量

x在某一變化過程中，可以取不同值的量叫做變量，數(shù)值保持不變的量叫做常量。一般地，在某一變化過程中有兩變量x與，如果對(duì)于一個(gè)值y都有確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說x是量yx數(shù)。2數(shù)解析式用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。使函數(shù)有意義的自變量的取值的體，叫做自變量的取值范圍。3數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺（1析法兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系，有時(shí)可用一個(gè)含有這兩個(gè)變量及數(shù)字運(yùn)算符號(hào)的等式表示，這種表示法叫做解析法。（2表法把自變量x一系列值和函數(shù)y對(duì)應(yīng)值列成一個(gè)表來表示函數(shù)關(guān)系，這種表示法叫做列表法。（3像法用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做像法。4函數(shù)解析式畫其圖像的一步驟列表：列表給出自變量與函數(shù)的些對(duì)應(yīng)值描點(diǎn)：以表中每對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)連線：按照自變量由小到大的順，把所描各點(diǎn)用平滑的曲線連接起來。知點(diǎn)、比函和次數(shù)1比例函數(shù)和一次函數(shù)的概一般地，如果

ykx

（kb是數(shù)ky叫x的函數(shù)。特別地，當(dāng)一次函數(shù)

y

中的b為0時(shí)

ykx

（k為常k

0y叫做x的比例函數(shù)。2次函數(shù)的圖像所有一次數(shù)的圖像都是一條直線3次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像主要特征：一次函數(shù)

y

的圖像是經(jīng)過點(diǎn)0b的正比例函數(shù)

ykx

的圖像是經(jīng)過原點(diǎn)00的。k符號(hào)k>0k<0

b的號(hào)b>0b<0b>0

函數(shù)圖像y0xy0xy0x

圖像特征圖像經(jīng)過一、二、三象限，yx的增大而增大。圖像經(jīng)過一、三、四象限，yx的增大而增大。圖像經(jīng)過一、二、四象限，yx的增大而減小yk<0

b<0

0x

圖像經(jīng)過二、三、四象限，yx的增大而減小。注：當(dāng)b=0時(shí)一次函數(shù)變?yōu)檎瘮?shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例。4比例函數(shù)的性質(zhì)一般地，正比例函數(shù)

ykx

有下列性質(zhì)：（1k>0時(shí)，圖像經(jīng)過第一三象限yx增大而增大，圖像從左之右上升；（2k<0時(shí)，圖像經(jīng)過第二四象限yx增大而減小，圖像從左之右下降。5次函數(shù)的性質(zhì)一般地，一次函數(shù)

ykx

有下列性質(zhì)：當(dāng)k>0時(shí)y隨x的而增大當(dāng)k<0時(shí)y隨x的而減小當(dāng)b>0時(shí)，直線與y軸交點(diǎn)在y軸軸上（4b<0時(shí)，直線與y軸交在y軸半上6比例函數(shù)和一次函數(shù)解析的確定確定一個(gè)正比例函數(shù)，就是要確正比例函數(shù)定義式

ykx

（k

0的常數(shù)k定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次數(shù)定義式

ykx

（k

0的常數(shù)k和b這類問題的一般方法待系法知點(diǎn)、比函1比例函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y

kx

（k是k

0叫比例函數(shù)。反比例函的解析式也可以寫成y

或的量x的取范圍是x

0一切實(shí)數(shù)數(shù)的取值范圍是一切非零實(shí)數(shù)。2比例函數(shù)的圖像反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)。由于反比例函數(shù)中自變x函y所它的圖像與x軸y都沒有交點(diǎn)即雙曲線的兩個(gè)分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸。3反函數(shù)的性質(zhì)反比例函數(shù)

(0)k符號(hào)

k>0

k<0y

y圖像

Ox

Ox①x取值范圍是x

0①取值范是x

0性質(zhì)

y取值范圍是yy值范圍是y②當(dāng)k>0像的兩個(gè)分分別②k<0時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第一、三象限。在每個(gè)象限內(nèi)y第二、四象限。在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的大而減小。x的大增。4比例函數(shù)解析式的確定確定解析式的方法仍是待定系數(shù)。由于在反比例函數(shù)

中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要一對(duì)對(duì)應(yīng)值或圖像上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值從而確定其解析式。5比例函數(shù)中反比例系數(shù)的何意義若過反比例函數(shù)y

