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第十一講:斜率問題(三)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】基礎(chǔ)目標(biāo):掌握橢圓,雙曲線,拋物線的簡單性質(zhì),斜率的計算;應(yīng)用目標(biāo):掌握圓錐曲線中斜率的加減乘除運(yùn)算,并利用計算進(jìn)行證明;拓展目標(biāo):能夠熟練應(yīng)用圓錐曲線中的斜率關(guān)系,解決相關(guān)的位置關(guān)系和等量關(guān)系問題.素養(yǎng)目標(biāo):通過數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法,培養(yǎng)獨(dú)立思考和邏輯分析能力,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).【基礎(chǔ)知識】1、斜率之和:通過點(diǎn)的坐標(biāo),表示出斜率,并表示出,利用通分,轉(zhuǎn)化為兩根之和,兩根之積的問題,利用韋達(dá)定理求解。2、斜率相乘或相除:通過點(diǎn)的坐標(biāo),表示出斜率,并表示出或;利用通分,轉(zhuǎn)化為兩根之和,兩根之積的問題,利用韋達(dá)定理求解。3、斜率倍數(shù)關(guān)系:通過點(diǎn)的坐標(biāo),表示出斜率,并表示出,轉(zhuǎn)化為;利用通分,轉(zhuǎn)化為兩根之和,兩根之積的問題,利用韋達(dá)定理求解。4、斜率呈等差數(shù)列或等比數(shù)列:當(dāng)斜率呈等差數(shù)列時,則,當(dāng)斜率呈等比數(shù)列時,則,最后利用通分,轉(zhuǎn)化為兩根之和,兩根之積的問題,利用韋達(dá)定理求解。5、斜率求解范圍:通過點(diǎn)的坐標(biāo),表示出斜率,并表示斜率的關(guān)系;利用通分,轉(zhuǎn)化為兩根之和,兩根之積的問題,韋達(dá)定理帶入,最后利用基本不等式、二次函數(shù)或?qū)?shù)求解最值?!究键c(diǎn)剖析】考點(diǎn)一:斜率關(guān)系一(斜率加減運(yùn)算)例1.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),,點(diǎn)M滿足.記點(diǎn)M的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)設(shè)直線l不經(jīng)過點(diǎn)且與曲線C相交于A,B兩點(diǎn).若直線l過定點(diǎn),證明:直線PA與直線PB的斜率之和為定值.變式訓(xùn)練1:如圖,橢圓經(jīng)過點(diǎn),且長軸長是短軸長的倍.(1)求橢圓的方程;(2)經(jīng)過點(diǎn),且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、(均異于點(diǎn)),求證:直線與的斜率之和為定值.
變式訓(xùn)練2:已知雙曲線的一條漸近線斜率為,且雙曲線C經(jīng)過點(diǎn).(1)求雙曲線C的方程;(2)斜率為的直線l與雙曲線C交于異于M的不同兩點(diǎn)A、B,直線MA、MB的斜率分別為、,若,求直線l的方程.變式訓(xùn)練3:已知圓:,定點(diǎn),是圓上的一動點(diǎn),線段的垂直平分線交半徑于點(diǎn).(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;(2)設(shè)直線過點(diǎn)且與曲線相交于兩點(diǎn),不經(jīng)過點(diǎn).證明:直線的斜率與直線的斜率之和為定值.
考點(diǎn)二:斜率關(guān)系二(斜率乘除運(yùn)算)例1.已知橢圓的離心率為,左頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為1,橢圓上一點(diǎn)位于第一象限,點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱,直線與橢圓的另一交點(diǎn)為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線的斜率為,直線的斜率為.求證:為定值.變式訓(xùn)練1:已知拋物線的焦點(diǎn)為,直線與拋物線交于,兩點(diǎn),且.(1)求拋物線的方程;(2)若,是拋物線上一點(diǎn),過點(diǎn)的直線與拋物線交于,兩點(diǎn)(均與點(diǎn)不重合),設(shè)直線,的斜率分別為,,求證:為定值.
變式訓(xùn)練2:已知點(diǎn),,設(shè)動點(diǎn)滿足直線與的斜率之積為,記動點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)若動直線經(jīng)過點(diǎn),且與曲線交于(不同于)兩點(diǎn),問:直線與的斜率之比是否為定值?若為定值,求出該定值;若不為定值,請說明理由.變式訓(xùn)練3:已知橢圓:的兩個焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為,且橢圓的離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)過點(diǎn)且斜率不為零的直線與橢圓交于兩點(diǎn),點(diǎn),試探究:直線與的斜率之積是否為常數(shù).
考點(diǎn)三:斜率關(guān)系三(倍數(shù)關(guān)系)例1.已知橢圓C:的離心率為,橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,直線l:經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F,且與橢圓交于M,N兩點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線BM,AN的斜率分別為,,若,求證:為定值.變式訓(xùn)練1:已知橢圓的離心率為,短軸長為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知,A,B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),過點(diǎn)A作斜率為的直線交橢圓于另一點(diǎn)E,連接EP并延長交橢圓于另一點(diǎn)F,記直線BF的斜率為.若,求直線EF的方程.
變式訓(xùn)練2:已知圓,點(diǎn),C為圓上任意一點(diǎn),線段的垂直平分線交半徑于點(diǎn),點(diǎn)P的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程;(2)若直線不與坐標(biāo)軸重合與曲線E交于兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)直線的斜率分別為,對任意的斜率k,是否存在實(shí)數(shù)λ,使得,若存在求實(shí)數(shù)λ的值,若不存在說明理由.
