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指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)3.3冪函數(shù)目標(biāo):1)
理解冪函數(shù)的概念和性質(zhì)會畫出五種冪函數(shù)的圖象難點和重點:學(xué)會數(shù)形結(jié)合的思想概括出五種冪函數(shù)的性質(zhì)問題引入:函數(shù)的生活實例問題1:如果張紅購買了每千克1元的蘋果w千克,那么她需要付的錢數(shù)p=
元,
。問題2:如果正方形的邊長為a,那么正方形的面積是S=
,
。問題3:如果正方體的邊長為a,那么正方體的體積是V=
,
。問題4:如果正方形場地的面積為S,那么正方形的邊長a=
,
。問題5:如果某人ts內(nèi)騎車行進了1km,那么他騎車的平均速度v=
,
。
w這里p是w的函數(shù)a2這里S是a的函數(shù)a3這里V是a的函數(shù)S這里a是S的函數(shù)這里v是t的函數(shù)tkm/s
若將它們的自變量全部用x來表示,函數(shù)值用y來表示,則它們的函數(shù)關(guān)系式將是:y=x2y=x3y=xy=x以上問題中的函數(shù)有什么共同特征?(1)都是函數(shù);(2)均是以自變量為底的冪;(3)指數(shù)為常數(shù);(4)自變量前的系數(shù)為1。上述問題中涉及的函數(shù),都是形如y=xα的函數(shù)。
y=x
y=x2
y=x3
y=x1/2
y=x-1一、冪函數(shù)的定義一般地,函數(shù)y=xK叫做冪函數(shù),其中x是自變量,k是常數(shù)。(k∈Q)注意1、冪函數(shù)的解析式必須是y=xK的形式,其特征可歸納為“兩個系數(shù)為1,只有1項.2、定義域與k的值有關(guān)系.幾點說明:3、對于冪函數(shù),我們只討論=1,2,3,,-1時的情形。4、冪函數(shù)不象指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù),其定義域隨的不同而不同。一般地,函數(shù)y=xK叫做冪函數(shù),其中x是自變量,k是常數(shù)。(k∈Q)函數(shù)表達式名稱
參數(shù)a自變量x
因變量y指數(shù)函數(shù):y=ax
冪函數(shù):y=xa
底數(shù)指數(shù)指數(shù)底數(shù)冪值冪值判斷一個函數(shù)是冪函數(shù)還是指數(shù)函數(shù)切入點:看看未知數(shù)x是指數(shù)還是底數(shù)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的對比理解在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出下面這六個函數(shù)的圖象.結(jié)合圖象,研究性質(zhì):定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、過定點的情況等。
x…-3-2-10123……-3-2-10123……9410149……-27-8-101827……\\\01……-1/3-1/2-1\11/21/3…y=xx-3-2-10123y=x29410149x-3-2-10123y=x3-27-8-101827
x0124012x-3-2-1123-1/3-1/2-111/21/3在第一象限內(nèi),函數(shù)圖象的變化趨勢與指數(shù)有什么關(guān)系?在第一象限內(nèi),當(dāng)α>0時,圖象隨x增大而上升。當(dāng)α<0時,圖象隨x增大而下降不管指數(shù)是多少,圖象都經(jīng)過哪個定點?在第一象限內(nèi),當(dāng)α>0時,圖象隨x增大而上升。當(dāng)α<0時,圖象隨x增大而下降。圖象都經(jīng)過點(1,1)α>0時,圖象還都過點(0,0)點Xy110y=x2y=x3y=x1/2Xy110y=x-1y=x-2y=x-1/2α>0α<0(1)圖象都過(0,0)點和(1,1)點;(2)在第一象限內(nèi),函數(shù)值隨x的增大而增大,即在[0,+∞)上是增函數(shù)。(1)圖象都過(1,1)點;(2)在第一象限內(nèi),函數(shù)值隨
x的增大而減小,即在(0,+∞)上是減函數(shù)。
(3)在第一象限,圖象向上與
y軸無限接近,向右與x
軸無限接近。
y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定義域值域奇偶性單調(diào)性
公共點奇偶奇非奇非偶奇(1,1)RRR{x|x≠0}[0,+∞)RR{y|y≠0}[0,+∞)[0,+∞)在R上增在(-∞,0)上減,觀察冪函數(shù)圖象,將你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論寫在下表:在R上增在[0,+∞)上增,在(-∞,0]上減,在[0,+∞)上增,在(0,+∞)上減例1如果函數(shù)是冪函數(shù),且在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)是減函數(shù),求滿足條件的實數(shù)m的集合。解:依題意,得解方程,得m=2或m=-1所以m=2檢驗:當(dāng)m=2時,函數(shù)為符合題意.當(dāng)m=-1時,函數(shù)為不合題意,舍去.解:(1)y=x0.8在(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),∵5.2<5.3
∴5.20.8<5.30.8(2)y=x0.3在(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù)∵0.2<0.3∴0.20.3<0.30.3(3)y=x-2/5在(0,+∞)內(nèi)是減函數(shù)∵2.5<2.7∴2.5-2/5>2.7-2/5例2.利用單調(diào)性判斷下列各值的大小。(1)5.20.8與5.30.8(2)0.20.3與0.30.3
(3)探究與發(fā)現(xiàn)例4:討論函數(shù)的定義域、奇偶性,作出它的圖象,并根據(jù)圖象說明函數(shù)的單調(diào)性、及值域。定義域:(-∞,+∞)奇偶性:偶函數(shù)x012468y011.62.53.34x012468y011.62.53.34x012468y011.62.53.34x012468y011.62.53.34探究與發(fā)現(xiàn)例4:討論函數(shù)的定義域,作出它的圖象,并根據(jù)圖象說明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及值域。在上是增函數(shù)定義域:在上是減函數(shù)值域:奇偶性:偶函數(shù)單調(diào)性:練習(xí):如圖所示,曲線是冪函數(shù)y=xk
在第一象限內(nèi)的圖象,已知k分別取四個值,則相應(yīng)圖象依次為:________
一般地,冪函數(shù)的圖象在直線x=1的右側(cè),大指數(shù)在上,小指數(shù)在下,在Y軸與直線x=1之間正好相反。
C4C2C3C11y(A)(B)(I)(C)X(G)(H)(D)(J)(F)IGEBCAHJDF練習(xí)XXXXXXXXXOOOOOOOOOOyyyyyyyy(E)y小結(jié)1、冪函數(shù)的定義及圖象特征?2、冪函數(shù)的性質(zhì)形如y=xk(k∈Q)的函數(shù)叫做冪函數(shù).3、思想與方法
在第一象限內(nèi)k>0時圖象呈上升趨勢;k<0時圖象呈下降趨勢.過定點(1,1)k>10<k<1K<0xxoyyo小結(jié)1、冪函數(shù)的定義及圖象特征?2、冪函數(shù)的性質(zhì)3、思想與方法
k>0,在(0,+∞)上為增函數(shù);k<0,在(0,+∞)上為減函數(shù)
圖象過
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