(

圖像上任一點(diǎn)P作x軸y軸垂PM，PN則得的矩形PMON的積S=PM

PN=

。

kyx

xy

k,

k

。知點(diǎn)、次數(shù)概和像1次函數(shù)的概念一般地，如果y2(a,b是數(shù)叫做x的二數(shù)。

0)

，特注a不為零，么yyax

2

bx(a,b,是常a

叫做二次函數(shù)的一般式。2次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于x

對(duì)稱的曲線，這條曲線叫拋物線拋物線的主要特征（也叫拋物線三要素①有開口方向；②有對(duì)稱軸；③頂點(diǎn)。3次函數(shù)圖像的畫法五點(diǎn)法：（1根據(jù)函數(shù)解析式，求出點(diǎn)坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M并線畫出對(duì)稱軸（2拋物線

y2

與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：當(dāng)拋物線與x有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)出這兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與y軸的C再到點(diǎn)C對(duì)稱點(diǎn)D這五個(gè)點(diǎn)按左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖像。當(dāng)拋物線與x只有一個(gè)交點(diǎn)或交點(diǎn)時(shí)拋物線與y軸交點(diǎn)C及點(diǎn)D由CMD三粗略地畫出二次數(shù)的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)AB后順次連接五，畫出二次函數(shù)的圖像。知點(diǎn)、次數(shù)基形1.次函數(shù)基本形式：2的：的

開口方向

頂點(diǎn)坐標(biāo)

對(duì)稱軸

性質(zhì)時(shí)隨的而增大時(shí)y

向上

y軸的而減??；時(shí)最小值0．時(shí)隨的而減小時(shí)y

向下

y軸的而增大；時(shí)最大值0．a(chǎn)絕對(duì)值越大，拋物線的開口小。2.

性質(zhì)：二次函數(shù)的可由的上下平移得（平移律上下減符號(hào)

開口方向

頂點(diǎn)坐標(biāo)

對(duì)稱軸

性質(zhì)，y隨的而增大，y

向上

y軸的而減小；時(shí)y有值c．，y隨的而減小，y

向下

y軸的而增大；時(shí)y有值c．3.二次函數(shù)

y的可由ax

的圖像左右平移得（移律左加右符號(hào)

開口方向

頂點(diǎn)坐標(biāo)

對(duì)稱軸

性質(zhì)時(shí)，y隨x增大而增大

向上

X=h隨的大而減小x時(shí)有值0．時(shí)，y隨x增大而減小

向下

X=h隨的大而增大時(shí)y有大值4.：符號(hào)

開口方向向上

頂點(diǎn)坐標(biāo)

對(duì)稱軸X=h

性質(zhì)時(shí)y隨x的而增大時(shí)最值最值隨的大小x時(shí)有小值．時(shí)y隨x的而減小時(shí)

向下

X=h隨的大大時(shí)有大值k．知點(diǎn)、次數(shù)析的示法1.一：y

bx（a，b，c為，a頂點(diǎn)式：(x)（ah，k常數(shù)，兩點(diǎn)式：y()(x（，，x拋物線與軸點(diǎn)的橫坐標(biāo).注意何函數(shù)的解析式都以化成一般式或頂點(diǎn)式非所有的二次函數(shù)都可以寫成兩點(diǎn)式，只有拋物線x軸，即ac時(shí)拋線解式可用點(diǎn)式表示．二次函數(shù)解析式的這種形式可以互.的絕值大拋線的口小知點(diǎn)、次數(shù)析的定根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析用待定系數(shù)法待數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡(jiǎn)便說如下幾種情況：已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般用一般式；已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大?。┲担话氵x用頂點(diǎn)式；已知拋物線與的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)一般選用兩點(diǎn)式；已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)常選用頂點(diǎn)式．知點(diǎn)、次數(shù)最如果自變量的取值范圍是全體實(shí)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值b4x，。2a4如果自變量的取值范圍是x1

