正弦定理和余弦定理的應(yīng)用

正弦定理和余弦定理的應(yīng)用學(xué)問(wèn)點(diǎn)：1、正弦定理：a

b c 2R．sin sin sinC2a2Rsinb2Rsinc2RsinC；②sin a ，

b ，sinC c ；③a:b:csin:sin:sinC；2R④ abc

sin2Ra

2R b c ．sinsinsinC sin sin sinC3S

1bcsin1absinC1acsin．2 2 24222bco222aco222aco．5、余弦定理的推論：cosb2c2a2cosa2c2b2

，cosCa2

c2．2bc 2ac 2ab6a、b、c是C的角、、Ca2b2

c2C90；②假設(shè)a2b2

c2，則C90；③假設(shè)a2b2

c2，則C90．典型例題：1、如圖，設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A點(diǎn)的同側(cè)，在A所在的河岸邊選定一CAC50mACB450CAB1050A、B間的距離為多少？

解： ABC1800ABA

1050

300

，由正弦定理得AB AC

,AB

50sin450

50 2.〔略〕sinACB sinABC

sin300C2、如圖，A、B兩點(diǎn)間有小山和小河，為了求A、B兩點(diǎn)間的距離，選擇一點(diǎn)D，使AD可以直接測(cè)量，且B、D兩點(diǎn)可以通視，再在AD上選一點(diǎn)C，使B、C兩點(diǎn)也可通視，測(cè)量以下數(shù)據(jù)：AC=12，CD=15，9001200AB．B BCD中，DBC300BC

15sin300

30,在ABC中，由余弦定理得A2123213co1201404D C

AB6 39.3、炮兵陣地位于地面A處，兩觀看所分別位于地面點(diǎn)C和D處，CD6000m,ACD450,ADC750目標(biāo)消滅于地面點(diǎn)B處，測(cè)得BCD300BDC150,求炮兵陣地到目標(biāo)的距離AB．A解：在ACDCAD1800A

ACDADC600,AD

CDsin450sin600

2CD,中3C D 在BCD中，CBD1800 BCDBDC1350,BBD

CDsin300sin1350

CD.22242在ABDADBADCBDC900,42AD2AD2BD2

21CD CD10004.,答〔略3 2 64、地平面上有一旗桿OP，為了測(cè)得它的高度h，在地面上選一基線AB，AB=20m，在A處測(cè)得P點(diǎn)的仰角OAP300，在B處測(cè)得P點(diǎn)的仰角OBP450又測(cè)得AOB600求旗桿的高度h.AOP 解：在tAPAO

OAP 300,OP h,OA

OP 在BP

OBP450,OB

OPtan450

h,

在AOB 中，AB=20，AOB600AB2OA2OB22OPOBcos600,B即202(3h)2h223h1,h2

32 435、在一建筑物底部B處和頂部A處分別測(cè)得山頂C的仰角為600和450,〔AB連線垂直于水平線，建筑物AB的高為20，求山的高度DC.C解在AB中,得BCC

AB , BC 20sinBAC sinACB ,sin1350 sin(600450)BC

20sin1350

10

31m，sin(600450) 6 2D 4在RBCD中，CDBCsin60010(3 3). 答〔略〕6、在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的仰角為，沿BE30m至C處，測(cè)得A的仰3角為2，再連續(xù)前進(jìn)10 m至D點(diǎn)，測(cè)得A的仰角為4，求和建筑物AE高.3BAB3解：在ACD中，AC=BC=30m，AD=DC=10 m，3ADC18004,10 3 30 .D E

32sin2cos2,cos23RtADEAEADsin600

,2300,150.215. 〔略〕7、某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn),發(fā)出求救信號(hào),我海軍艦艇在A處得悉后,馬上測(cè)出該漁船在方位角為450A10海里的C1050的方向,9海里/B靠攏,21海里/小時(shí)的速度前去營(yíng)救，試問(wèn)艦艇應(yīng)依據(jù)怎樣的航向前進(jìn)？并求出靠近漁船所用的時(shí)間(cos21047/

CAxh,AB=21x海CB 里，BC=9x海里，AC=10海里，易知ACB1200,AB2AC2BC22ACBCcos1200,A 即(21x2102(9x22109xcos1200即36x29x100,x2,AB21x14BC9x6,3再由余弦定理得cosBAC

AB2AC2BC2

14210262

0.9286.2ABAC 21410BAC21047/,4502047/66047/. 〔略〕8、在海岸A處覺(jué)察北偏東450方向，距A處31B處有一艘走私船，在A3處北偏西750A2C處我方緝私船奉命以103