變式訓(xùn)練3:已知橢圓:的離心率為,橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.(1)求橢圓的方程.(2)如圖,A,B是橢圓的左、右頂點(diǎn),過點(diǎn)F且斜率不為0的直線交橢圓C于點(diǎn)M,N,直線AM與直線交于點(diǎn)P.記PA,PF,BN的斜率分別為,,,是否存在實(shí)數(shù),使得?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.考點(diǎn)四:斜率關(guān)系四(斜率成等差數(shù)列)例1.已知拋物線:,點(diǎn)在拋物線上.(1)求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;(2)若直線:交拋物線于兩點(diǎn),交直線:于點(diǎn),記直線的斜率分別為,,,求證:,,成等差數(shù)列.
變式訓(xùn)練1:已知橢圓C:的焦距為,點(diǎn)在上.(1)求的方程;(2)過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn),點(diǎn)R是直線:上任意一點(diǎn),設(shè)直線的斜率分別為,,,若,,成等差數(shù)列,求的方程.變式訓(xùn)練2:.已知為拋物線的焦點(diǎn),過的動直線交拋物線于兩點(diǎn).當(dāng)直線與軸垂直時,.(1)求拋物線的方程;(2)設(shè)直線的斜率為1且與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn),拋物線上存在點(diǎn)使得直線的斜率成等差數(shù)列,求點(diǎn)的坐標(biāo).
變式訓(xùn)練3:已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率為的橢圓過點(diǎn).(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)是否存在不過原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn),使得直線的斜率成等比數(shù)列?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.考點(diǎn)五:斜率關(guān)系五(范圍)例1.已知橢圓的離心率為,C的左,右焦點(diǎn)分別為,A,B是C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn),四邊形的周長為.(1)求C的方程;(2)設(shè)分別為直線和的斜率,求的取值范圍.
變式訓(xùn)練1:已知橢圓:的一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同,且橢圓過點(diǎn)(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若橢圓的右頂點(diǎn)為,與軸不垂直的直線交橢圓于,兩點(diǎn)與點(diǎn)不重合,,且滿足,若點(diǎn)為中點(diǎn),求直線與的斜率之積的取值范圍.變式訓(xùn)練2:已知橢圓:過點(diǎn),左焦點(diǎn)為.(1)求橢圓的方程;(2)已知直線與橢圓有兩個不同的交點(diǎn),,點(diǎn),記直線,的斜率分別為,,求的取值范圍.
變式訓(xùn)練3:已知點(diǎn)是橢圓的左頂點(diǎn),橢圓的離心率為,(1)求橢圓的方程;(2)斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,,且,證明:.【當(dāng)堂小結(jié)】1、知識清單:(1)橢圓,雙曲線,拋物線簡單性質(zhì);(2)斜率的相關(guān)表示,斜率的運(yùn)算(加、減、乘、除);(3)利用基本不等式,導(dǎo)數(shù)等方法求解范圍;2、易錯點(diǎn):斜率的計算和范圍求解;3、考查方法:基本不等式,數(shù)形結(jié)合思想,數(shù)與形的轉(zhuǎn)化;4、核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)運(yùn)算,數(shù)學(xué)抽象.【過關(guān)檢測】1.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)在橢圓上,過點(diǎn)的直線l與C交于M,N兩點(diǎn)(異于點(diǎn)A),記直線AM,AN的斜率分別為,,當(dāng)時,.(1)求C的方程;(2)證明:為定值.2.已知動點(diǎn)M到直線的距離是M與點(diǎn)距離的倍,記M的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)動直線與C交于兩點(diǎn)A,B,曲線C上是否存在定點(diǎn)P,使得直線的斜率和為零?若存在求出點(diǎn)P坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
3.已知橢圓C的兩個焦點(diǎn)為,,并且橢圓C經(jīng)過點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)斜率不為0的直線l過定點(diǎn),且與橢圓C交于點(diǎn)A?B兩點(diǎn),在橢圓C上是否存在定點(diǎn)P,使得為定值?如果存在,求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)和定值;如不存在,請說明理由.4.已知雙曲線C:(,)的一條漸近線的方程為,雙曲線C的右焦點(diǎn)為,雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為A,B.(1)求雙曲線C的方程;(2)過右焦點(diǎn)F的直線l與雙曲線C的右支交于P,Q兩點(diǎn)(點(diǎn)P在x軸的上方),直線AP的斜率為,直線BQ的斜率為,證明:為定值.
5.已知拋物線的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)是拋物線C上一點(diǎn),點(diǎn)Q是PF的中點(diǎn),且Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為.(1)求拋物線C的方程;(2)已知圓,圓M的一條切線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),求證:OA,OB的斜率之差的絕對值為定值.6.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),,直線與直線的斜率之積為,記動點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)若點(diǎn)為曲線上的任意一點(diǎn)(不含短軸端點(diǎn)),點(diǎn),直線與直線交于點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),記直線的斜率為,直線的斜率為,求證:為定值.
7.如圖,已知點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上的動點(diǎn),拋物線上存在不同的兩點(diǎn)滿足的中點(diǎn)均在上.(1)求拋物線的方程;(2)記直線的斜率分別為,請問是否存在常數(shù),使得?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.8.已知橢圓的焦距為,點(diǎn)在橢圓上.過點(diǎn)的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn).(1)求該橢圓的方程;(2)若點(diǎn)P為直線上的動點(diǎn),記直線PA,PM,PB的斜率分別為,,.求證:,,成等差數(shù)列
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