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文檔簡介

正弦定理和余弦定理的應(yīng)用學問點:1、正弦定理:a

b c 2R.sin sin sinC2a2Rsinb2Rsinc2RsinC;②sin a ,

b ,sinC c ;③a:b:csin:sin:sinC;2R④ abc

sin2Ra

2R b c .sinsinsinC sin sin sinC3S

1bcsin1absinC1acsin.2 2 24222bco222aco222aco.5、余弦定理的推論:cosb2c2a2cosa2c2b2

,cosCa2

c2.2bc 2ac 2ab6a、b、c是C的角、、Ca2b2

c2C90;②假設(shè)a2b2

c2,則C90;③假設(shè)a2b2

c2,則C90.典型例題:1、如圖,設(shè)A,B兩點在河的兩岸,一測量者在A點的同側(cè),在A所在的河岸邊選定一CAC50mACB450CAB1050A、B間的距離為多少?

解: ABC1800ABA

1050

300

,由正弦定理得AB AC

,AB

50sin450

50 2.〔略〕sinACB sinABC

sin300C2、如圖,A、B兩點間有小山和小河,為了求A、B兩點間的距離,選擇一點D,使AD可以直接測量,且B、D兩點可以通視,再在AD上選一點C,使B、C兩點也可通視,測量以下數(shù)據(jù):AC=12,CD=15,9001200AB.B BCD中,DBC300BC

15sin300

30,在ABC中,由余弦定理得A2123213co1201404D C

AB6 39.3、炮兵陣地位于地面A處,兩觀看所分別位于地面點C和D處,CD6000m,ACD450,ADC750目標消滅于地面點B處,測得BCD300BDC150,求炮兵陣地到目標的距離AB.A解:在ACDCAD1800A

ACDADC600,AD

CDsin450sin600

2CD,中3C D 在BCD中,CBD1800 BCDBDC1350,BBD

CDsin300sin1350

CD.22242在ABDADBADCBDC900,42AD2AD2BD2

21CD CD10004.,答〔略3 2 64、地平面上有一旗桿OP,為了測得它的高度h,在地面上選一基線AB,AB=20m,在A處測得P點的仰角OAP300,在B處測得P點的仰角OBP450又測得AOB600求旗桿的高度h.AOP 解:在tAPAO

OAP 300,OP h,OA

OP 在BP

OBP450,OB

OPtan450

h,

在AOB 中,AB=20,AOB600AB2OA2OB22OPOBcos600,B即202(3h)2h223h1,h2

32 435、在一建筑物底部B處和頂部A處分別測得山頂C的仰角為600和450,〔AB連線垂直于水平線,建筑物AB的高為20,求山的高度DC.C解在AB中,得BCC

AB , BC 20sinBAC sinACB ,sin1350 sin(600450)BC

20sin1350

10

31m,sin(600450) 6 2D 4在RBCD中,CDBCsin60010(3 3). 答〔略〕6、在某點B處測得建筑物AE的仰角為,沿BE30m至C處,測得A的仰3角為2,再連續(xù)前進10 m至D點,測得A的仰角為4,求和建筑物AE高.3BAB3解:在ACD中,AC=BC=30m,AD=DC=10 m,3ADC18004,10 3 30 .D E

32sin2cos2,cos23RtADEAEADsin600

,2300,150.215. 〔略〕7、某漁船在航行中不幸遇險,發(fā)出求救信號,我海軍艦艇在A處得悉后,馬上測出該漁船在方位角為450A10海里的C1050的方向,9海里/B靠攏,21海里/小時的速度前去營救,試問艦艇應(yīng)依據(jù)怎樣的航向前進?并求出靠近漁船所用的時間(cos21047/

CAxh,AB=21x海CB 里,BC=9x海里,AC=10海里,易知ACB1200,AB2AC2BC22ACBCcos1200,A 即(21x2102(9x22109xcos1200即36x29x100,x2,AB21x14BC9x6,3再由余弦定理得cosBAC

AB2AC2BC2

14210262

0.9286.2ABAC 21410BAC21047/,4502047/66047/. 〔略〕8、在海岸A處覺察北偏東450方向,距A處31B處有一艘走私船,在A3處北偏西750A2C處我方緝私船奉命以103