海里/小時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以10海里/小時(shí)的速度從B處向北偏東300方向逃跑，問(wèn)：緝私船沿怎樣的方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時(shí)間.DCDt小時(shí)，才能最快截獲3E3走私船，則CD=10

t海里，BD=10t海里，BC A B

AC2

2ABACcosA6,BC 6.2BC AC ACsinA 2sin1200262又 ,sinABC ,ABC450.sinA sinABC BC62所以B點(diǎn)在C點(diǎn)的正東方向上，CBD900

300

1200,BD CD又

,sinBCD

BDsinCBD

10tsin1200

1.10 3tsinBCD sinCBD CD 210 3tBCD300,DCE900300600,CBD1200,BCD300,D300,BDBC,10t 6,t

. 〔略〕6106正弦定理和余弦定理的應(yīng)用練習(xí)一、選擇題：61、海上有A、B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成600的視角，從B島望C島和A島成750的視角，則B、C間的距離是〔 〕6A.10

3海里 3

10 海里 C.562362

海里 D.5 海里2A、B、C三個(gè)小島，A、B8海里，A、C5A島測(cè)得B島和C島的視角為600，則B島與C島相距的海里數(shù)是〔 〕129A. 5 B. 6 C. 7 D.1293、一船向正北航行，觀察正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，連續(xù)航行半小時(shí)后，觀察一燈塔在船的南偏西600，另一燈塔在船的南偏西750，則這只船的速度是〔 〕5海里/小時(shí)B.5

3海里/小時(shí) C.10海里/小時(shí) D.103

3海里/小時(shí)34、在地面A處測(cè)得樹(shù)梢的仰角為600，A與樹(shù)底部B相距5m，則樹(shù)高為〔 〕35 33A.5 m B. 5m C. 1035 335兩燈塔A和B與海洋觀看站C的距離相等燈塔A在觀看站C的北偏東400,燈塔B在觀看站C的南偏東600，則燈塔A在燈塔B的〔 〕北偏東100

北偏西100

南偏東100

南偏西100二、填空題：C3610C3

m，從乙樓底望樓頂?shù)难鼋菫?00，A 從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?50則甲樓的高度是ED B7100m2的山頂上,測(cè)量山下一塔頂與塔底的俯角分別為300、600,則此塔高為8、有一長(zhǎng)為10m的斜坡，它的坡角為750，在不轉(zhuǎn)變坡高和坡頂?shù)那疤嵯?，通過(guò)加長(zhǎng)坡面的方法將它的坡角改為300，則坡底要延長(zhǎng) .9A南偏西50012B處,覺(jué)察敵艦正由島沿北偏西100方向以10海里/小時(shí)的速度航行,2小時(shí)追上敵艦,則需要速度的大小為10A處測(cè)得遇險(xiǎn)漁船在北偏東4505海里的C偏東750方向，以4.5海里/小時(shí)的速度向一小島靠近，艦艇時(shí)速10.5海里/小時(shí)，則艦艇到達(dá)漁船的最短時(shí)間是 小時(shí).三、解答題：11、如圖，為了測(cè)河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點(diǎn)，望對(duì)岸的標(biāo)記物C，測(cè)得CAB450CBA750,AB120m試求河寬。CA D BABDC12、在地面C處觀看同一鉛垂面內(nèi)迎面飛來(lái)的一架飛機(jī)，當(dāng)飛機(jī)在A處時(shí)，測(cè)得其仰角為3001minB750480km/hABDC13、海中小島A38海里內(nèi)有暗礁,船正向南航行,B處測(cè)得小島A在船的南偏東30030海里到C處，在C處測(cè)得小島A在船的南偏東450，假設(shè)此船不轉(zhuǎn)變航向，連續(xù)向南航行，有無(wú)觸礁危急？BABA14A北偏東300C處有一觀看站，港口正東方向B處有一輪船，BC31海里，該輪船從B20DCD21海里，問(wèn)：此時(shí)輪船距離港口A還有多遠(yuǎn)？CBCA D正弦定理和余弦定理的應(yīng)用練習(xí)答案一、選擇題：DCCAB二、填空題：6、30m 7、200 3

8、10 2m 9、14海里/h 10、23三、解答題：11、C 解：ACB1800450750600由正弦定理得ABsin750

3)A2612、26

B ACD解：

sin600

203 1A B D CAB 300,ACB 450,AB 48060由正弦定理有BC ABsinCAB 4 2.sinACB3C3

8km.13、

在BCDCDBCsin7502

2(km). 〔略〕BA6解：在ABCBC30B300,ACB1350,