2023年高考數(shù)學(xué)壓軸題-圓錐曲線專題第09講：斜率問題一（原卷版）

第九講：斜率問題（一）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】基礎(chǔ)目標(biāo)：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的簡單性質(zhì)；應(yīng)用目標(biāo)：掌握直線與橢圓，雙曲線，拋物線的位置關(guān)系的判斷，斜率的求解；拓展目標(biāo)：能夠熟練應(yīng)用點(diǎn)差法推導(dǎo)中點(diǎn)弦公式，并靈活應(yīng)用中點(diǎn)弦和相關(guān)第三定義.素養(yǎng)目標(biāo)：通過數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法，培養(yǎng)獨(dú)立思考和邏輯分析能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).【基礎(chǔ)知識(shí)】1、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系設(shè)直線，圓錐曲線，把二者方程聯(lián)立得到方程組，消去得到一個(gè)關(guān)于的方程.（1）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即直線與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn)；方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解，即直線與圓錐曲線有一個(gè)交點(diǎn)；方程無實(shí)數(shù)解，即直線與圓錐曲線無交點(diǎn).（2）當(dāng)時(shí)，方程為一次方程，若，方程有一個(gè)解，此時(shí)直線與圓錐曲線有一個(gè)交點(diǎn)；若，方程無解，此時(shí)直線與圓錐曲線沒有交點(diǎn).2、圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題（1）為橢圓的弦，，弦中點(diǎn)M(x0，y0)，則所在直線的斜率為，弦的斜率與弦中點(diǎn)M和橢圓中心O的連線的斜率之積為定值.（2）AB為雙曲線的弦，，弦中點(diǎn)M(x0，y0)，則AB所在直線的斜率為，弦AB的斜率與弦中點(diǎn)M和雙曲線中心O的連線的斜率之積為定值.（3）在拋物線中，以M(x0，y0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率.【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：位置關(guān)系（交點(diǎn)個(gè)數(shù)）例1．已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，過點(diǎn)的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn).(1)求拋物線的方程；(2)求直線的方程.變式訓(xùn)練1：已知O，F(xiàn)分別是拋物線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M與點(diǎn)O的距離是它與點(diǎn)F的距離的一半．(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡；(2)若過點(diǎn)的直線l與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求直線l的方程．

變式訓(xùn)練2：已知雙曲線C：的焦距為4，且過點(diǎn).(1)求雙曲線方程；(2)若直線與雙曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.變式訓(xùn)練3：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和等于，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程.（2）若直線與曲線有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

考點(diǎn)二：中點(diǎn)弦公式（橢圓：點(diǎn)差法）例1．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在上.（1）求的方程；（2）直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值.變式訓(xùn)練1：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與平面上點(diǎn)，的距離之和等于.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)若經(jīng)過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，求直線的方程.

變式訓(xùn)練2：已知橢圓E：的左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在E上，且．(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l與E交于A，B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)為，求直線l的方程．變式訓(xùn)練3：已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過且與軸垂直的直線交橢圓于點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)為．（1）求橢圓的離心率；（2）過點(diǎn)且斜率不為0的直線交橢圓于、點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為點(diǎn)，求證：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值．

考點(diǎn)三：中點(diǎn)弦公式（拋物線：點(diǎn)差法）例1．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，第四象限的一點(diǎn)在C上，且.(1)求C的方程和m的值；(2)若直線l交C于A,B兩點(diǎn)，且線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為，求直線l的方程及線段AB的長.變式訓(xùn)練1：已知是拋物線的焦點(diǎn)，直線交拋物線于、兩點(diǎn).(1)若直線過點(diǎn)且，求；(2)若平分線段，求直線的方程.

變式訓(xùn)練2：已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離為5.(1)求C的方程；(2)過點(diǎn)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且N為線段的中點(diǎn)，求直線l的方程.考點(diǎn)四：中點(diǎn)弦公式（雙曲線：點(diǎn)差法）例1．已知雙曲線的一條漸近線方程為，一個(gè)焦點(diǎn)到該漸近線的距離為1.(1)求的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，求的方程.

變式訓(xùn)練1：已知雙曲線C的漸近線方程為，且是雙曲線上一點(diǎn).(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；(2)過點(diǎn)的直線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A?B，且線段AB恰好被點(diǎn)M平分，求直線AB的方程.變式訓(xùn)練2：已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率，焦距為.（1）求該雙曲線方程.（2）是否定存在過點(diǎn)的直線與該雙曲線交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)若存在，請(qǐng)求出直線的方程，若不存在，說明理由.

變式訓(xùn)練3：已知雙曲線：：(，)與有相同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)?，且線段的中點(diǎn)在圓上，求實(shí)數(shù)的值.考點(diǎn)五：橢圓的第三定義（推導(dǎo)公式）例1．已知橢圓C：（）的離心率為，并且經(jīng)過點(diǎn)，(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓C上任意一點(diǎn)，直線的斜率分別為，，求證：為定值．

變式訓(xùn)練1：已知橢圓的離心率為，上頂點(diǎn)，M、N為橢圓上異于點(diǎn)P且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證為定值．變式訓(xùn)練2：已知橢圓：的離心率為，其右焦點(diǎn)到直線的距離為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，橢圓右頂點(diǎn)為，求證：直線，的斜率乘積為定值，并求出該定值．

變式訓(xùn)練3：已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：（，）的離心率為，點(diǎn)P在雙曲線C上，點(diǎn)，分別為雙曲線C的左右焦點(diǎn)，.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)，，設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，.證明：為定值.【當(dāng)堂小結(jié)】1、知識(shí)清單：（1）直線與橢圓，雙曲線，拋物線的位置關(guān)系；（2）圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題；2、易錯(cuò)點(diǎn)：點(diǎn)差法的計(jì)算；3、考查方法：數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；4、核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象.【過關(guān)檢測(cè)】1．已知曲線上任一點(diǎn)與點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等．(1)求曲線的方程；(2)求過定點(diǎn)，且與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的方程．2．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)E在橢圓C上，且，，.(1)求橢圓C的方程：(2)直線l過點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)A，B，且點(diǎn)P恰為線段AB的中點(diǎn)，求直線l的方程.

3．已知的周長為且點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)直線過點(diǎn)，交曲線于兩點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，求直線的方程.4．已知橢圓C的焦點(diǎn)為，，過的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn).若的周長為.（1）求橢圓C的方程；（2）橢圓中以為中點(diǎn)的弦所在直線方程.

5．雙曲線的離心率為2，經(jīng)過C的焦點(diǎn)垂直于x軸的直線被C所截得的弦長為12.(1)求C的方程；(2)設(shè)A，B是C上兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為，求直線AB的方程.6．已知雙曲線的漸近線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.(1)求C的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且M為線段AB的中點(diǎn)，求l的方程.

7．雙曲線，離心率，虛軸長為2．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，求直線的方程．8．已知橢圓的離心率為，上頂點(diǎn)，M、N為橢圓上異于點(diǎn)P且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證為定值．

9．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線的距離之比為.動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程，并說明曲線是什么圖形；(2)