2

，那么，首先要看

b2

是否在自變量取值范圍x

內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則x=

a

時(shí)，

acy；不在此范圍內(nèi)，則最值需要考慮函數(shù)在xx1

2

范圍內(nèi)的增減性果此范圍隨大而增大當(dāng)x

時(shí)，

y

大

ax

22

，x21

時(shí)，

y

小

2如果在此范圍內(nèi)，12y隨x增大小則當(dāng)yaxbx小22

x時(shí)y

大

ax當(dāng)x1

時(shí)，知點(diǎn)一二函的質(zhì)1次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)函數(shù)

yax

bxa,b,c是數(shù)a0)a>0

a<0yy圖像0x（1物線開口向上，并向上限延伸；

0x（1拋物線開口向下，并向下限延伸；（2稱軸是x=

b2

，

（2對(duì)稱軸是x=

b2

，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

ac，a4a

頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

ac，a4a（3對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<

b2

時(shí)，

（3在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<

b2

時(shí)，y隨性質(zhì)

yx的而減小；在對(duì)稱軸右側(cè)，

x增大而增大；在對(duì)稱軸的右，即當(dāng)x>

b2

時(shí)，y隨x的增大而增大，

即當(dāng)x>

b2

時(shí)，y隨x增大而簡(jiǎn)記左減右增；（4物線有最低點(diǎn)，當(dāng)x=

減小，簡(jiǎn)記左增右減；bb時(shí)，y最?。⊕佄锞€有高點(diǎn)，當(dāng)x=22

時(shí)，值，y

最小值

ac

2

y有值，

y

最大值

ac

22次函數(shù)與一元二次方程的系（二次函數(shù)x軸情況一元二次方程ax是次數(shù)2bx當(dāng)數(shù)值時(shí)特殊情.圖與x軸的點(diǎn)數(shù)①當(dāng)時(shí)，圖象與交于兩點(diǎn)x，中是元程ax

bx

的．兩間距離x

2221222212推導(dǎo)過程：若拋物線

y2bx

與

軸兩交點(diǎn)為A11

是方程

2

bx0

的兩個(gè)根，故x2

b,xaax1

1

2

1

2

4cbxa當(dāng)時(shí)象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)，圖象與軸有.當(dāng)a圖象落在x軸方，無論為任何實(shí)數(shù)都有y；

當(dāng)a時(shí)，圖象落在x軸下方，無論x為實(shí)數(shù)，都有．記規(guī)：元方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的坐標(biāo)。因此一元二次方程中的

bac

，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸有交點(diǎn)。當(dāng)當(dāng)

>0時(shí)，與x軸有交點(diǎn)當(dāng)<0時(shí)，與x軸沒點(diǎn)。

=0時(shí)像與x有一個(gè)交點(diǎn)知點(diǎn)二中二函壓題考式必必，理記）、兩間離式當(dāng)沒有思路的題時(shí)，可用此方法拓展思路，尋求解題方法）y如圖：點(diǎn)A坐（xy點(diǎn)B坐標(biāo)xy）則AB間離，即線段AB的度

x

yy

A、二函圖的移①將拋物解式化頂式

0By確定頂坐②保持拋線

ax

的狀變將頂平到

處具平方如：y=ax向右(>0)或左(h<0)】平移k|個(gè)單位()

2

向上(>0【或向下(k<0)平移個(gè)單位向右(h>0)【或左(h<0)平移個(gè)單位向上(>0)【或下(k<0)平移|k個(gè)單位向上(k或下(<0)】平移|個(gè)單位

y=axk向右(h>0)【或左(平移個(gè)單位(x-h)2+k③移律在有數(shù)基上值右，左移k值正移負(fù)移．概括八字左右，加減數(shù)平移像大致位置規(guī)律（中考試題中，只占3分，掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)提高答題速有很大幫助，可以大大節(jié)省做題的時(shí)間）、線：

tan

y2114

、設(shè)兩條直線分別為lkb11

l：

若

l

//l

，則有l(wèi)//l21

且

b

。

若

ll1知點(diǎn)三二函的象各系之的系拋線

yax

2

中ac,

的用（1

a

決定開口方向及開口大小，這與y

2

中的完.

>0，拋物線開口向上；

<0時(shí)，線開口向下；

的絕對(duì)值越大，開口越?。?

和

a

共同決定拋物線對(duì)稱軸的位.拋物線

y2bx的稱直線

b2

，故①b0時(shí)，對(duì)稱軸為y軸②

ba

0（

a

、

b

同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在

軸左側(cè)③

ba

0

（即

a

、

b

異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在

軸右.口左異（3c的決定拋物線

yaxbx與軸點(diǎn)的位置當(dāng)

x

時(shí)，

y

，∴物

y2