海里/小時的速度追截走私船,此時走私船正以10海里/小時的速度從B處向北偏東300方向逃跑,問:緝私船沿怎樣的方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時間.DCDt小時,才能最快截獲3E3走私船,則CD=10

t海里,BD=10t海里,BC A B

AC2

2ABACcosA6,BC 6.2BC AC ACsinA 2sin1200262又 ,sinABC ,ABC450.sinA sinABC BC62所以B點在C點的正東方向上,CBD900

300

1200,BD CD又

,sinBCD

BDsinCBD

10tsin1200

1.10 3tsinBCD sinCBD CD 210 3tBCD300,DCE900300600,CBD1200,BCD300,D300,BDBC,10t 6,t

. 〔略〕6106正弦定理和余弦定理的應(yīng)用練習一、選擇題:61、海上有A、B兩個小島相距10海里,從A島望C島和B島成600的視角,從B島望C島和A島成750的視角,則B、C間的距離是〔 〕6A.10

3海里 3

10 海里 C.562362

海里 D.5 海里2A、B、C三個小島,A、B8海里,A、C5A島測得B島和C島的視角為600,則B島與C島相距的海里數(shù)是〔 〕129A. 5 B. 6 C. 7 D.1293、一船向正北航行,觀察正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上,連續(xù)航行半小時后,觀察一燈塔在船的南偏西600,另一燈塔在船的南偏西750,則這只船的速度是〔 〕5海里/小時B.5

3海里/小時 C.10海里/小時 D.103

3海里/小時34、在地面A處測得樹梢的仰角為600,A與樹底部B相距5m,則樹高為〔 〕35 33A.5 m B. 5m C. 1035 335兩燈塔A和B與海洋觀看站C的距離相等燈塔A在觀看站C的北偏東400,燈塔B在觀看站C的南偏東600,則燈塔A在燈塔B的〔 〕北偏東100

北偏西100

南偏東100

南偏西100二、填空題:C3610C3

m,從乙樓底望樓頂?shù)难鼋菫?00,A 從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?50則甲樓的高度是ED B7100m2的山頂上,測量山下一塔頂與塔底的俯角分別為300、600,則此塔高為8、有一長為10m的斜坡,它的坡角為750,在不轉(zhuǎn)變坡高和坡頂?shù)那疤嵯?,通過加長坡面的方法將它的坡角改為300,則坡底要延長 .9A南偏西50012B處,覺察敵艦正由島沿北偏西100方向以10海里/小時的速度航行,2小時追上敵艦,則需要速度的大小為10A處測得遇險漁船在北偏東4505海里的C偏東750方向,以4.5海里/小時的速度向一小島靠近,艦艇時速10.5海里/小時,則艦艇到達漁船的最短時間是 小時.三、解答題:11、如圖,為了測河的寬度,在一岸邊選定A、B兩點,望對岸的標記物C,測得CAB450CBA750,AB120m試求河寬。CA D BABDC12、在地面C處觀看同一鉛垂面內(nèi)迎面飛來的一架飛機,當飛機在A處時,測得其仰角為3001minB750480km/hABDC13、海中小島A38海里內(nèi)有暗礁,船正向南航行,B處測得小島A在船的南偏東30030海里到C處,在C處測得小島A在船的南偏東450,假設(shè)此船不轉(zhuǎn)變航向,連續(xù)向南航行,有無觸礁危急?BABA14A北偏東300C處有一觀看站,港口正東方向B處有一輪船,BC31海里,該輪船從B20DCD21海里,問:此時輪船距離港口A還有多遠?CBCA D正弦定理和余弦定理的應(yīng)用練習答案一、選擇題:DCCAB二、填空題:6、30m 7、200 3

8、10 2m 9、14海里/h 10、23三、解答題:11、C 解:ACB1800450750600由正弦定理得ABsin750

3)A2612、26

B ACD解:

sin600

203 1A B D CAB 300,ACB 450,AB 48060由正弦定理有BC ABsinCAB 4 2.sinACB3C3

8km.13、

在BCDCDBCsin7502

2(km). 〔略〕BA6解:在ABCBC30B300,ACB1350,

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